2020-2021学年广东省深圳市某校初二（下）期中考试数学试卷 (1)新北师大版

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这是一份2020-2021学年广东省深圳市某校初二（下）期中考试数学试卷 (1)新北师大版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知x>y，则下列不等式成立的是( )
A.3x<3yB.x−3−2yD.x+5>y+5

2. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是( )
A.a(x−y)=ax−ayB.x2−4x+3=x(x−4)+3
C.a2−b2=(a+b)(a−b)D.a2+1=a(a+1a)

3. 龙华区正推行垃圾分类政策，下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.

4. 把二次三项式x2−5x−14分解因式，下列结果正确的是( )
A.x+2x+7B.x−2x−7C.x−2x+7D.x+2x−7

5. 下列说法：
真命题的逆命题一定是真命题；
等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60∘”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60∘”，
其中，正确的说法有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点A(1, 3)，B(2, 1)．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A′的坐标为(−2, 0)，则点B的对应点B′的坐标为( )

A.(−1, −2)B.(−1, −3)C.(−3, 2)D.(0, −2)

7. 某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打( )折．
A.6折B.7折C.8折D.9折

8. 如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20∘，则∠A的度数为( )

A.20∘B.40∘C.60∘D.70∘

9. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆心，大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45∘，AC=5，CD=1，则AB的长度为( )

A.2B.22C.25D.32

10. 如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG=120∘，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；② S四边形ODBE=13S△ABC；③S△ODE=S△BDE；④△BDE周长的最小值为3.
上述结论中正确的个数是( )

A.1B.2C.3D.4
二、填空题

分式x−1x的值为0，则x的值是________．

已知实数x，y满足x−6+3−y=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是________．

如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P(1, 3)，则关于x的不等式x+b

如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是________.

如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为________．

三、解答题

(1)分解因式：−ax2+6ax−9a；

(2)解不等式组2x−13−5x+12≤1,5x−1<3x+1,并把其解集在数轴上表示出来．

如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1, 1)，B(4, 2)，C(3, 4).

(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

(3)在x轴上找一点P，使△PAB的周长最小，请直接写出点P的坐标________．

已知：如图，在△ADC中，AD=CD，且AB//DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．连接BE．

(1)求证：CE=CB；

(2)若∠CAE=30∘，CE=2，求BE的长度．

龙华区某学校组织400名师生春游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表：

(1)设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式．（不要求写出x的取值范围）

(2)如何租车能保证所有的师生可以参加春游且租车费用最少，最少费用是多少元？

如图1，已知直线y=−2x+2与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△ABC.

(1)A（________），B（________）；

(2)求BC所在直线的函数关系式；

(3)如图2，直线BC交y轴于点D，在直线BC上取一点E，使AE=AC，AE与x轴相交于点F．①求证：BD=ED；
②在直线AE上是否存在一点P，使△ABP的面积等于△ABD的面积？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

(1)【问题背景】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α∘ ，D为BC边上一点（不与点B，C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转α∘得到AE，连接EC，则∠BCE=________∘（用含α的式子表示），线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________；

(2)【探究证明】如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到线段AE，连接DE，求证：2AD2=BD2+CD2.

(3)【拓展延伸】如图3，在四边形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC=45∘，BF=3，CF=1,将△ABF绕点A逆时针旋转90∘，试画出旋转后的图形，并求AF的长度.
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省深圳市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
不等式的性质
【解析】
根据不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】
解：A，不等式的两边都乘以3，不等号的方向不变，故A错误；
B，不等式的两边都减去3，不等号的方向不变，故B错误；
C，不等式的两边都乘以−2不等号的方向改变，故C错误；
D，不等式的两边都加5，不等号的方向不变，故D正确．
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
因式分解的概念
【解析】
根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，逐一判定即可．
【解答】
解：A，不属于分解因式，不符合题意；
B，不属于分解因式，不符合题意；
C，属于分解因式，符合题意；
D，不能确定a是否为0，不符合题意.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
【解析】
结合题意，根据中心对称图形的性质分析，即可得到答案．
【解答】
解：根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，可得：A是中心对称图形.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
因式分解-十字相乘法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：x2−5x−14=x+2x−7.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
真命题，假命题
等腰三角形的性质：三线合一
反证法
原命题与逆命题、原定理与逆定理
线段垂直平分线的性质
【解析】
本题根据真命题与假命题的定义，等腰三角形三线合一的性质，三角形的外接圆及外心，反证法等知识直接判断，得出答案。
【解答】
解：举例说明，因为对顶角相等是真命题，它的逆命题相等的两个角是对顶角是假命题，
所以真命题的逆命题一定是真命题，这种说法不正确；
因为等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，两腰上的不重合，
所以等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合，这种说法不正确；
因为三角形三边的垂直平分线交于一点，而线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
所以三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，这种说法正确；
因为用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60∘”时，首先要假设结论的反面成立，也就是三角形中没有一个内角小于或等于60∘，即每一个内角都大于60∘，
所以用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60∘”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60∘，这种说法正确.
综上所述，正确的说法有2个.
故选B .
6.
【答案】
A
【考点】
坐标与图形变化-平移
【解析】
利用平移变换的性质解决问题即可．
【解答】
解：因为点A的对应点A′的坐标为(−2, 0)，
则点A向左平移3个单位，再向下平移3个单位，
则B的对应点B′的坐标为(−1, −2)．
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
一元一次不等式的实际应用
【解析】
本题根据题意，结合：售价×折扣−进价=利润，利润进价=利润率，列不等式求解．
【解答】
解：设至多可以打x折，
由题意得，
1100×0.1x−700700≥10%，
解得：x≥7，
即至多打7折．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理
全等三角形的性质与判定
【解析】
根据直角三角形全等的判定和性质、三角形的内角和定理来解答即可.
【解答】
解：∵ BD，CE为锐角△ABC的两条高，
∴ ∠BEC=∠CDB=90∘.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
CE=BD，BC=CB，
∴ Rt△BEC≅Rt△CDB(HL)，
∴ ∠CBE=∠BCD.
∵ ∠CBD=20∘，
∴ ∠CBE=90∘−20∘=70∘，
∴ ∠A=180∘−70∘−70∘=40∘.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
勾股定理
等腰直角三角形
角平分线的定义
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意可得AC=AP=AE=5，AP平分∠CAE，
∴CD=ED=1，∠ADC=∠ADE=90∘.
在△ACD中，
AD=AC2−CD2=2.
又∵ ∠B=45∘ ，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AD=BD=2，
∴ AB=22 .
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的性质与判定
垂线段最短
等边三角形的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质及垂线段最短等知识来解答即可.
【解答】
解：连接OB，OC，如图.
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60∘.
∵ 点O是△ABC的中心，
∴ OB=OC，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ ∠ABO=∠OBC=∠OCB=30∘，
∴ ∠BOC=120∘，
即∠BOE+∠COE=120∘.
而∠DOE=120∘，即∠BOE+∠BOD=120∘，
∴ ∠BOD=∠COE.
在△BOD和△COE中，
∠BOD=∠COE,BO=CO,∠OBD=∠OCE,
∴ △BOD≅△COE(ASA)，
∴ BD=CE，OD=OE，①正确；
∴ S△BOD=S△COE，
∴ S四边形ODBE=S△OBC=13S△ABC，②正确；
作OH⊥DE，则DH=EH.
∵ ∠DOE=120∘，
∴ ∠ODE=∠OEH=30∘，
∴OH=12OE，HE=3OH=32OE，
∴ DE=3OE，
∴ S△ODE=12⋅12OE⋅3OE=34OE2，
即S△ODE随OE的变化而变化.
而四边形ODBE的面积为定值，
∴ S△ODE≠S△BDE，③错误；
∵ BD=CE，
∴ △BDE的周长
=BD+BE+DE=CE+BE+DE
=BC+DE=2+DE=2+3OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=33，
∴ △BDE周长的最小值=2+1=3，④正确．
故选C.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
分式值为零的条件
【解析】
根据分式的值为零的条件得到x−1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】
解：∵ 分式x−1x的值为0，
∴ x−1=0且x≠0，
∴ x=1．
故答案为：1.
【答案】
15
【考点】
非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：绝对值
三角形三边关系
【解析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】
解：根据题意得，x−6=0，3−y=0，
解得x=6，y=3.
①6是腰长时，三角形的三边分别为6，6，3，能组成三角形，周长=6+6+3=15；
②6是底边时，三角形的三边分别为3，3，6，3+3=6，不能组成三角形，
所以三角形的周长为15.
故答案为：15．
【答案】
x<1
【考点】
一次函数与一元一次不等式
【解析】
找出一次函数y1=x+b的图象在一次函数y2=kx+4图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：由函数图象得当x<1时，y1即x+b所以关于x的不等式x+b故答案为：x<1．
【答案】
30
【考点】
角平分线的性质
【解析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【解答】
解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵ OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ OE=OF=OD=3，
∵ △ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD=3，
∴ S△ABC=12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF
=12×(AB+BC+AC)×3
=12×20×3=30.
故答案为：30.
【答案】
32
【考点】
全等三角形的性质
等边三角形的性质与判定
全等三角形的判定
平行线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：过P作BC的平行线交AC于F，
则∠Q=∠FPD.
∵ △ABC是等边三角形，PF//BC，
∴ ∠APF=∠B=60∘，∠AFP=∠ACB=60∘，
∴ △APF是等边三角形，
∴ AP=PF.
∵ AP=CQ，
∴ PF=CQ.
在△PFD和△QCD中，
∠FPD=∠Q，∠PDF=∠QDC，PF=QC，
∴ △PFD≅△QCD(AAS)，
∴ FD=CD.
∵ PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴ AE=EF，
∴ AE+DC=EF+FD，
∴ ED=12AC.
∵ AC=3，
∴ DE=32．
故答案为：32.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=−ax2−6x+9
=−ax−32．
(2)2x−13−5x+12≤1,①5x−1<3x+1,②
由①得：x≥−1，
由②得：x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2．
将解集表示在数轴上，如图所示.
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
在数轴上表示不等式的解集
解一元一次不等式组
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)原式=−ax2−6x+9
=−ax−32．
(2)2x−13−5x+12≤1,①5x−1<3x+1,②
由①得：x≥−1，
由②得：x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2．
将解集表示在数轴上，如图所示.
【答案】
解：(1)如图所示△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示△A2B2C2即为所求.
(2, 0)
【考点】
作图－平移变换
中心对称
作图-轴对称变换
轴对称——最短路线问题
【解析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2））找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】
解：(1)如图所示△A1B1C1即为所求.
(2)如图所示△A2B2C2即为所求.
(3)找出A的对称点A′(1, −1)，
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图所示：点P坐标为(2, 0)．
故答案为：(2,0).
【答案】
(1)证明：∵ AD=CD，
∴ ∠DAC=∠DCA.
∵ AB//CD，
∴ ∠DCA=∠CAB，
∴ ∠DAC=∠CAB，
∴ AC是∠EAB的角平分线.
∵ ∠AEC=∠ABC=90∘，AC=AC，
∴ △ACE≅△ACB(AAS)，
∴ CE=CB．
(2)由(1)知，CE=CB，△ACE≅△ACB，
∴ AE=AB，∠EAC=∠BAC=30∘．
在Rt△ACE中，∠CEA=90∘，∠CAE=30∘，
∴ AC=2CE=4，
∴ AE=AC2−CE2=23.
又∵ ∠BAE=∠EAC+∠BAC=60∘，AE=AB，
∴ △ABE为等边三角形，
∴ BE=AE=23．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的性质
平行线的性质
含30度角的直角三角形
全等三角形的性质
等边三角形的性质与判定
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ AD=CD，
∴ ∠DAC=∠DCA.
∵ AB//CD，
∴ ∠DCA=∠CAB，
∴ ∠DAC=∠CAB，
∴ AC是∠EAB的角平分线.
∵ ∠AEC=∠ABC=90∘，AC=AC，
∴ △ACE≅△ACB(AAS)，
∴ CE=CB．
(2)由(1)知，CE=CB，△ACE≅△ACB，
∴ AE=AB，∠EAC=∠BAC=30∘．
在Rt△ACE中，∠CEA=90∘，∠CAE=30∘，
∴ AC=2CE=4，
∴ AE=AC2−CE2=23.
又∵ ∠BAE=∠EAC+∠BAC=60∘，AE=AB，
∴ △ABE为等边三角形，
∴ BE=AE=23．
【答案】
解：(1)由题意，得y=600x+480(7−x)，
化简，得y=120x+3360．
(2)由题意，得70x+457−x≥400 ，
解得x≥175 ，
∵x为整数，
∴x的最小值是4，
∵k=120>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=4时，租车费用最少，
最少为：y=120×4+3360=3840（元），
即当甲种客车有4辆时，能保障所有的师生能参加春游且租车费用最少，最少费用3840元．
【考点】
根据实际问题列一次函数关系式
一次函数的应用
一元一次不等式的实际应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意，得y=600x+480(7−x)，
化简，得y=120x+3360．
(2)由题意，得70x+457−x≥400 ，
解得x≥175 ，
∵x为整数，
∴x的最小值是4，
∵k=120>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=4时，租车费用最少，
最少为：y=120×4+3360=3840（元），
即当甲种客车有4辆时，能保障所有的师生能参加春游且租车费用最少，最少费用3840元．
【答案】
0,2,1,0
(2)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB=∠BDC=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABO=90∘.
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ AB=BC，∠ABC=90∘，
∴ ∠ABO+∠CBD=90∘，
∴ ∠OAB=∠DBC，
∴ △ABO≅△BCDAAS，
∴ BD=OA=2，CD=OB=1，
则点C3,1.
设直线BC所在直线解析式为y=kx+b.
将点B1,0，C3,1代入，得k+b=0,3k+b=1,解得k=12,b=−12,
∴ 直线BC所在直线解析式为y=12x−12.
(3)①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，
则∠BGC=∠BME=∠END=∠BOD=90∘.
∵ ∠ABC=90∘，且AE=AC，
∴ AB是CE的中垂线，
∴ BC=BE.
∵ ∠CBG=∠EBM，
∴ △BCG≅△BEMAAS，
∴ BM=BG=2，EM=CG=1.
∵ BO=1，
∴ OM=EN=OB=1.
∵ ∠BDO=∠EDN，
∴ △BDO≅△EDNAAS，
∴ BD=ED；
②由y=12x−12知D0,−12.
(i)当P在AB下方时：
如图③，过点D作DP//AB交AE于P.
∵ 直线AB：y=−2x+2，
∴ 直线DP：y=−2x−12.
又∵ E−1,−1，A0,2，
∴ AE：y=3x+2.
联立直线AE，DP得y=−2x−12,y=3x+2,
解得x=−12,y=12,
∴ P1(−12,12)，
ii当P在AB上方时：
如图④，PK//AB，
由平移的性质可知，PK：y=−2x+92.
联立直线AE，PK得y=−2x+92,y=3x+2,解得x=12,y=72,
∴ P212,72.
综上，P点的坐标为(−12,12)或12,72.
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
全等三角形的性质与判定
待定系数法求一次函数解析式
面积相等问题
【解析】
(1)y=−2x+2中求出x=0时y的值和y=0时x的值即可得；
(2)作CD⊥x轴，证=ABOg4BCD得BD=OA=2，{CD=OB=1}，据此可得{C\left( 3, 1\right)}$ ，再根据待定系数法求解可得；
(3)①3)①作CG⊥x轴，EM⊥x轴，EN⊥y轴，先证△BCG≅△BEMAAS得BM=BG=2,EM=CG=1，进一步求得OM=NN=OB=1，再证△BDO≅△EDNAAS得BD=ED；②P作EH⊥x轴于点H，由y=12x−12知D0,−12 ，分当P在AB下方和当P在AB上方时，求出AE，DP，PK的方程，分别联立AE、DP，联立AE、PK，求解可得P点的坐标.
【解答】
解：(1)在y=−2x+2中，
当x=0时，y=2，则A0,2，
当y=0时，−2x+2=0，解得x=1，则B1,0.
故答案为：0,2；1,0.
(2)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠AOB=∠BDC=90∘，
∴ ∠OAB+∠ABO=90∘.
∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ AB=BC，∠ABC=90∘，
∴ ∠ABO+∠CBD=90∘，
∴ ∠OAB=∠DBC，
∴ △ABO≅△BCDAAS，
∴ BD=OA=2，CD=OB=1，
则点C3,1.
设直线BC所在直线解析式为y=kx+b.
将点B1,0，C3,1代入，得k+b=0,3k+b=1,解得k=12,b=−12,
∴ 直线BC所在直线解析式为y=12x−12.
(3)①过点C作CG⊥x轴于点G，作EM⊥x轴于点M，EN⊥y轴于点N，
则∠BGC=∠BME=∠END=∠BOD=90∘.
∵ ∠ABC=90∘，且AE=AC，
∴ AB是CE的中垂线，
∴ BC=BE.
∵ ∠CBG=∠EBM，
∴ △BCG≅△BEMAAS，
∴ BM=BG=2，EM=CG=1.
∵ BO=1，
∴ OM=EN=OB=1.
∵ ∠BDO=∠EDN，
∴ △BDO≅△EDNAAS，
∴ BD=ED；
②由y=12x−12知D0,−12.
(i)当P在AB下方时：
如图③，过点D作DP//AB交AE于P.
∵ 直线AB：y=−2x+2，
∴ 直线DP：y=−2x−12.
又∵ E−1,−1，A0,2，
∴ AE：y=3x+2.
联立直线AE，DP得y=−2x−12,y=3x+2,
解得x=−12,y=12,
∴ P1(−12,12)，
ii当P在AB上方时：
如图④，PK//AB，
由平移的性质可知，PK：y=−2x+92.
联立直线AE，PK得y=−2x+92,y=3x+2,解得x=12,y=72,
∴ P212,72.
综上，P点的坐标为(−12,12)或12,72.
【答案】
(180−α)∘,BC=DC+EC
(2)证明：连接CE，如图2，
在Rt△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘.
由旋转可得：AD=AE，∠DAE=90∘
∴∠DAE=∠BAC=90∘，
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴DE2=DC2+CE2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
由勾股定理，得DE2=AD2+AE2=AD2+AD2=2AD2，
∴DC2+CE2=2AD2.
即2AD2=BD2+CD2.
(3)解：如图3所示，△ACG即为旋转后的三角形，
连接CG，
由旋转可得：AF=AG，∠FAG=90∘，
∴∠AFG=∠AGF=45∘.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFC=45∘，
∴∠CFG=∠AFC+∠AFG=90∘，∠BAC=90∘，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠FAG=∠CAG.
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△BAF≅△CAG(SAS)，
∴CG=BF=3，
在Rt△CFG中，CF=1，CG=3，∠CFG=90∘，
∴GF=CG2−CF2
=32−12=22.
在Rt△AFG中，AF=AG，FG=22，∠FAG=90∘，
∴2AF2=FG2=(22)2，
∴AF=2.
【考点】
全等三角形的性质
全等三角形的判定
旋转的性质
勾股定理
等腰直角三角形
作图-旋转变换
【解析】
先由旋转的性质得：AE=AD，∠DAE=∠BAC=α∘，从而有∠BAD=∠CAE，然后利用边角边证△ABD≌△ACE(SAS)，得BD=CE，∠B=∠ACE，再由等腰三角形性质和三角形内角和定理求得∠B=12(180−α)∘，即可由∠BCE=∠ACE+∠ACB=2∠B，BC=BD+CE得出答案.
(2)连接CE，如图2，证△ABD≌△ACE(SAS)，得BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，再证△DCE是直角三角形，利用勾股定理得DE2=DC2+CE2，在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE2=AD2+AE=AD2+AD2=2AD2，即可得出结论.
利用旋转性质作出图形即可，连接CG，先证△BAF≌△CAG(SAS)，得CG=BF=3，在Rt△CFG中，利用勾股定理求出FG长，再在等腰Rt△AFG中，利用勾股定理求解即可.
【解答】
(1)解：∵将线段AD绕点A逆时针旋转α∘得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=∠BAC=α∘，
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE,
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE.
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BAC=α∘，
∴∠B=12(180−α)∘，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB
=2∠B=(180−α)∘，
∵BC=DC+BD，
∴BC=DC+CE.
故答案为：(180−α)∘；BC=DC+CE.
(2)证明：连接CE，如图2，
在Rt△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45∘.
由旋转可得：AD=AE，∠DAE=90∘
∴∠DAE=∠BAC=90∘，
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90∘，
∴DE2=DC2+CE2，
在Rt△ADE中，AD=AE，
由勾股定理，得DE2=AD2+AE2=AD2+AD2=2AD2，
∴DC2+CE2=2AD2.
即2AD2=BD2+CD2.
(3)解：如图3所示，△ACG即为旋转后的三角形，
连接CG，
由旋转可得：AF=AG，∠FAG=90∘，
∴∠AFG=∠AGF=45∘.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFC=45∘，
∴∠CFG=∠AFC+∠AFG=90∘，∠BAC=90∘，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF
=∠CAF+∠FAG=∠CAG.
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△BAF≅△CAG(SAS)，
∴CG=BF=3，
在Rt△CFG中，CF=1，CG=3，∠CFG=90∘，
∴GF=CG2−CF2
=32−12=22.
在Rt△AFG中，AF=AG，FG=22，∠FAG=90∘，
∴2AF2=FG2=(22)2，
∴AF=2.甲种客车
乙种客车
载客量（座/辆）
70
45
租金（元/辆）
600
480