2020-2021年广东省南雄市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

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2020-2021年广东省南雄市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是(        ) A.12 B.7 C.8 D.12 2. 式子x−1有意义，则x的取值范围是(        ) A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1 3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是(        ) A.a=2 ，b=4，c=6 B.a=1，b=2，c=2C.a=3，b=4，c=5 D.a=4，b=8，c=10 4. 下列各式计算正确的是(        ) A.6+2=8 B.27÷3=3 C.3+3=33 D.20÷2=10 5. 平行四边形不具有的性质是(  ) A.对边平行 B.对边相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 6. 如图，点O，B在数轴上所表示的数分别为0，4，CB⊥OB于点B，BC=2，以点O为圆心OC长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值为(        ) A.25 B.−25 C.6 D.−6 7. 下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．其中真命题的个数(        ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8. 如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为(        ) A.12 B.11 C.10 D.9 9. 如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60∘，则矩形ABCD的面积是（ ） A.12 B.24 C.123 D.163 10. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.  其中说法正确的结论(        ) A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④二、填空题  计算：8+18=________．   在平行四边形ABCD中，若∠A:∠B=1:3，则∠A=________​∘ ．   一个正方形的对角线长为2，则其面积是________.   如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则AED的度数为________．   如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=3cm，则AB=________．   如图所示，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________．   如图，在正方形ABCD的各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=3．若四边形EFGH面积是10，则正方形ABCD的面积为________. 三、解答题  计算：  123+5； 227−3−22−33．  已知a=2+3，b=2−3，求a2b+ab2的值．   如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．   如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90∘，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m． (1)求四边形ABCD的面积； (2)若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？  如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF // AB，与AD相交于点F．求证：四边形ABEF是菱形．   如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O． (1)求证：△DAF≅△ABE； (2)写出线段AE，DF的位置关系，并说明理由.  如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF // AB交DE的延长线于点F，连接AF． (1)求证：CD=AF； (2)若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C的直线MN // AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD,BE． (1)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； (2)在(1)的条件下，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．参考答案与试题解析2020-2021年广东省南雄市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】最简二次根式【解析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．【解答】解：A，12=22，故A错误；B，7是最简二次根式，故B正确；C，8 = 22，故C错误；D，12 = 23，故D错误.故选B.2.【答案】C【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x−1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．【解答】解：根据题意，得x−1≥0，解得，x≥1．故选C．3.【答案】C【考点】勾股定理的逆定理【解析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可.【解答】解：假设直角三角形的斜边长为c，则有a2+b2=c2，A，22+42≠62，不能组成直角三角形，故A错误；B，12+22≠22，不能组成直角三角形，故B错误；C，32+42=52，能组成直角三角，故C正确；D，42+82≠102，不能组成直角三角形，故D错误.故选C．4.【答案】B【考点】二次根式的乘除法合并同类项【解析】根据二次根式的化简和二次根式的运算法则分析即可解答.【解答】解：A，6与2不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B，27÷3=27÷3=3，，故B正确；C，3与3不是同类项，不能合并，故C错误；D，20÷2=25÷2=5，故D错误.故选B.5.【答案】D【考点】平行四边形的性质【解析】由平行四边形的性质：①对边平行；②对边相等；③对角线互相平分；④对角相等；容易得出结论．【解答】解：∵ 平行四边形的性质有：①对边平行，②对边相等，③对角线互相平分，④对角相等，∴ 平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直.故选D．6.【答案】A【考点】在数轴上表示实数勾股定理数轴【解析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△AOB中， OB=4，BC=2，∴OC=42+22=25，∵以O为圆心，以OC为半径画弧，交数轴的正半轴于点A，∴OA=OC=25，∴点A表示的数是25，即a的值为25．故选A．7.【答案】B【考点】命题与定理平行四边形的性质正方形的判定菱形的判定矩形的判定【解析】根据平行四边形的判定方法，根据矩形的判定方法，正方形的性质，菱形的判定方法，进行判断即可.【解答】解：①平行四边形的对边相等，是真命题.；②对角线相等的平行四边形为矩形，是假命题；③对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形，是假命题；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题.综上所述，真命题为①④，共2个.故选B.8.【答案】D【考点】三角形中位线定理线段的中点【解析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，计算即可．【解答】解：∵ 点D，E分别AB，BC的中点，∴ DE=12AC=3.5，同理，DF=12BC=3，EF=12AB=2.5，∴ △DEF的周长为DE+EF+DF=9.故选D．9.【答案】D【考点】矩形的性质勾股定理翻折变换（折叠问题）【解析】根据平行线的性质和折叠的性质易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵ AD // BC，∴ ∠DEF=∠EFB=60∘，∵ 把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴ ∠EFB=∠EFB′=60∘，∠B=∠A′B′F=90∘，∠A=∠A′=90∘，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵ ∠DEF=∠EFB′=∠EB′F=60∘∴ △EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵ ∠A′B′E=90∘−60∘=30∘，∴ B′E=2A′E，而A′E=2，∴ B′E=4，∴ A′B′=23，即AB=23，∵ AE=2，DE=6，∴ AD=AE+DE=2+6=8，∴ 矩形ABCD的面积=AB⋅AD=23×8=163．故选D.  10.【答案】B【考点】勾股定理正方形的性质直角三角形的性质【解析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，据题意，得a2=49，b2=4.根据直角三角形勾股定理，得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，故①项正确；因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，即x−y=2，故②项正确；根据图形可得四个三角形的面积＋小正方形的面积=大正方形的面积，即4×12xy+4=49，化简，得2xy+4=49，故③项正确；根据式④和式②，得2x=11，则x=5.5，y=3.5，将x，y代入式①或③都不正确，故④不正确．综上所述，正确的是①②③．故选B．二、填空题【答案】52【考点】二次根式的加减混合运算【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式可得出答案．【解答】解：原式=22+32=52．故答案为：52．【答案】45【考点】平行四边形的性质【解析】通过灵活运用平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分即可以解答此题．【解答】解：依题意，设∠A=x，∠B=3x， 由平行四边形的性质，得∠A+∠B=180∘，∴ x+3x=180∘，解得x=45∘，∴ ∠A=45∘.故答案为：45．【答案】2【考点】正方形的性质勾股定理【解析】根据正方形的性质，对角线平分、相等、垂直且平分每一组对角求解即可．【解答】解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AO=BO=12AC=1，∠AOB=90∘，由勾股定理得，AB=2，S正方形=(2)2=2．故答案为：2．【答案】60∘【考点】等边三角形的性质三角形中位线定理【解析】根据等边三角形的性质，可得∠C的度数，根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行线的性质，可得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60∘.∵点D，E分别为边AB，AC的中点，∴DE//BC，∴ ∠AED=∠C=60∘．故答案为：60∘．【答案】6cm【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB＝2CD．【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=3cm，∴ AB=2CD=6cm.故答案为：6cm.【答案】245【考点】菱形的性质菱形的面积【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴ AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，∴ BC=5.∵ 12⋅AC⋅BD=BC⋅AE，∴ AE=245.故答案为：245.【答案】16【考点】正方形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 正方形EFGH的面积为10，∴ EH=EF=FG=FG=10.在Rt△EAH中，AE=3，EH=10，∴ AH=(10)2−32=1，∴ AD=AH+DH=4，∴ 正方形ABCD的面积为42=16.故答案为：16.三、解答题【答案】解：1原式=2×3+2×5=6+10.2原式=33−3−2−3=33−2−3−3=33−2+3−3=33−2.【考点】二次根式的混合运算【解析】左侧图片未给出解析左侧图片未给出解析【解答】解：1原式=2×3+2×5=6+10.2原式=33−3−2−3=33−2−3−3=33−2+3−3=33−2.【答案】解：∵ a=2+3，b=2−3，∴ a+b=2+3+2−3=4，ab=(2+3)(2−3)=1，∴ a2b+ab2=ab(a+b)=4.【考点】二次根式的化简求值平方差公式【解析】首先求得a+b于ab的值，根据a2b+ab2=ab(a+b)代入即可求解．【解答】解：∵ a=2+3，b=2−3，∴ a+b=2+3+2−3=4，ab=(2+3)(2−3)=1，∴ a2b+ab2=ab(a+b)=4.【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，且AD=BC，∴ AF//EC.∵ BE=DF，∴ BC−BE=AD−DF，∴ AF=EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∴ AE=CF.【考点】平行四边形的性质平行四边形的判定【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，且AD=BC，推出AF//EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，且AD=BC，∴ AF//EC.∵ BE=DF，∴ BC−BE=AD−DF，∴ AF=EC，∴ 四边形AECF是平行四边形，∴ AE=CF.【答案】解：(1)连接BD，如图，∵ ∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，∴ BD2=AB2+AD2=32+42=52.∵ BC=12m，CD=13m，∴ 122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90∘，∴ S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=12AD⋅AB+12DB⋅BC=12×4×3+12×12×5=36m2，∴ 四边形ABCD的面积为36平方米．(2)36×200=7200(元)．答：学校需要投入7200元资金买草皮．【考点】勾股定理的应用勾股定理的逆定理【解析】(1)仔细分析题目，需要求得四边形ABCD的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DBC构成，则容易求解；(2)根据总价=单价×数量计算即可求解．【解答】解：(1)连接BD，如图，∵ ∠A=90∘，AB=3m，DA=4m，∴ BD2=AB2+AD2=32+42=52.∵ BC=12m，CD=13m，∴ 122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90∘，∴ S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=12AD⋅AB+12DB⋅BC=12×4×3+12×12×5=36m2，∴ 四边形ABCD的面积为36平方米．(2)36×200=7200(元)．答：学校需要投入7200元资金买草皮．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AF // BE，∴ ∠FAE=∠BEA.又∵ EF // AB，∴ 四边形ABEF为平行四边形.∵ AE平分∠BAF，∴ ∠BAE=∠FAE，∴ ∠BAE=∠BEA，∴ BA=BE，∴ 平行四边形ABEF为菱形.【考点】菱形的判定平行四边形的性质与判定【解析】先判定四边形ABEF为平行四边形，再证明有一组邻边相等可得四边形ABEF是菱形．【解答】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AF // BE，∴ ∠FAE=∠BEA.又∵ EF // AB，∴ 四边形ABEF为平行四边形.∵ AE平分∠BAF，∴ ∠BAE=∠FAE，∴ ∠BAE=∠BEA，∴ BA=BE，∴ 平行四边形ABEF为菱形.【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ DA=AB，∠DAF=∠ABE=90∘.∵ AF=BE，∴ △DAF≅△ABE(SAS).(2)AE⊥DF，理由如下：由(1)得△DAF≅△ABE，∴ ∠ADF=∠EAB.∵ ∠DAO+∠EAB=∠DAF=90∘，∴ ∠DAO+∠ADF=90∘，∴ ∠DOA=90∘，∴ AE⊥DF.【考点】正方形的性质全等三角形的判定全等三角形的性质余角和补角【解析】(1)根据正方形得性质很容易得到，DA=AB，∠DAF=∠ABE=90∘，再根据AF=BE，即可证明△DAF≅△ABE．(2)根据第一问得到的全等，可以很容易得到AE与DF的数量关系，而要根据图形可以猜测其位置关系为垂直，因此只需要证明到∠AOD=90∘即可，因此可以转化到算∠ADO+∠DAO的度数．【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ DA=AB，∠DAF=∠ABE=90∘.∵ AF=BE，∴ △DAF≅△ABE(SAS).(2)AE⊥DF，理由如下：由(1)得△DAF≅△ABE，∴ ∠ADF=∠EAB.∵ ∠DAO+∠EAB=∠DAF=90∘，∴ ∠DAO+∠ADF=90∘，∴ ∠DOA=90∘，∴ AE⊥DF.【答案】证明：(1)∵ CF // AB，∴ ∠EFC=∠ADE.∵ 点E为AC的中点，∴ AE=CE.在△AED和△CEF中，∠EFC=∠ADE,∠AED=∠CEF,AE=CE,∴ △AED≅△CEF(AAS)，∴ DE=FE.又∵ AE=CE，∴ 四边形ADCF是平行四边形，∴ CD=AF.(2)∵ ∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，∴ ∠EDC=∠ECD，∴ DE=EC.又∵ DE=FE，AE=CE，∴ AC=DF，∴ 平行四边形ADCF是矩形．【考点】平行四边形的性质与判定全等三角形的性质与判定平行四边形的性质矩形的判定【解析】（1）首先证明△AED≅△CFE，即可证得四边形ADCF的对角线互相平分，依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得；（2）利用三角形的外角的性质即可证得∠EDC=∠ECD，则根据等角对等边即可证得DE=EC，从而证明平行四边形ADCF的对角线相等，即可证得．【解答】证明：(1)∵ CF // AB，∴ ∠EFC=∠ADE.∵ 点E为AC的中点，∴ AE=CE.在△AED和△CEF中，∠EFC=∠ADE,∠AED=∠CEF,AE=CE,∴ △AED≅△CEF(AAS)，∴ DE=FE.又∵ AE=CE，∴ 四边形ADCF是平行四边形，∴ CD=AF.(2)∵ ∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，∴ ∠EDC=∠ECD，∴ DE=EC.又∵ DE=FE，AE=CE，∴ AC=DF，∴ 平行四边形ADCF是矩形．【答案】解：(1)四边形BECD是菱形，理由：∵ D为AB中点，∴ AD=BD，∵ CE=AD，∴ BD=CE，∵ BD // CE，∴ 四边形BECD是平行四边形，∵ DE⊥BC,∴ 四边形BECD是菱形；(2)当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由：∵ ∠ACB=90∘，∠A=45∘，∴ ∠ABC=∠A=45∘，∴ AC=BC，∵ D为BA中点，∴ CD⊥AB，∴ ∠CDB=90∘，∵ 四边形BECD是菱形，∴ 四边形BECD是正方形，即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形．【考点】正方形的判定与性质平行四边形的应用菱形的判定【解析】（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90∘，再根据正方形的判定推出即可．【解答】解：(1)四边形BECD是菱形，理由：∵ D为AB中点，∴ AD=BD，∵ CE=AD，∴ BD=CE，∵ BD // CE，∴ 四边形BECD是平行四边形，∵ DE⊥BC,∴ 四边形BECD是菱形；(2)当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形，理由：∵ ∠ACB=90∘，∠A=45∘，∴ ∠ABC=∠A=45∘，∴ AC=BC，∵ D为BA中点，∴ CD⊥AB，∴ ∠CDB=90∘，∵ 四边形BECD是菱形，∴ 四边形BECD是正方形，即当∠A=45∘时，四边形BECD是正方形．