2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习09（含答案）

2022年中考数学二轮专题复习

《压轴题-二次函数》培优练习09

1.如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求证：四边形ACHD是正方形；

（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．

①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；

②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．

2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M移动到点A时停止.

（1）当M落在OA的中点时，则点M的坐标为　   　.

（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，

①用m的代数式表示点P的坐标；

②当m为何值时，线段PA最长？

（3）当线段PA最长时，相应的抛物线上有一点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，求此时点Q的坐标.

3.如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．

4.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD的顶点A在直线y=2x+4上，点B在第二象限，C，D两点均在x轴上，且点C在点D的左侧，抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，且这条抛物线交y轴于点E．

（1）写出A，C两点的坐标；

（2）当抛物线y=﹣（x﹣m）2+n经过点C时，求抛物线所对应的函数表达式；

（3）当点E在AC所在直线上时，求m的值；

（4）当点E在x轴上方时，连接CE，DE，当△CDE的面积随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

5.如图，以x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，点B(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，4)，作直线AC.

(1)求抛物线解析式；

(2)点P在抛物线的对称轴上，且到直线AC和x轴的距离相等，设点P的纵坐标为m，求m的值；

(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线AC上，点Q为第一象限内抛物线上一点，若以点C、M、N、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标.

0.2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习09（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：

2.解：（1）∵点A的坐标（2，4），

∴当M落在OA的中点时，则点M的坐标为（1，2）；

故答案为（1，2）；

（2）①直线OA的解析式为y=2x，

设M（m，2m）（0≤m≤2），

∴抛物线解析式为y=（x﹣m）2+2m，

当x=2时，y=（2﹣m）2+2m=m2﹣2m+4，

∴P点坐标为（m，m2﹣2m+4），

②PA=4﹣（m2﹣2m+4）=﹣m2+2m=﹣（m﹣1）2+1，

∵0≤m≤2，

∴当m=1时，线段PA最长；

（3）m=1时，抛物线解析式为y=（x﹣1）2+2，

即y=x2﹣2x+3；M点坐标为（1，2），P（2，3），

设Q（x，x2﹣2x+3），

过P作OA的平行线交y轴于C，如图，

设直线PC的解析式为y=2x+b，

把P（2，3）代入得4+b=3，解得b=﹣1，

∴直线PC的解析式为y=2x﹣1，C点坐标为（0，﹣1），

解方程组得，此时Q点不存在；

把直线y=2x﹣1向上平移2个单位得到直线l，则直线l的解析式为y=2x+1，

解方程组得或，

∴此时Q点坐标为（2+，5+2）或（2﹣，5﹣2），

综上所述，满足条件的Q点的坐标为（2+，5+2）或（2﹣，5﹣2），

3.解：

4.解：

（1）∵正方形的边长为1，∴点A的纵坐标为1．

∵将y=1代入y=2x+4得：2x+4=1，解得；x=﹣1.5，∴A（﹣1.5，1）．∴D（﹣1.5，0）

∵CD=1，∴C（-2.5，0）

（2）∵抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m+4．

∵抛物线经过点C（﹣2.5，0），∴（﹣2.5﹣m）2+2m+4=0．解得：m1=m2=﹣1.5．

∴n=2×（﹣1.5）+4=1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1.5）2+1（y=﹣x2﹣3x﹣）．

（3）∵抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m+4．

∵将x=0代入得：y=﹣m2+2m+4．∴E（0，﹣m2+2m+4）．

设直线AC的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣1.5，1、C（2.5，0）代入得：，解得k=1，b=2.5，

∴直线AC的解析式为y=x+2.5．∵点E在直线AC上，∴﹣m2+2m+4=2.5．

解得：m1=1﹣，m2=1+．

（4）S△CDE=DC•EO=﹣m2+m+2，

∵m=﹣=1，a=﹣＜0，∴当m≤1时，y随x的增大而增大．

令﹣m2+m+2=0，解得：m1=1﹣，m2=1+（舍去）．

∵点E在x轴的上方，∴m＞1﹣．∴m的范围是1﹣＜m≤1．

5.解：(1)∵点A与点B(﹣1，0)关于直线x=1对称，

∴A(3，0)，

设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3)，

把C(0，4)代入得a•1•(﹣3)=4，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3)，即y=﹣x2+x+4；

(2)设直线AC的解析式为y=kx+p，

把A(3，0)，C(0，4)代入得

，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4；

令对称轴与直线AC交于点D，与x轴交于点E，作PH⊥AD于H，如图1，

当x=1时，y=﹣x+4=，则D(1，)，∴DE=，

在Rt△ADE中，AD==，

设P(1，m)，则PD=﹣m，PH=PE=|m|，

∵∠PDH=∠ADE，∴△DPH∽△DAE，

∴=，即=，解得m=1或m=﹣4，即m的值为1或﹣4；

(3)设Q(t，﹣t2+t+4)(0＜t＜4)，

当CM为对角线时，四边形CQMN为菱形，如图2，则点N和Q关于y轴对称，

∴N(﹣t，﹣t2+t+4)，

把N(﹣t，﹣t2+t+4)代入y=﹣x+4得t+4=﹣t2+t+4，

解得t1=0(舍去)，t2=1，此时Q点坐标为(1，)；

当CM为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如图3，则NQ∥y轴，NQ=NC，

∴N(t，﹣t+4)，∴NQ=﹣t2+t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t，

而CN2=t2+(﹣t+4﹣4)2=t2，即CN=t，

∴﹣t2+4t=t，解得t1=0(舍去)，t2=，此时Q点坐标为(，)，

综上所述，点Q的坐标为(1，)或(，).