2020-2021学年河南省天一大联考高一下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2020-2021学年河南省天一大联考高一下学期期中考试

数学（理）试题

一、单选题

1．下列各式中值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据同角三角函数平方关系、二倍角的正余弦公式可求得结果.

【详解】，，

，，

值为是.

故选：D.

2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.

【详解】设扇形所在圆半径为r，则扇形弧长，而，

由此得，所以扇形的面积.

故选：B

3．已知，直线与平行，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平行得，进而解得，从而得解.

【详解】直线与平行，

则，解得，（舍去）.

由，可得，经检验两直线不重合

故选：A.

4．已知角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出点的坐标，用余弦的定义计算即可.

【详解】解：，所以角的终边经过点，

故选：A.

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过计算可知，，，从而得出，，的大小关系.

【详解】解：因为，所以，，所以.

故选：B.

6．已知平面向量则向量夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，再由可求解.

【详解】因为，

所以.

故选：B.

7．在中，点，分别在边和上，且，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算及平面向量基本定理计算可得；

【详解】解：因为点，分别在边和上，且，

所以

，

故选：A

8．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数为偶函数和的正负，即可得答案；

【详解】的定义域为，关于原点对称，

且，

为偶函数，排除B，D；

，排除A；

故选：C.

9．已知函数，若时，的最小值为5，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】化简函数得，再由可得最小值，列方程求解即可.

【详解】，

当时，，所以，

当时，取得最小值，取得最小值，

解得.

故选：B.

10．已知菱形的边长为4，，点为的中点，点为的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用坐标法求出向量的模；

【详解】解：如图建立平面直角坐标系

则，，，，所以，

所以

所以

故选：D

11．已知函数的部分图象如图，则在区间上零点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】根据函数图像求得三角函数里的，写出函数解析式，从而找到在时的零点个数.

【详解】由题知，故，；

，则，，

又，则，

当时，或，即有2个零点.

故选：C

12．已知函数，则下列结论中正确的个数为（    ）

①为偶函数；②的一个周期为；③在上单调递减；④的值域为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据函数解析式及余弦函数的性质一一判断即可；

【详解】解：因为

由条件易知，所以为偶函数，①正确

因为，，，故不是的周期，②错误

当时，，

所以，，从而可知在上单调递减，③正确

当时，，所以，

当时，，，又易知是的周期，故的值域为，④正确．

综上所述，正确的结论为①③④．

故选:C

二、填空题

13．已知向量，，若与垂直，则的值为______.

【答案】-1

【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可求出参数的值；

【详解】解：因为，，所以

因为与垂直，所以，即，解得

故答案为：

14．已知，，，，则______.

【答案】

【分析】由，，判断，，根据给定的三角函数值分别计算此角的另一个三角函数值，代入两角差的正弦公式计算结果.

【详解】解：，，所以，又因为，所以，；

，，则；

.

故答案为：.

15．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，记与的图象在轴的右侧的所有公共点为，则的最小值为______.

【答案】

【分析】利用图象平移求出，由，得到得，故可求的最小值

【详解】解：由题意，，

由，

得，所以，即，

当时，取得最小值．

故答案为：．

16．在平面四边形中，，，，，.若，则______.

【答案】6

【分析】对，分别两边同乘以和，得到关于方程组，解出，就可以求出.

【详解】

因为，

式同乘以，得：，

即，即①.

式同乘以，得：，

即，即②.

①②联立解得：，

所以.

故答案为：6

【点睛】在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行运算.

三、解答题

17．已知.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用两角差的正切公式计算可得；

（Ⅱ）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】解：（Ⅰ），

解得.

（Ⅱ）

分子分母同时除以，可得

18．已知向量，，向量.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求，夹角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据向量平行的坐标运算得，进而得解；

（Ⅱ）先计算，再计算两向量的模长，利用夹角公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）由，得，

解得.

又，所以.

（Ⅱ）若，则

所以

又，，

设，的夹角为，则.

19．如图，半圆的直径，，为半圆弧上的两个三等分点.

（Ⅰ）求向量在向量上的投影；

（Ⅱ）求.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.

【分析】（Ⅰ）在中计算，因为为半圆弧的三等分点，得出，利用投影的定义直接计算可得出结果. （Ⅱ）由等分关系可得出，又有，代入所求可得到，代入向量数量积的公式即可求出结果

【详解】（Ⅰ）由题可得，

如图，连接，则，在中，，所以，

所以向量在向量上的投影为.

（Ⅱ）如图，连接，，因为，为半圆弧上的两个三等分点，

所以，，

.

【点睛】知识点点睛：（1）向量在向量上的投影为；

（2）求向量的数量积经常利用向量的线性运算将向量转化为其他向量，然后再利用向量数量积的定义计算.

20．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周的噪，然后降噪芯片生成与嗓声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.

已知某噪声的声波曲线的振幅为2.且经过点.

（Ⅰ）求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式.

（Ⅱ）试探究是否为定值.若是，求出定值；若不是，说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是，0.

【分析】（Ⅰ）根据振幅得，代入得，进而由可得解；

（Ⅱ）直接根据解析式计算即可得解.

【详解】（Ⅰ）由振幅为2，得，

又因曲线经过点，可知，

因为，所以.

所以，

故.

（Ⅱ），

，

.

所以为定值.

21．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.

（1）求函数的解析式；

（2）求出在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）和.

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；

（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.

【详解】（1）由题意知，若，则，所以，

又因为，所以，得，所以；

（2）因为，所以，

正弦函数在区间上的单调递增区间为和，

此时即或，得或，

所以在上的递增区间为和.

22．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示.

（Ⅰ）直接写出表格中空格处的数以及的解析式；

（Ⅱ）将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象，若图象的一条对称轴方程为，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意的，恒有，求的最大值.

【答案】（Ⅰ）表格见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）直接根据关键点即可确定；

（Ⅱ）先得到平移后的函数，再将代入得，结合范围即可得解；

（Ⅲ）由得函数在上单调递增，再化简函数即可得解.

【详解】（Ⅰ）表格中空格处的数为.

解析式为.

（Ⅱ）由条件知，

图象的一条对称轴方程为，

则，所以，

因为，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

由得，

可知函数在上单调递增，

，

易知在上单调递增，所以的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是熟练掌握三角函数的关键点及性质，第三问中由构造函数在上单调递增是解题的关键.