2020-2021学年河南名校联盟高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年河南名校联盟高一下学期期中考试

数学（理）试题

一、单选题

1．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，从而求得斜率.

【详解】原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.

故选：.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求得集合P、Q，根据交集运算的概念，即可得答案.

【详解】，解得，又，

，，

，

故选：.

3．假设某班级有人，每排坐人，共有排.若老师在课堂上随机抽一列同学提问，则这种提问方式运用的抽样方法是（    ）

A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法

【答案】C

【分析】根据所抽取学生位置的特点进行判断即可.

【详解】若按顺序给学生编号，某一列学生中相邻两个学生的编号差（较大编号减去较小编号）为，

所以属于等间隔抽取，属于系统抽样.

故选：.

4．若点，则点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用诱导公式，化简和，再判断选项.

【详解】，

同理，

， ，即，点在第四象限.

故选：.

5．如图是2021年郑州市3月份某一周的天气气温的数据，以下说法正确的是（    ）

A．最高气温的极差是 B．最低气温的中位数是

C．最高气温的平均数约为 D．最低气温的方差约为

【答案】C

【分析】计算出数据的极差、中位数、平均数、方差即可判断出答案.

【详解】最高气温的极差是，错误.

最低气温的中位数是，错误.

，则正确.

，

则最低气温的方差为，错误.

故选:.

6．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用零点存在性定理，判断零点所在区间.

【详解】因为，，，所以函数的零点在内.

故选：A.

7．执行所给的程序框图，则输出的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先计算前5次循环时和的值，从而发现的值周期为4来循环，而的值为的前30个数的和，且这30个数周期为4.

【详解】执行程序框图，第次循环，，，

第次循环，，，

第次循环，，，

第次循环，，，

第次循环，，

……

循环次以后.

故选：.

8．设函数，则（    ）

A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减

C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再根据不同区间去绝对值，化简函数，判断函数的单调性.

【详解】函数的定义域为，又，所以为奇函数.当时，，随着增大，增大，所以单调递增.当时，，随着增大，减小，单调递减.

故选:.

9．在三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将三棱锥可放置在适当的长方体中，即可根据题中数据，求出结果.

【详解】由题意知，三棱锥可放置在如图所示的长方体中，

则三棱锥的体积为.

故选：.

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由题中条件，得到，再由同角三角函数基本关系，将所求式子弦化切，进而可求出结果.

【详解】，，

.

故选：.

11．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解.

【详解】解：个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内，且距离原点小于，即在球心为原点，且半径为的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以最接近的为正确答案.

故选：.

12．已知，，，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设点，即可求出的轨迹方程，求出直线，以及，利用圆心到直线的距离加上半径求出高的最大值，即可求出面积的最大值；

【详解】解：设点，因为，所以，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又直线的方程为：，，圆心到直线的距离，所以到直线的距离最大值为

则面积的最大值为.

故选：.

二、填空题

13．某次考试后，为了分析高一年级名学生的学习成绩，将学生按，，，…，，顺序编号，现需要利用系统抽样的方法从中抽取名学生的成绩，已知抽取到的第一个学生号码是，则抽到的第名学生号码是___________.

【答案】

【分析】系统抽样方法抽取的号码数成等差数列，公差为组距.

【详解】从高一年级名学生的学习成绩中采用系统抽样的方法抽取名学生的成绩，则分组间隔为，每一组中抽一个号码，

又第一组中抽到的号码是.所以，即抽到的第名学生的号码是.

故答案为：078.

14．地区干旱少雨､日照时间长､无霜期长､昼夜温差大，非常适宜农作物尤其是棉花的生长.下表是地区2016-2020年的棉花产量数据，根据表中数据求得关于的回归方程为，则以下说法正确的有___________(把所有正确说法的编号都填上).

①棉花产量与时间成正相关；②；③2021年的产量一定是万吨；④该回直线过点.

【答案】①②

【分析】根据表中数据结合回归直线依次判断即可.

【详解】由表中数据可得棉花产量与时间成正相关，①正确；

，，代入，得，②正确；

当时，，可知2021年的产量大约是万吨，③错误；

该回归直线过点，④错误.

故答案为：①②.

15．在上，满足的的取值范围是______．

【答案】

【分析】作出正弦函数的图像，由图像写出不等式的解集.

【详解】如图示：

且，

．

故答案为：

16．为了了解某校高一年级学生注射疫苗的情况，从所有班级中抽取了个班级，统计得到每班注射疫苗的人数各不相同.已知这些数据的平均数为，方差为，则这些数据中最大的数是___________.

【答案】

【分析】设个样本数据分别为、、，，可得出关于、、的等式组，然后对的取值进行分类讨论，由此可得出结果.

【详解】设个样本数据分别为、、，则，

不妨设，且、、，，

当时，，，舍去；

当时，，或，，不符合题意，舍去；

当时，则，，均不符合题意，，符合题意，

即这些数据中最大的数是.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；

（2）计算的值．

【答案】（1）（2）1．

【分析】（1）利用三角函数定义得到，，化简三角函数表达式代入即可得到结果；

（2）利用同角基本关系式化简即可.

【详解】（1）由题意知，，．

原式

；

（2）原式．

18．已知关于的一元二次方程.

（1）若是从，，，，五个数中任取的一个数，是从，，，四个数中任取的一个数，求所给方程有实数根的概率；

（2）若是从区间内任取的一个数，是从区间内任取的一个数，求所给方程有实数根的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先求出方程有实数根时、之间的关系，再用列举法列出所有基本事件，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）根据面积型几何概型的概率公式计算可得；

【详解】解：设事件为“方程有实数根”，方程有实数根，则，得.

（1）由题意知，基本事件共个：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.括号中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.

事件包含个基本事件：，，，，，，，，，，，，，，

.

（2）试验的全部结采所构成的区域为，

构成事件的区城为，

如下图所示：

则矩形的面积为，四边形的面积为，

.

19．“低头族”是指如今无论何时何地都作“低头看屏幕状”，想通过盯住屏幕的方式，把零碎的时间填满的人.“低头族”是信息焦虑､情感匮乏等的典型表现，而且在我们低头时，颈椎长期处于极度前屈的异常稳定状态，会对颈椎造成伤害.科学院心理研究所为了研究中国国民群体现状，从年齡在岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯调查，将每日玩手机时间超过5个小时称为“低头族”，否则称为“非低头族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求，，的值；

（2）从年龄段在岁的“低头族”中采用分层抽样法抽取人参加户外健身活动，其中选取人作为领队，求选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率.

【答案】（1）频率分布直方图见解析；，，；（2）.

【分析】（1）根据频率分布直方图先求出第二组的频率，即可补全图像.再由第一组的频率计算出总人数，即可算出，的值.

（2）由题意知：年龄在岁的有人，年龄在岁的有人.从中抽2人，列出所有的情况，即可得出恰有人年龄在岁的概率.

【详解】（1）第二组的频率为，

高为.

补全的频率分布直方图如下：

第一组的人数为，频率为，.

由题可知，第二组的频率为，所以第二组的人数为，

.

第四组的频率为，所以第四组的人数为，

.

（2）年龄在岁年龄段的“低头族”人数与岁年龄段的“低头族”人数的比值为，所以采用分层抽样法抽取人，年龄在岁的有人，年龄在岁的有人.

设年龄在岁中的人为、、、，岁中的人为、，则选取人作为领队的情况有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中恰有人年龄在岁的有，，，，，，，，共8种，

故选取的名领队中恰有人年龄在岁的概率为.

20．改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市从2014-2018年的本科录取成绩，为了便于计算，将2014年编号为，2015年编号为，…，2018年编号为，如果将每年的本科录取率记作，把年份对应编号到作为自变量，记作，得到如下数据：

（1）画出散点图；

（2）试建立关于的回归方程；

（3）已知该城市2019年本科录取率为，2020年本科录取率为.若，则认为该回归方程精确度较高，试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2021年该城市的本科录取率.

参考公式：，.

【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率，预测2021年该城市的本科录取率为.

【分析】（1）根据表格中的数据，在直角坐标系中描点，即可画出散点图；

（2）根据数据，求出，，，，根据公式即可求解和，从而得关于的回归方程；

（3）由（2）问关于的回归方程及，通过计算，由题意即可作出判断，从而求解.

【详解】解：（1）根据表格中的数据，在直角坐标系中画出散点图如下：

（2）计算得，，，，

，又，，

，

关于的回归方程为.

（3）当时，，，

当时，，，则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.

当时，，

预测2021年该城市的本科录取率为.

21．已知为的内角，且、为方程的两根.

（1）求的值；

（2）已知函数，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据韦达定理以及同角三角函数的平方关系可求得实数的值；

（2）化简得出，分析可知为钝角，进而利用同角函数的平方关系可求得的值.

【详解】（1）关于的方程有两根，则，可得.

由韦达定理可得，，

，得；

（2）

，

，则，因为，则，故为钝角，

，.

22．某商场对家商铺进行问卷调查，其中一项是他们的月营业额情况，调查发现，他们的月营业额在人民币万元到万元之间，根据统计数据分组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）同一组数据用该组区间的中点值作代表，求这家商铺月营业额的平均数和方差；

（2）该商场计划对这家商铺收取一定的管理费用，对每月的管理费用有两种收费方案.方案一：设，营业额落在区间左侧的每家商铺每月收取元，营业额落在区间内的每家商铺每月收取元，营业额落在区间右侧的每家商铺每月收取元.方案二：按每家商铺一个月营业额的收取.用统计的频率进行估算.哪一种收费方案能使商场收到更多的管理费用？参考数据：.

记：(其中为对应的频率).

【答案】（1）平均数：，方差是：；（2）方案一能使商场收到更多的管理费用.

【分析】（1）先计算平均数，再根据方差公式，计算；（2）方案一，首先求得，然后按照规则，分别计算每档的频率，再计算收取费用；方案二，利用平均数计算收取的管理费用.

【详解】（1）这家商铺月营业额的平均数是：

，

方差是：.

（2）方案一：，，

管业额落在区间左侧的每家商铺每月收取费用约为(万元)，

营业额落在区间内的每家商铺每月收取费用约为(万元)，

营业额落在区间右侧的每家商铺每月收取费用约为(万元).

(万元)，则共收取费用万元.

方案二：这家商铺每月共收取费用约为(万元).

故方案一能使商场收到更多的管理费用.