2020-2021学年江西省吉安市某校初二（下）期中考试数学试卷新北师大版

这是一份2020-2021学年江西省吉安市某校初二（下）期中考试数学试卷新北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 如图，在△ABC中， ∠C=90∘，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC，AB于点M，N；②分别以点M和点N为圆心、大于12MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=9，则△ABD的面积是( )

A.12B.18C.24D.36

3. 下列说法错误的是( )
A.若a−5−2b，则a>−b
C.若a2>1，则a>1aD.若a>b， x>y，则a+x>b+y

4. 如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠CAD的度数是( )

A.20∘B.25∘C.30∘D.40∘

5. 如图，在△ABC中，∠CAB=70∘，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′ // AB，则∠BAB′的度数是（ ）

A.70∘B.35∘C.40∘D.50∘

6. 某运行程序如图，从“输入一个值m到结果是否>107”为一次程序操作，若操作进行两次停止，则m的取值范围是( )

A.m>11B.m≤35C.11≤m<35D.11二、填空题

写出一个解集为x≥1的一元一次不等式:________.

通过平移把点A(2,−1)移到点A1(2,2)，按同样的平移方式，点B移动到点B1(−3,1)，则点B的坐标是________．

如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点，若∠CAE=18∘，则∠B为________.


如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1, 2)，则使y1

如图，在△ACB中，∠C=90∘，AB的垂直平分线交AB，AC于点M，N，若AC=8，BC=4，则NC的长度为________.


已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10, 0)，C(0, 4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．

三、解答题

(1)解不等式：x−14−3x+18>1；
(2)如图，D，C，F，B四点在一条直线上，AB=DE， AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C，点F，DF=BC.求证：EF=AC.


解不等式组2x−2≤3x−1,①x−43≤−x+12,② 并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

如图，AE=AD，∠ABC=∠ACB，BE=4，AD=5，求AC的长度．


如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−5, 0)，B(−2, 3)，C(−1, 0)．

(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′；

(2)将△ABC绕原点O顺时针旋转90∘，画出对应的△A″B″C″，并写出点B″的坐标_______．

如图，将一个直角三角板ACB(∠C=90∘)绕60∘角的顶点B顺时针旋转，使得点C旋转到AB的延长线上的点E处，请解答下列问题：

(1)三角板旋转了多少度？

(2)连接CE，求∠ACE的度数．

若不等式组{2x−a<1,①x−2b>3,②的解集是−1
如图，将直角△ABC（AC为斜边）沿直角边AB方向平移得到直角△DEF，已知BE=6，EF=7，CG=3，求阴影部分的面积.


某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和4个毽子共需40元；购买4根跳绳和3个毽子共需44元．
(1)购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是50，且购买的总费用不能超过300元．若要求购买跳绳的数量多于23根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
(1)如图1所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的关系，并说明理由；

(2)如图2所示，连接DB，将线段DB绕点D按顺时针旋转90∘到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的关系，并说明理由．

某校组织学生参加“周末郊游”.甲旅行社说：“只要一名学生买全票，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“全体学生都可按6折优惠”.已知全票价为240元.
(1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），用含x的式子表示出y甲与y乙；

(2)就学生人数x讨论哪一家旅行社更优惠.

如图，C为线段AB上任意一点（不与A，B重合）分别以AC，BC为一边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．AE与BD交于点P．连接PC．试说明：

(1)①求证：AE=BD；②求∠APD的度数；

(2)求证：∠APC=∠BPC；

(3)若AC=6，BC=4，将△BCE绕点C按顺时针旋转，在旋转过程中AE的长度有没有最大值或最小值，若有请直接写出最大值或最小值，若无请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省吉安市某校初二（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
中心对称图形
【解析】
根据中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，
根据中心对称图形的定义可知，只有A是中心对称图形.
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
作图—基本作图
三角形的面积
角平分线的性质
【解析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作DE⊥AB于E，如图，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵ AP平分∠CAB，∠C=90∘， DE⊥AB，
∴ DE=DC=4，
∴ S△ABD=12×AB×DE=18.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
不等式的性质
【解析】
根据不等式的基本性质对各选项判断后利用排除法求解．
【解答】
解： A，不等式的两边都加上5，不等号的方向不变，故不符合题意；
B，两边都除以2，不等号的方向不变，故不符合题意；
C，两边都除以a，a可以是负数，故符合题意；
D，∵ a>b， x>y，
∴ a+x>b+x>b+y，
∴ a+x>b+y，故不符合题意．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
作图—基本作图
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据内角和定理求得∠BAC=60∘，由垂直平分线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30∘，从而得出答案．
【解答】
解：在△ABC中，∵ ∠B=30∘，∠C=90∘，
∴ ∠BAC=180∘−∠B−∠C=60∘.
由作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴ DA=DB，
∴ ∠DAB=∠B=30∘，
∴ ∠CAD=∠BAC−∠DAB=30∘.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
旋转的性质
平行线的性质
【解析】
根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′ // AB得∠ACC′＝∠CAB＝70∘，则∠AC′C＝∠ACC′＝70∘，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝40∘，所以∠B′AB＝40∘．
【解答】
解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴ AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，
∴ ∠AC′C=∠ACC′，
∵ CC′ // AB，
∴ ∠ACC′=∠CAB=70∘，
∴ ∠AC′C=∠ACC′=70∘，
∴ ∠CAC′=180∘−2×70∘=40∘，
∴ ∠B′AB=40∘.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
解一元一次不等式组
【解析】
根据运算程序，第一次运算结果小于等于107，第二次运算结果大于107列出不等式组，然后求解即可．
【解答】
解：由题意，得3m+2≤107,33m+2+2>107,
解得11故选D.
二、填空题
【答案】
x−1≥0（答案不唯一）
【考点】
一元一次不等式的定义
【解析】
据一元一次不等式的求解逆用，把1进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式进行其它变形，所以答案不唯一．
【解答】
解：移项，得x−1≥0.
故答案为：x−1≥0（答案不唯一）．
【答案】
(−3,−2)
【考点】
坐标与图形变化-平移
【解析】
根据已知条件找到平移规律：横坐标不变纵坐标加3，即可解题．
【解答】
解：把点A2,−1移到点A12,2 ，
只需要将点A向上平移3个单位长度，
即横坐标不变，纵坐标加3，
所以按同样的平移方式，点B移动到点B1−3,1，
即B1−3,1向下平移3个单位长度可得点B，
所以点B的坐标是−3,−2.
故答案为：−3,−2.
【答案】
36∘
【考点】
三角形的外角性质
等腰三角形的性质：三线合一
【解析】
先判断出∠AEC=90∘，进而求出∠ADC=∠C=74∘，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论.
【解答】
解： ∵AD=AC ，点E是CD中点，∠CAE=18∘，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90∘，
∴∠C=90∘−∠CAE=72∘.
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=72∘.
∵AD=BD，
∴2∠B=∠ADC=72∘，
∴∠B=36∘.
故答案为：36∘.
【答案】
x<1
【考点】
两直线相交非垂直问题
一次函数的图象
【解析】
在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断．
【解答】
解：∵ 直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为(1, 2)，
∴ 当x=1时，y1=y2=2.
由图象可知，当y1∴ 使y1故答案为：x<1．
【答案】
3
【考点】
勾股定理
线段垂直平分线的性质
【解析】
连接BN，设CN=x，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AN=8N=8−x，在PtABCN中应用勾股定理即可求解．
【解答】
解：连接BN，设CN=x，
∵ MN为AB的垂直平分线，AC=8，BC=4，
∴ AN=BN=8−x，
在Rt△BCN中，CN2+BC2=BN2，
即x2+42=8−x2，
解得x=3，
∴ CN=3.
故答案为：3.
【答案】
(3, 4)或(2, 4)或(8, 4)
【考点】
等腰三角形的判定与性质
坐标与图形性质
【解析】
分OP=OD、PD=OD和PO=PD三种情况，结合矩形的性质和勾股定理可求得P点的坐标．
【解答】
解：∵ A(10, 0)，C(0, 4)，且四边形OABC是矩形，
∴ OA=BC=10，OC=AB=4，
∵ D是OA的中点，
∴ OD=5，
当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，
则有PO=OD=5，PD=OD=5或PO=PD=5，
当PO=OD=5时，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，
由勾股定理可求得PC=3，此时P点坐标为(3, 4)；
当PD=OD=5时，可分为两种情况，
若∠PDO为锐角，过P作PE⊥OA于点E，如图1，
在Rt△PED中，PE=OC=4，PD=5，
由勾股定理可求得DE=3，且OD=5，
则OE=5−3=2，此时P点坐标为(2, 4)，
若∠PDO为钝角，P点坐标为(8,4)；
当PO=PD=5时，过P作PF⊥OA于点F，如图2，
在Rt△POF中，PF=4，PO=5，
由勾股定理可求得OF=3，则OD=6，
与已知矛盾，故该情况不存在；
综上可知点P的坐标为(3, 4)或(2, 4)或(8, 4)，
故答案为：(3, 4)或(2, 4)或(8, 4)．
三、解答题
【答案】
(1)解：去分母，得2x−1−3x+1>8，
去括号，得2x−2−3x−1>8，
合并同类项，得−x>11，
系数化为1，得x<−11.
(2)证明：∵ AC⊥BD，EF⊥BD，
∴ 在Rt△ABC与Rt△EDF中，
AB=DE,BC=DF,
∴ Rt△ABC≅Rt△EDFHL.
∴ AC=EF.
【考点】
解一元一次不等式
全等三角形的性质与判定
【解析】
暂无
暂无
【解答】
(1)解：去分母，得2x−1−3x+1>8，
去括号，得2x−2−3x−1>8，
合并同类项，得−x>11，
系数化为1，得x<−11.
(2)证明：∵ AC⊥BD，EF⊥BD，
∴ 在Rt△ABC与Rt△EDF中，
AB=DE,BC=DF,
∴ Rt△ABC≅Rt△EDFHL.
∴ AC=EF.
【答案】
解：由①，得2x−4≤3x−1，
解得x≥−3；
由②，得2(x−4)≤−3(x+1)，
即2x−8≤−3x−3，
解得x≤1，
所以不等式组的解集为−3≤x≤1.
将不等式组的解集表示在数轴上如图所示.
【考点】
在数轴上表示不等式的解集
解一元一次不等式组
【解析】
先求出各个不等式的解集，求出公共部分，再表示在数轴上即可.
【解答】
解：由①，得2x−4≤3x−1，
解得x≥−3；
由②，得2(x−4)≤−3(x+1)，
即2x−8≤−3x−3，
解得x≤1，
所以不等式组的解集为−3≤x≤1.
将不等式组的解集表示在数轴上如图所示.
【答案】
解：∵ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC.
∵ AE=AD，
∴ BE=CD.
∵ AD=5，BE=4，
∴ CD=BE=4，
∴ AC=AD+CD=5+4=9．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
根据等腰三角形的判定求出AB=AC，求出CD=BE=4，即可得出答案．
【解答】
解：∵ ∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC.
∵ AE=AD，
∴ BE=CD.
∵ AD=5，BE=4，
∴ CD=BE=4，
∴ AC=AD+CD=5+4=9．
【答案】
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求.
(3, 2)
【考点】
作图-旋转变换
【解析】
（1）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90∘得到的对应点，再顺次连接可得．
【解答】
(1)如图所示，△A′B′C′即为所求.
(2)如图所示，△A″B″C″即为所求，点B″(3, 2)．
故答案为：(3, 2)．
【答案】
解：(1)∵ ∠ABC=60∘，
∴ ∠CBE=180∘−60∘=120∘.
∵ 直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，
∴ ∠CBE等于旋转角，
∴ 三角板旋转了120∘.
(2)如图，连接CE，
∵ 直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，
∴ BC=BE，
∴ △BCE为等腰三角形.
∵ ∠CBE=120∘，
∴ ∠BCE=12(180∘−120∘)=30∘，
∴ ∠ACE=∠ACB+∠BCE=90∘+30∘=120∘.
【考点】
旋转的性质
等腰三角形的性质与判定
【解析】
（1）先利用邻补角计算出∠CBE=180∘−∠ABC=120∘，再根据旋转的性质得到∠CBE等于旋转角，所以三角板旋转了120∘；
（2）根据旋转的性质得BC=BE，则根据等腰三角形的判定定理即可得到△BCE为等腰三角形；
【解答】
解：(1)∵ ∠ABC=60∘，
∴ ∠CBE=180∘−60∘=120∘.
∵ 直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，
∴ ∠CBE等于旋转角，
∴ 三角板旋转了120∘.
(2)如图，连接CE，
∵ 直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，
∴ BC=BE，
∴ △BCE为等腰三角形.
∵ ∠CBE=120∘，
∴ ∠BCE=12(180∘−120∘)=30∘，
∴ ∠ACE=∠ACB+∠BCE=90∘+30∘=120∘.
【答案】
解：由①，得x<1+a2，
由②，得x>3+2b，
∵ 不等式组的解集为−1∴ 1+a2=1，3+2b=−1，
解得a=1，b=−2，
∴ a+1b−1=2×−3=−6.
【考点】
解一元一次不等式组
列代数式求值
【解析】
根据题目中给的不等式组，将其进行化简，根据x的解集，计算得到a和b的值，得到答案即可．
【解答】
解：由①，得x<1+a2，
由②，得x>3+2b，
∵ 不等式组的解集为−1∴ 1+a2=1，3+2b=−1，
解得a=1，b=−2，
∴ a+1b−1=2×−3=−6.
【答案】
解：由平移的性质，得S△ABC=S△DEF.
所以S阴影=S△ABC−S△DBG =S△DFE−S△DBG=S梯形GBEF.
又EF=7，CG=3，
所以BG=BC−CG=EF−CG=7−3=4，
所以S梯形BEFG=12(BG+EF)⋅BE
=12×4+7×6=33.
即所求阴影部分的面积是33.
【考点】
平移的性质
求阴影部分的面积
【解析】
暂无
【解答】
解：由平移的性质，得S△ABC=S△DEF.
所以S阴影=S△ABC−S△DBG =S△DFE−S△DBG=S梯形GBEF.
又EF=7，CG=3，
所以BG=BC−CG=EF−CG=7−3=4，
所以S梯形BEFG=12(BG+EF)⋅BE
=12×4+7×6=33.
即所求阴影部分的面积是33.
【答案】
解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元．
依题意，得3x+4y=40,4x+3y=44,
解得x=8,y=4.
答：购买一根跳绳需要8元，购买一个毽子需要4元．
(2)设购买m根跳绳，则购买50−m个毽子．
依题意，得8m+450−m≤300,m>23,
解得23∴ 正整数m可为24，25，
∴ 有2种方案：24根跳绳，26个毽子；25根跳绳，25个毽子．
【考点】
二元一次方程组的应用——优化方案问题
一元一次不等式组的应用
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元．
依题意，得3x+4y=40,4x+3y=44,
解得x=8,y=4.
答：购买一根跳绳需要8元，购买一个毽子需要4元．
(2)设购买m根跳绳，则购买50−m个毽子．
依题意，得8m+450−m≤300,m>23,
解得23∴ 正整数m可为24，25，
∴ 有2种方案：24根跳绳，26个毽子；25根跳绳，25个毽子．
【答案】
解：(1)AE=DB，AE⊥DB，
∵ △ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，EC=DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴ Rt△BCD≅Rt△ACE，
∴ AE=BD，∠AEC=∠BDC.
延长DB交AE于点H，如图，
∵ ∠BCD=90∘，∠EBH=∠CBD，
∴ ∠DHE=90∘，
∴ AE⊥DB.
(2)DE=AF，DE⊥AF，
设DE与AF交于N，如图，
由题意得BE=AD，
∵ ∠EBD=∠C+∠BDC=90∘+∠BDC，
∠ADF=∠BDF+∠BDC=90∘+∠BDC，
∴ ∠EBD=∠ADF.
在△EBD和△ADF中，
BE=AD，∠EBD=∠ADF，DB=DF，
∴ △EBD≅△ADF，
∴ DE=AF，∠E=∠FAD.
∵ ∠E=45∘，∠EDC=45∘，
∴ ∠FAD=45∘，
∴ ∠AND=90∘，即DE⊥AF．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD≅Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；
（2）证明△EBD≅△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】
解：(1)AE=DB，AE⊥DB，
∵ △ABC与△DEC是等腰直角三角形，
∴ AC=BC，EC=DC，
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴ Rt△BCD≅Rt△ACE，
∴ AE=BD，∠AEC=∠BDC.
延长DB交AE于点H，如图，
∵ ∠BCD=90∘，∠EBH=∠CBD，
∴ ∠DHE=90∘，
∴ AE⊥DB.
(2)DE=AF，DE⊥AF，
设DE与AF交于N，如图，
由题意得BE=AD，
∵ ∠EBD=∠C+∠BDC=90∘+∠BDC，
∠ADF=∠BDF+∠BDC=90∘+∠BDC，
∴ ∠EBD=∠ADF.
在△EBD和△ADF中，
BE=AD，∠EBD=∠ADF，DB=DF，
∴ △EBD≅△ADF，
∴ DE=AF，∠E=∠FAD.
∵ ∠E=45∘，∠EDC=45∘，
∴ ∠FAD=45∘，
∴ ∠AND=90∘，即DE⊥AF．
【答案】
解：(1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y2（元），
则y甲=240+240×0.5x−1=120x+120，
y乙=240×0.6x=144x.
(2)当y甲>y乙时，即120x+120>144x，
解得x<5，
所以当学生人数少于5时，乙旅行社更优惠；
当y甲=y乙时，即120x+120=144x，
解得x=5，
所以当学生人数正好是5时，甲、乙两家旅行社一样优惠；
当y甲解得x>5，
所以当学生人数超过5时，甲旅行社更优惠.
【考点】
一次函数的应用
一元一次不等式的实际应用
【解析】
（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费是一人交240元，剩余的人每人交120元，乙旅行社的收费是每人交14元，据此分别求得甲，乙旅行社收费的关系式即可；
（2）要分三种情况：y甲>y乙，y甲=y乙，y甲【解答】
解：(1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y2（元），
则y甲=240+240×0.5x−1=120x+120，
y乙=240×0.6x=144x.
(2)当y甲>y乙时，即120x+120>144x，
解得x<5，
所以当学生人数少于5时，乙旅行社更优惠；
当y甲=y乙时，即120x+120=144x，
解得x=5，
所以当学生人数正好是5时，甲、乙两家旅行社一样优惠；
当y甲解得x>5，
所以当学生人数超过5时，甲旅行社更优惠.
【答案】
(1)①证明：∵ △ACD和△CBE都是等边三角形，
∴ CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠ECB=60∘，
∴ ∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴ ∠ACE=∠DCB，
∴ △ACE≅△DCBSAS，
∴ AE=DB.
②解：∵ △ACE≅△DCB，
∴ ∠CAE=∠CDB，∠ACD=∠CDB+∠CBD=60∘，
∴ ∠CAE+∠CBD=60∘，
∴ ∠APD=∠CAE+∠CBD=60∘.
(2)证明：如图，过点C作CG⊥AE于G，作CH⊥BD于H，
在△ACG和△DCH中，
∠CAG=∠CDH,∠AGC=∠DHC,AC=DC,
∴ △ACG≅△DCH(AAS)，
∴ CG=CH，且CG⊥AE，CH⊥BD，
∴ PC平分∠APB，
即∠APC=∠BPC.
(3)解：有最大值AE=AC+CE=10，有最小值AE=AC−CE=2.
∵ AC=6，BC=4，
∴ 当点E旋转到与直线AB共线（在点C右侧）时，AE有最大值，
最大值为AE=AC+CE=10；
当点E旋转到与直线AB共线（在点C左侧）时，AE有最小值，
最小值为AE=AC−CE=2.
【考点】
全等三角形的性质与判定
等边三角形的性质
角平分线的定义
线段的和差
旋转的性质
【解析】
（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，由“SAS”可证△ACE≅△DCB，可得AE＝BD；
②由全等三角形的性质可得：S△ACE＝S△BCD，可得CH＝CG，由角平分线的判定和性质可求解；
（2）数学思考：①成立，②不成立，证明方法类似；
（3）拓展应用：由“SAS”可证△AEC≅△DBC，可得AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，由三角形内角和定理可证AE⊥BD．
见解析
由
【解答】
(1)①证明：∵ △ACD和△CBE都是等边三角形，
∴ CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠ECB=60∘，
∴ ∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴ ∠ACE=∠DCB，
∴ △ACE≅△DCBSAS，
∴ AE=DB.
②解：∵ △ACE≅△DCB，
∴ ∠CAE=∠CDB，∠ACD=∠CDB+∠CBD=60∘，
∴ ∠CAE+∠CBD=60∘，
∴ ∠APD=∠CAE+∠CBD=60∘.
(2)证明：如图，过点C作CG⊥AE于G，作CH⊥BD于H，
在△ACG和△DCH中，
∠CAG=∠CDH,∠AGC=∠DHC,AC=DC,
∴ △ACG≅△DCH(AAS)，
∴ CG=CH，且CG⊥AE，CH⊥BD，
∴ PC平分∠APB，
即∠APC=∠BPC.
(3)解：有最大值AE=AC+CE=10，有最小值AE=AC−CE=2.
∵ AC=6，BC=4，
∴ 当点E旋转到与直线AB共线（在点C右侧）时，AE有最大值，
最大值为AE=AC+CE=10；
当点E旋转到与直线AB共线（在点C左侧）时，AE有最小值，
最小值为AE=AC−CE=2.