沪科版七年级下册10.1 相交线教学设计

            沪科版 七年级下册 10．1 相交线                       

一、教学内容

  沪科版七年级下册第十章相交线、平行线和平移的第一节内容《相交线》。

二、教材分析

  两条直线的位置主要有三种，相交、平行和异面，而异面是高中阶段的内容，在初中阶段不做研究，相交和平行是两条直线的基本位置关系，是“图形和几何”所要研究的基本问题，同时也是初中阶段学习的重点内容之一。两条直线相交所形成的位置关系与相交后做形成的角有关，所以本节内容主要还是研究两条直线相交所形成角的关系，即研究对顶角的概念和相关的性质。在七年级的上册，学生已经学习了直线、射线、线段和角，对它们的基本概念和性质有了一个比较全面的认识，这是学习本节内容的基础，而本节相交线的相关知识为后面学习垂线、平行线、三角形和四边形等图形的性质打下坚实的基础，所以本节课具有承下启下的作用。

三、教学目标

新课程标准提出，在数学课程的学习过程中重视学生参与数学活动的经验积累，发展学生的数感、符号感、空间观念、以及学习知识的应用意识与推理能力．在发展学生的空间观念中提出：能教会学生从复杂的图形中分解出基本数学几何图形，并能分析其中的基本元素及其之间的关系．本节课恰好是构成复杂图形的一个基本图形，是学习复杂几何图形的起始点，因此本节课的学习不仅仅要让学生理解对顶角的概念，掌握对顶角的性质，而且要注重学生能力的培养和数学思想方法的渗透，并利用数学活动积累活动经验，因此本节课的目标设为以下三点：

1．理解对顶角的概念，能找出几何图形中的一个角的对顶角；掌握对顶角的性质，并会利用对顶角的性质进行简单的计算和说理；  

2．通过“复习角的构成和‘互为补角’的定义，对比学习对顶角的概念和性质，让学生感受知识之间的内在联系和几何学习的基本方法，并在探究活动的过程中体会图形、文字和符号语言三种语言的相互转换； 

3．通过参与探究对顶角性质，向学生渗透“观察、猜想、操作验证、说理”是得到几何结论的基本方法。 

四、学情分析

    七年级的学生在生活情景中已经了解了平面上两条直线的平行和相交，并且在上册的学习中学生已经初步接触了一些简单的平面几何图形：直线、射线、线段和角，知道了互余角和互补角，会画简单的几何图形，初步具备运用数形结合思想解决基本几何问题的意识，但是运用相关性质来进行说理的意识比较淡薄。七年级学生已经具备了探究学习知识的能力，积累了一定的数学活动经验，但是对于图形、符号和文字三种语言的相互转换还不是很熟悉，学生大都积极热情，喜欢数学的探究活动，爱表现、乐表现。因此为了突破难点，在教学过程中，首先：利用新旧知识之间的联系以及学生原有的生活和学习经验，在明确相交线所形成角的构成和复习“互为补角”的定义后来学习对顶角的定义和性质；然后：运用对比学习的方法，对比邻补角的学习经验来学习对顶角，理解概念，掌握性质；其次：鼓励学生的参与，让学生在自主探究的活动学习中学习新知，让学生经历实物演示、猜想、操作验证和数学说理证明的过程，在合作交流中探索新知，获取新知，同时鼓励学生大胆说、写和做，及时表扬和鼓励，增强其学习数学的自信心；最后：合理地利用信息教育资源，将抽象的数学知识具体化，让学生能更多的参与其中，更直观地学习，提高课堂的教学效果。

五、教学重难点

 教学重点：对顶角的概念、性质；

教学难点：对顶角相等的性质的应用；

六、教学过程

(一)创设情境 引入新课   

1、同学们，认识这是什么吗？（鸟巢）这是2008年北京奥运会的主场馆，由雅克·赫尔佐格、德梅隆、艾未未以及李兴刚等设计，体育场的形态犹如孕育生命的巢和摇篮，寄托了人类对于未来的期望。因此设计师在设计师直接将建筑的结构暴露在外，形成了我们常见的鸟巢结构。

2、鸟巢的外形结构主要是由巨大的门式钢架组成，共有24跟桁（heng）架柱，如果我们把这些架柱看作一条条“直线”，那么其中任意两条直线，它们要么……（相交），要么……（平行）．

在我们周围见到的许多图形中，纵横交错的直线条都带给了我们相交直线和平行直线的形象，2、我们今天学习《第10章  相交线、平行线与平移》，首先学习第一节“相交线”（板书课题：10．1相交线）

【设计意图】通过展示国家体育馆“鸟巢”的图片，将其看作为“平面图形”，图中出现“平行线”和“相交线”，自然引出本节课的学习内容．同时，让学生了解到数学来源于生活，几何图形是由生活中的实物抽象出来的，另外，通过介绍“鸟巢”，渗透爱国和民族自豪感的情感教育．

(二)再设情境 明确内容

活动一：

1、  展示生活中常见的图片，发现“相交线”，并画出图片中的“相交线“

2、观察：出示一块纸片和一把剪刀，演示剪刀剪纸的过程，提出问题：剪纸时，在剪刀的“张”与“合”之间，纸片被剪开，剪刀的“张”与“合”反映的是什么量的变化? 

学生观察、思考、回答，得出：

剪刀的“张”与“合”反映的是两片刀刃之间的角或两个把手之间的角的变化．

教师说明：如果把剪刀的刀刃的边沿看作两条相交的直线，刚才交流内容就关系到两条相交直线所成的角的问题，本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征．

【设计意图】通过展示图片，让学生发现“相交线”，并画出“相交线”，让学生真正感受到从“物”到“图”的抽象过程．通过演示“剪刀剪纸”，让学生通过观察体会到“相交线”中的两条直线的相对位置与其形成的角的度数有关，所以学习“相交线”，其实是学习相交线所形成的角，从而明确本节课的学习内容，使得后面的学习具有针对性．学生经历“发现”、“画图”、“观察”和“思考”等数学活动，激发学生主动参与学习的激情，培养数学学习的兴趣．

（三）结合旧知 探究新知

活动二：

1、观察这两条相交直线，如图，如何描述该图形？（板书：直线AB、CD交于O点）．

说一说图中小于平角的角有几个?分别说出它们的顶点和边；

两两配对共能组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎样将它们进行分类？请同学们小组讨论完成表格

在上学期学习角有关知识时，提到“满足一定数量关系的两个角”的情形，即“互为余角”、“互为补角”，什么叫“互为余角”、“互为补角”？图中有互补的角吗？有哪几对？

以∠1与∠2为例说明，∠1与∠2为什么互补？（要求：先独立思考，再同桌交流）

教师说明：像图中的射线OC、OD叫做互为反向延长线

从而共同归纳：①有公共顶点；②有一条公共边，另一条边互为反向延长线．（板书）

两直线相交时，满足上述两个特征的角叫做邻补角．（邻：相邻，一墙之隔为邻；补：互补）

图中邻补角有4对：∠1与∠2；∠2与∠3；∠3与∠4；∠1与∠4．

【设计意图】先明确相交线所形成的角的构成和复习“互为补角”的定义，再找出相交线中的“互补的角”，接着自主探究此处“互补的角”由两角的顶点和边的位置特征有关，从而了解到什么是“邻补角”，并认识到邻补角的位置关系决定数量关系．如此设计充分利用学生的知识基础，挖掘知识之间的联系，来有效学习“邻补角”，并为后面通过对比来学习“对顶角”作铺垫．

(四)运用对比 自主探究

活动三：

1、刚才已经研究过的邻补角，还有一类角，∠1 与∠3，∠2 与∠4．它们有怎样的位置关系和数量关系？

根据前面研究邻补角的经验，我们知道，邻补角特殊的位置关系决定了他们的数量关系，因此我们先来研究他们有怎样的位置关系，（以∠1 与∠3为例）请类比邻补角的位置关系，说一说∠1 与∠3的位置关系，即∠1与∠3的顶点和边有怎样的关系？

2、  共同归纳：①有公共顶点；②且角的两边分别互为反向延长线．（板书）

两直线相交时，满足上述两个特征的角叫做对顶角．

说明：∠2与∠4也是对顶角；两条直线相交，有2对对顶角，4对邻补角．

3、  巩固练习

⑴下列各图中的∠1与∠2是对顶角吗？为什么？

⑵如图示，直线AB、CD交于O点，

①填空：∠AOC的对顶角是      ；∠COB的对顶角是     

②过O点再任意画一条直线EF，请一位同学说出图中的一个角，另一个同学说出它的对顶角                 

4、现在来研究对顶角的数量关系，引导探究：

⑴演示剪刀的张合过程，握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角（及前者的对顶角）便相应变小；张开把手时，随着两个把手之间的角逐渐变大，则它的对顶角也相应变大．猜一猜：对顶角度数自始至终有怎样数量关系？

⑵请选择适当方法，说明“猜想”的正确性（以∠1 与∠3为例）（要求：先独立思考，在同桌交流）

（学生选择测量、对折、取特殊值和说理等方法，都给与肯定，因为它们都是获得几何结论的重要方法．但是也要让学生知道测量、对折等只能是一种体验过程，取特殊值法不具备一般性，真正要说明一个几何结论的正确性，往往要通过说理才行同时通过活动渗透获得正确的数学结论通常经历的过程：观察、猜想、操作体验和说理）

⑶你能证明另外一对对顶角∠2与∠4相等吗？如果改变∠1的大小，∠1=∠3，∠2=∠4还成立吗？

    两直线相交，改变一个角的度数，其对顶角度数也改变，但对顶角总是相等．

⑷得到对顶角性质：对顶角相等（板书）；

     结合图形给出该性质的符号语言：因为∠1 、∠3是对顶角，所以∠1 =∠3

【设计意图】对比“邻补角”的学习经验，学生先自主探究得到“对顶角”的位置特征，紧接着探究“对顶角”的数量关系，让学生进一步感受数学知识之间的内在联系，数学学习有方法，从而增长数学学习的信心；通过“是否为对顶角”的辨析练习和“三条直线交于一点，判断对顶角”的练习，让学生进一步巩固对对顶角的理解．两项练习均以“竞答”形式出现，激发学生的竞争意识，活跃课堂氛围；通过探究对顶角性质，让学生经历观察思考、操作交流、归纳说理等过程，在参与中获得知识，培养解决问题和几何语言表达的能力，积累了数学活动经验，同时也向学生渗透“观察、猜想、操作验证、说理”是得到几何结论的普遍的方法这一道理．

（五）课堂练习，巩固新知

1．判断下列说法是否正确

⑴如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互补           （      ）                                              

⑵相等的角是对顶角．                                 （      ）

2．如图6所示，直线AB、CD交于O点，

⑴如果∠AOC=40°，求∠COB、∠BOD和∠AOD的度数．

【变题】如果∠AOC=α，你可以得到哪些角的度数？它们分别是多少？（用含α的代数式来表示）

⑵如果∠AOC=90°，则∠BOD=      度，∠COB=      度，∠AOD=      度

【变题】请添加一个合适的条件，使得∠AOC=90°？

【变题】如果∠AOC:∠BOC=1:2，求∠AOC的度数．

【设计意图】通过练习，进一步巩固本节课的重点，同时也是强化基本知识的掌握和基本技能的训练，为以后涉及相关知识的推理和计算奠定基础．其中第2题中的第（1）小题的“变题练习”，从“特殊到一般”，让学生知道相交线所形成的四个角之间的数量关系；第（2）小题和后面第一个“变题练习”，再从“一般到特殊”，旨在渗透两直线“互相垂直”的情形，为下一节学习“垂线”作铺垫，并再一次让学生体会到数学知识之间存在联系性；第（2）小题和后面第二个“变题练习”，进一步综合利用相交线所形成的四个角之间的数量关系解决问题，主要体现在结合特定条件，求相关角的度数，渗透“用方程”解几何问题的方法．

(六)课堂总结，促进构建

1、请把你的收获与同学分享······   

   请将你的疑惑告诉老师······

2、回忆本节课的学习过程：

【设计意图】利用小结，回忆本节课学习的主要内容，同时再一次体会知识获得的过程和方法．通过小结有意识的让学生了解数学学习关注所学知识的整体性和系统性，从而利于学生自主构建知识体系．

（七）布置作业，巩固提高

1．课本第121页，习题10．1，第1，2两题

2．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？

3如图，直线AB、CD交于O点，

（1）如果∠BOC是∠AOC的3倍，求∠AOC的度数；

（2）如果∠BOC是∠AOC的2倍还多20°，求∠AOC的度数．

4．预习：10．1相交线 （第2课时 ），垂线．

【设计意图】布置课后作业，巩固所学内容，增进用几何语言表述的能力．另外，作业中有“简单应用”和“拓展提高”，还为进一步强化利用知识解决问题的能力设置，“预习”的目的是让学生“乘热”学习与本节课紧密联系的内容，培养学生的自主学习能力和自学习惯．