压轴专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识答案解析

这是一份压轴专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识答案解析，共37页。试卷主要包含了A字形及其旋转，K字型及其旋转等内容，欢迎下载使用。

专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识
模型一、A字形（手拉手）及其旋转

模型二、K字型及其旋转


1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．
（1）问题发现
当 α=0°时，= ，β=
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE 旋转过程中，当 DE∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，AC=4，CE=AE=2，BD=AD=2，
∴=，β=∠A=45°，
（2）无变化，理由如下：
延长CE交BD于F，

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，
∴，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴,
∠ABD=∠ACE，
∴∠CFB=45°，
即β=∠CFB=45°.
(3)①如图所示，

S=BC·BE
=×4×（4-2）=8-4；
②如下图所示，

S=BC·BE
=×4×（4+2）=8+4；
综上所述，在△ADE旋转过程中，DE∥AC时，此时△CBE的面积为8－4或8+4.
2.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD=6，DE∥AB，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．
（1）问题发现
①当 α=0°时，= ；
②当 α=90°时，= ．
（2）拓展探究
请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，是否发生变化？根据图2证明你的猜想．
（3）问题解决
在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD=2时，BE= ，此时α= ．

图1 图2
【答案】（1），；（2）见解析；（3）；60或300.
【解析】解：（1）∵AB=10，AC=8，
∴由勾股定理得：BC=6，
①∵DE∥AB，
∴,
即，
∴CE=，
∴BE=，
∴=；
②由勾股定理得：AD=10，BE=，
∴=；
（2）不变化，理由如下：
由题意知：△DCE∽△ACB，
∴，
由旋转性质得：∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴,
即.
（3）由(2)知，
∵AD=2，
∴BE=,

如图，过D作DF⊥AC于F，
设AF=x，则CF=8－x，
由勾股定理得：
（2）2－x2=62－（8－x）2，
解得：x=5，
即AF=5，CF=3，
由CD=6，得∠FDC=30°，
∴∠DCF=60°，即α=60°；
同理可得，当α=300°时，AD=2，
答案为：；60°或300°.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；

图1 图2 图3 备用图
【答案】（1）1；（2）①；②见解析．
【解析】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴=，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴==1，即=1，
（2）①由（1）中方法可证得：△ADE∽△CDF，△ADC∽△CDB，
∴===，即=，
②成立．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴=，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴==，
∴=．
4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．
（1）问题发现
当a＝0°时，AF＝ ，BE＝ ，＝ ；
（2）拓展探究
试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．

图1 图2 备用图
【答案】（1），，；（2）（3）见解析；
【解析】解：（1）当a＝0°时，过点F作FG⊥AD于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BCE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，
由∠G＝∠EDG＝∠DEF＝90°，知四边形DEFG是矩形，
∴DG＝EF＝3，AG＝11，
∵CE＝4，CD＝6，
∴FG＝DE＝2，
Rt△AGF中，由勾股定理得：AF＝，
同理，BE＝，
∴=.
（2）的大小无变化，理由如下：
连接AC，

∵AB＝6，BC＝8，EF＝3，CE＝4，
∴，，
∴=，
∵∠CEF＝∠ABC＝90°，
∴△CEF∽△CBA，
∴，∠ECF＝∠ACB，
∴，∠ACF＝∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴，即的大小无变化；
（3）当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，存在两种情况：
①E在A、F之间，如图，连接AC，

Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，
同理得：CF＝5，
由（2）知：，
Rt△AEC中，由勾股定理得：AE＝2，
∴AF＝AE+EF＝2+3，
∴BE＝AF＝（2+3）＝；
②点F在A、E之间时，如图所示，连接AC，

同理得：AF＝AE﹣EF＝2﹣3，
∴BE＝AF＝（2-3）＝；
综上所述，BE的值为或．

5.如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，. 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD.
填空：①= ;②∠ACD的度数为 .
（2）拓展探究
如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，. 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD. 请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.
（3）解决问题
如图③，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD. 请直接写出所有CD的长.

① ② ③
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∠PAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，∠B=45°，
∵∠APD=∠B，
∴∠APD=∠ADP=45°，
∴AP=AD，
∴△ABP≌△ACD，
∴BP=CD，∠ACD=∠B=45°，
即=1，∠ACD=45°，
故答案为：1，45°.
（2）∠ACD=∠B，=k，理由如下：
∵∠BAC=90°，∠PAD=90°，∠APD=∠B，
∴△ABC∽△APD，
∴=k，
由∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，得：
∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴∠ACD=∠B，
∴=k.
（3）①过A作AH⊥BC于H，如图所示，

∵∠B=45°，
∴△BAH是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴AH=BH=4，
∵BC=12，
∴CH=8，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC=4，
在Rt△APH中，由勾股定理得：PH=3，
∴BP=1，
∵∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，
∴△ABC∽△APD，
∴，
由∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，得：
∠BAP=∠CAD，
∴△ABP∽△CAD，
∴，
即
解得：CD=，
②如图所示，过A作AH⊥BC于H，

同理可得：△ABP∽△CAD，
∴，
即
解得：CD=，
综上所述，CD的值为：，.
6.如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为__________；
（2）深入探究：
如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：
如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长．

【答案】见解析.
【解析】解：（1）NC∥AB；
（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
∵AB=BC，AM=MN，即AB:BC=AM:MN=1，
又∠ABC=∠ACN，
∴△ABC∽△AMN，
∴,
∴∠BAC=（180°－∠ABC），
∵AM=MN，
∴∠MAN=（180°－∠AMN），
由∠ABC=∠AMN，
得∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
又,
∴△ABM∽△ACN，
∴∠ABC=∠ACN，
(3)连接AB，AN，

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠CAN，
由=,
∴,
∴△ABM∽△ACN，
∴,
∴，
∴BM=2，
∴CM=BC－BM=10－2=8，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：AM=,
∴EF=AM=.
7.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．
（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；
（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角α的度数．

【答案】见解析．
【解析】（1）解：BE⊥AF，AF=BE；理由如下：
在△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AC=BC=2，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴BE⊥AF，BE=CE，AF=CF，
∴=，
∴AF=BE；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴EC=BC，FC=AC，
∴=，
∵∠BCE=∠ACF，
∴△BEC∽△AFC，
∴=，∠CBE=∠CAF，
延长BE交AC于点O，交AF于点M，如图所示：

∵∠BOC=∠AOM，∠CBE=∠CAF，
∴∠BCO=∠AMO=90°，
即BE⊥AF；
（3）解：∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，∠B=60°，
∴DB=AB﹣AD=4﹣（6﹣2）=2﹣2，
过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：

∴BH=DB=﹣1，DH=DB=3﹣，
又∵CH=BC﹣BH=2﹣（﹣1）=3﹣，
∴CH=DH，
∴∠HCD=45°，
∴∠DCA=45°，
∴α=135°．
8.（1）问题发现：
如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．
（2）拓展探究：
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求的值．
（3）解决问题：
如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E，直接写出当∠ADF=∠ACF=∠ABC时的值．

图1 图2 图3
【答案】（1）AE=FC，60；（2）（3）见解析；
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，DE∥AB，
∴△DCE是等边三角形，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
由旋转性质知，AD=DF，∠ADF=60°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△FDC，
∴AE=FC，∠DCF=∠DEA=120°，
∴∠ACF=60°；
（2）∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABC=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADC=∠CDF，
∵∠ACF=90°，
即∠AED=∠EDC+∠ACB，∠FCD=∠ACF+∠ACB，
∴∠AED=∠FCD，
∴△DAE∽△DFC，
∴,
∵DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，
∴,
∴=.
(3)与（2）证明可得：
=.
9.（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；
（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；
（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

图1 图2 备用图
【答案】（1）BE＝AF；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）BE＝AF．
∵△AFC是等腰直角三角形，
∴AC＝AF
∵AB＝AC
∴BE＝AB＝AF；
（2）BE＝AF，理由如下：
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
在Rt△EFC中，∠FEC＝∠FCE＝45°，∠EFC＝90°，
∴∠ABC＝∠FEC=45°，
∴sin∠ABC＝sin∠FEC=，
即:
∵∠FEC＝∠ACB＝45°，
∴∠FEC﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE．
即：∠FCA＝∠ECB．
∴△ACF∽△BCE，
∴=，
∴BE＝AF；
（3）①当E在B、F之间时，如图2，
由（1）知，CF＝EF＝，
在Rt△BCF中，CF＝，BC＝2，
根据勾股定理得，BF＝，
∴BE＝BF﹣EF＝﹣，
∵BE＝AF，
∴AF＝﹣1；
②当F在B、E之间时，

由（1）可证，△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE＝AF；
由①知：CF＝，BC＝2，BF＝，
∴BE＝BF+EF＝+，
BE＝AF，
∴AF＝+1．
当B，E，F三点共线时，线段AF的长为﹣1或+1．
10.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）问题提出：如图1，若AD＝AE，AB＝AC．
①∠ABD与∠ACE的数量关系为 ；
②∠BPC的度数为 ．
（2）猜想论证：如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，直接写出PB的长．

图1 图2 备用图
【答案】（1）∠ABD=∠ACE，90°；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE．∠ABC＝∠ACB＝45°
∴△ADB≌△AEC
∴∠ABD＝∠ACE，
②∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP
＝180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE）
=180°﹣45°﹣45°
=90°；
（2）（1）中结论成立，理由：
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，
同理，AD＝AE，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ADB∽△AEC．
∴∠ABD＝∠ACE；
∠BPC＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP
＝180°﹣30°﹣60°
=90°，
（3）解：①当点E在线段AB上时，

BE＝AB﹣AE＝1．
在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE＝，
易证：△ADB≌△AEC．
∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴，
∴
∴PB＝；
②当点E在BA延长线上时，

BE＝AB+AE＝3．
同理得：，
∴
∴PB＝，
综上所述，PB的长为或.
11.问题发现：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为 ．
类比探究：
（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.
拓展延伸：
（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝ ，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为 ．

图1 图2 图3
【答案】（1）BD＝k•EC；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）∵DE∥BC，
∴，,
即,
∵AB＝k•AC，
∴BD＝k•EC；
（2）成立，理由如下：
连接BD

由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE
∵=tan∠ADE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝k，
即：BD＝k•EC；
（3）BF•CF的值为2或1；
由（2）知△ABD∽△ACE
∴∠ACE＝∠ABD＝15°
∵∠ABC+∠ACB＝90°
∴∠FBC+∠FCB＝90°
∴∠BFC＝90°
由∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，得：∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝2AC＝2，
分两种情况讨论：
①

如图，此时，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2
∴BF＝CF＝
∴BF•CF＝2；
②如图

在BF上取点G，使∠BCG＝15°，
则∠BCF＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，
∴∠CFB＝90°，∠GCF＝60°
∴CG＝BG＝2CF，GF＝CF，BF=(2+ )CF
由勾股定理知：CF2+BF2＝BC2
∴CF2+（2+）CF 2＝22，
∴CF2＝2﹣，
∴BF•CF＝（2+）CF2＝1，
即：BF•CF＝2或1．
12.已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，点 D 是直线 AB 上的动点，连接 CD，以 CD为边，在 CD 的左侧作等边△CDE，连接 EB
（1）问题发现：
如图(1)，当CD⊥AB 时，ED 和 EB 的数量关系是 .
（2）规律论证：
如图(2)当点D在线段 AB 上运动时，(1)中 ED，EB 的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.
（3）拓展应用：
如图(3)当点 D 在直线 AB上运动时，若 AC=2，且△BCE 恰好为等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的 AD 的长.

图1 图2 图3
【答案】（1）ED=EB；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠BDE=30°，
∵∠B=30°，
∴∠BDE=∠B，
∴ED=EB；
（2）成立；
过点C作CF⊥AB于F，过E作EH⊥BC于H，则∠CFB=∠EHC=90°，

∵∠CBA=30°，
∴∠BCF=60°，
∵△CED是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠ECH=∠DCF，
∴△CDF≌△CEH，
∴CH=CF，
在Rt△CBF中，由∠CBF=30°，得：BC=2CF，
∴BH=CH=CF，即H为BC中点，
∵EH=EH，∠BHE=∠CHE=90°，
∴△BEH≌△CEH，
∴BE=CE，
∵CE=DE，
∴BE=DE；
（3）过点C作CH⊥AB于H，如下图所示，

由题意知：AC=2，
∴AH=，CH=，BC=2CH=2，BE=CE=CD=BC=2，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：DH=，
∴AD=DH－AH=－；
②如图所示，

同理可得：DH=，AH=，
∴AD=DH+AH=+；
综上所述，符合条件的 AD 的长为－或+.
13.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．
（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；
（2）若，求的值.

【答案】见解析．
【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF，
∴△BMF≌△ECF，
∴BM=EC．
∵E为CD的中点，
∴EC=DC=AB，
∴AM=BM=EC；
（2）设MB=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，
∴，
∴EC=2x，
∴AB=CD=2CE=4x，AM=AB﹣MB=3x，
由，得BC=AD=2x，
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，
∵∠A=90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
∴,
∴，
∴AN=x，ND=AD﹣AN=x，
∴=3.
14.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

图1 图2
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
同理：PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转性质知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
由（1）中知：PN＝BD，PM＝CE，PM∥CE，PN∥BD，
∴PM＝PN，∠DPM＝∠DCE，∠PNC＝∠DBC，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN
＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC
＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC
＝∠ACB+∠ABC
＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴当PM最大时，即BD最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，BD最大，
最大值为：BD＝AB+AD＝14，
即PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝