2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学八年级（下）开学数学试卷（五四学制）（含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学八年级（下）开学数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式，，，，，中，分式的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个三角形的周长是

A.  B.  C. 或 D.

4. 下列各式从左向右的变形中，是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

5. ，，

A.  B.  C.  D.

6. 下列根式中，属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

7. 若分式中，、都扩大倍，则该分式的值

A. 不变 B. 扩大到原来的倍
C. 扩大到原来的倍 D. 缩小到原来的

8. 平面内点和点的对称轴是

A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线

9. 在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是

A. 如果，那么是直角三角形
B. 如果，那么是直角三角形且
C. 如果：：：：，那么是直角三角形
D. 如果：：：：，那么是直角三角形

10. 如果是一个完全平方式，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

11. 当 ______ 时，等式有意义．
12. 多项式分解因式的结果是______．
13. 用科学记数法表示为______ ．
14. 计算______．
15. 若，，则______．
16. 若代数式的值为，则代数式的值为______．
17. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是______．
18. 已知：如图，点是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接，若，，，的面积为______．
    
     

19. 在中，，的垂直平分线交于点，交直线于点，，那么等于______．
20. 如图，四边形，对角线平分交于点，，，是上一点，，过点作于点，连结，，，则的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56分）

21. 计算：；
    解分式方程．
22. 先化简，再求值：，其中，．
23. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
    将向下平移个单位得到，点、、分别为点、、的对应点，请画出；
    与关于轴对称，点、、分别为点、、的对称点，请画出；
    连接、、，直接写出的面积．

24. 如图，，与是的高线，且与相交于点．
    求证：；
    不添加辅助线，直接写出图中所有的全等三角形．
    
    
     

25. 甲、乙两个工程队计划修建一条长千米的乡村公路，已知甲工程队比乙工程队每天多修路千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的倍．
    求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
    若甲工程队每天的修路费用为万元，乙工程队每天的修路费用为万元，要使两个工程队修路总费用不超过万元，甲工程队至少修路多少天？
26. 已知在等边三角形中，、分别是、上的两点，连结、交于，．
    如图，求的度数；
    如图，是上一点，连结交、于点、，若，求证：；
    在的条件下，，，求的长．

27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、分别轴、轴上，连接，，．
    如图，求点、的坐标；
    如图，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，连结设的面积为，点的运动时间为秒，求与的之间关系式，并直接写出的取值范围；
    如图，在的条件下，当点运动到线段的延长线上时，过点作于点，将线段关于轴对称，的对称点是交直线于点，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；
故选：．
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

2.【答案】

【解析】解：，，，是分式，
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
 

3.【答案】

【解析】解：根据题意，
当腰长为时，周长；
当腰长为时，，，不能组成三角形；
故选：．
根据等腰三角形的性质，分两种情况：当腰长为时，当腰长为时，解答出即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质定理，本题重点是要分两种情况解答．
 

4.【答案】

【解析】解：等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
B.是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意．
C.等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
D.符合因式分解的定义，故本项正确．
故选：．
根据因式分解的概念，将多项式相加写成多个单项式相乘的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
 

5.【答案】

【解析】解：依题意，得
，
，
，
．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则，，再代入数据计算．
本题考查了同底数幂的乘法法则，需要熟练掌握并灵活运用．
 

6.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：式子中，、都扩大倍，则，即分式的值变为原来的倍，
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化 -- 对称轴，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标或利用对应点的坐标求得对称轴．
观察两坐标的特点，发现横坐标相同，所以对称轴为平行于 轴的直线，即 纵坐标的平均数．
【解答】
解： 点 和点 对称，
平行于 轴，
所以对称轴是直线 ．
故选 C ．   

9.【答案】

【解析】解：如果，那么是直角三角形，A正确；
如果，那么是直角三角形且，B错误；
如果：：：：，
设，则，，
则，
解得，，
则，
那么是直角三角形，C正确；
如果：：：：，
则如果，
那么是直角三角形，D正确；
故选：．
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

10.【答案】

【解析】解：是一个完全平方式，
这两个数是和，
，
解得．
故选：．
本题考查的是完全平方公式，这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍．
本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积得倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
 

11.【答案】

【解析】解：当时，等式有意义．
即．
故答案为：．
结合零指数幂的定义：，求解即可．
本题考查了零指数幂的知识，解答本题的关键在于熟练掌握零指数幂的定义：．
 

12.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
利用平方差公式分解，即可解答．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

14.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
根据单项式除以单项式的运算法则进行计算便可．
本题考查了单项式除以单项式，熟记单项式除以单项式的运算法则是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查完全平方公式及其求值问题．
根据完全平方公式直接代入解答即可．
【解答】
解： ，
把 与 代入，得
．
故答案为 ．   

16.【答案】

【解析】解：，即，


．
故答案为：．
由题意列出关系式，求出的值，将所求式子变形后，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
 

17.【答案】且

【解析】解：解关于的方程，
得，，
，
，
方程的解是正数，
且，
解这个不等式得且．
故答案为：且．
首先求出关于的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出的取值范围．
本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于的方程是关键，解关于的不等式是本题的一个难点．
 

18.【答案】

【解析】解：作交的延长线于．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：．
作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】或

【解析】解：如图，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
如图，垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为或．
分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答．
此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

20.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，

对角线平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形内角和是，
，
对角线平分，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质和三角形内角和等于度来证明，再证明≌，得出，因为，根据勾股定理和直角三角形中度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长度，进而求出的长度，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了三角形全等和勾股定理的应用，解题的关键是作辅助线、找等量关系求出相关线段的长度．
 

21.【答案】解：


；
，
方程两边同乘，得
，
解得，
检验：当时，，
原分式方程的解是．

【解析】先化简括号内的式子，然后合并同类二次根式，然后再算括号外的除法即可；
先去分母，将分式方程化为整式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
本题考查二次根式的混合运算、解分式方程，熟练掌握运算法则和解分式方程的方法是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：




，
当，时，原式．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求．

如图所示，即为所求．
的面积为．

【解析】将三个顶点分别向下平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可．
本题主要考查作图平移变换和轴对称变换，解题的关键是掌握平移变换和轴对称变换的定义与性质．
 

24.【答案】证明：与是的高线，
，
，
，
，，
，
；

解：全等三角形有≌，≌，≌，≌．

【解析】根据高求出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求，根据等腰三角形的判定得出即可；
根据全等三角形的判定逐个判断即可．
本题考查了三角形的高，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

25.【答案】解：
设甲每天修路千米，则乙每天修路千米，
根据题意，可列方程：，
解得，
经检验是原方程的解，且，
答：甲每天修路千米，则乙每天修路千米；

设甲修路天，则乙需要修千米，
乙需要修路天，
由题意可得，
解得，
答：甲工程队至少修路天．

【解析】可设甲每天修路千米，则乙每天修路千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；
设甲修路天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可．
本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，找出题目中的等量或不等关系是解题的关键，注意分式方程需要检验．
 

26.【答案】解：如图，四边形是等边三角形，

，，
在和中，
，
≌，
，
；

证明：如图，

≌，
，，
设，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；

解：过点作于点，过点作取的中点，连接，过点作于点，如图，

由知：．
，
，．
，是的中点，
．
为等边三角形．
，
．
．
，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，过点作，并反向延长交的延长线于点，则四边形为正方形．
是的中点，，
，．
．
在和中，
，
≌．
，
，
，
解得，
．

【解析】根据等边三角形的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质，得到，利用三角形外角的性质可得；
设，，由己知条件，根据三角形的外角性质与三角的内角和定理，以及由≌，可得，，可得，进而表示出，，进而即可得证；
过点作于点，过点作取的中点，连接，过点作于点，设，则，作正方形，可得，即，解方程求解，继而根据求解即可．
本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识，综合性比较强，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

27.【答案】解：，．
，
，
，
点，点；
当时，，
当时，点与点重合，则不存在，
当时，；
当时，，
，
，
，
如图，过点作于，连接，，

将线段关于轴对称，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】由三角形的面积公式可求，即可求解；
分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解；
利用面积法分别求出，，的长，可求，由面积关系可求，可求解．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形的面积公式，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．