中考数学二轮复习压轴专题14用函数的思想看图形的最值问题(教师版)

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专题14 用函数的思想看图形的最值问题


1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－与抛物线y=ax2+bx+交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.
（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；
（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.

【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.
【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：
0＝2k﹣，
解得：k＝，
故一次函数表达式为：y＝x﹣，则点C坐标为（﹣8，﹣），
将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：
函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+；
（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，
∴∠DFE＝∠OBA，

点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2﹣m+），点F（m，m﹣），
DF＝﹣m2﹣m+﹣(m﹣）
＝﹣m2﹣m+4，
由勾股定理得：AB＝，
∵sin∠DFE＝sin∠OBA＝，
∴DE＝DF•sin∠DFE
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣（m+3）2+5，
∴当m=－3时，DE的最大值为5；
（3）设三角形向左平移t个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，
则平移后点A、O、B的坐标分别为（﹣t+2，n）、（﹣t，n）、（﹣t，﹣+n），
∵O、B在竖直线上，
∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上，
①当点O、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝，
即点A′（﹣，）．
②当点B、A平移后的点在抛物线上时，
，
解得：t＝4，
即点A′（﹣2，3）．
综上所述，点A’的坐标为（﹣，）或（﹣2，3）.
2.如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4，矩形OBDC的边CD＝1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值.

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵矩形OBDC的边CD＝1，
∴OB＝1，
由AB＝4，得OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，
∴a+b+2=0，9a－3b+2=0，
解得：a=，b=，
∴抛物线解析式为y＝x2x+2；
（2）在y＝x2x+2中，
当y＝2时，x＝0或x＝﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y＝﹣x，∠PGH＝∠COE＝45°，
∵P（m，m2m+2），PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∴PG＝m2m+2﹣（﹣m）
＝+，
∵∠PGH＝∠COE＝45°，
∴l＝PG
＝+，
∴当m＝时，l有最大值，最大值为.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，C（1，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．当△PDE的周长最大时，求出点P的坐标.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（0，﹣3），C（1，0），
∴c=-3，1+b+c=0，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）在y＝x2+2x﹣3中，y＝0时，x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，-3），
∴OA＝OB＝3，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝45°，
可得△PDE是等腰直角三角形，
由A（﹣3，0），B（0，3）得直线AB的解析式为：y=-x-3，
C△PDE=PE+PD+DP
=PE+PE+PE
=（+1）PE，
设P（m，m2+2m﹣3），则E(m，－m－3)，PE=－m2－3m
C△PDE=（+1）（－m2－3m）
=－（+1）（m+）2+（+1），
∴当m=－时，△PDE的周长越大，此时P点坐标为（－，－）.
4.在平面直角坐标系中，抛物线y=，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=过点A（1，3）、B（0，1），
∴，解得：，
即抛物线的表达式为：y=，
y=
=，
∴顶点坐标为：；
（2）∵A（1，3），由对称轴可知C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3），
得直线BC的解析式为：，BC=，

由题意知，∠ACB=∠FGH，
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∴BI=2，CI=4，
由△BCI∽△FGH，得：,
即，
∴，，
即△GFH的周长为：C=FH+GH+FG=，
设G(m, )，则F(m, )，
∴C=
=
=
∴当m=2时，△GFH的周长有最大值，最大值为：.
5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(-2，0)，B(4，0)，与直线交于点C(0，-3)，直线与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

【答案】见解析．
【解析】解：
（1）∵C(0,-3)，
∴c=-3，
将A、B坐标代入y=ax2+bx-3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=x2x－3.
（2）中，当y=0时，x=2，即D(2,0)，
连接OP，

设P(m，m2m－3)，其中：0