专题13 存在性-面积等量问题-中考数学压轴题满分突破之二次函数篇（全国通用）

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中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第13节 面积等量问题的存在性

方法点拨
面积转化






例题演练
1．抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）如图1，求直线BC的表达式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线y＝﹣x+3向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：∵抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴令x＝0，
∴y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，
∴0＝﹣x+3，
∴x＝﹣或x＝3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
∴k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

（2）如图1，设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜3），
过点P作PM∥y轴交BC于M，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴S△PBC＝[﹣（m﹣）2+]×3＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，S△PBC的面积最大，最大值为，
即：点P（，），
∵B（3，0），C（0，3），
∴F（，），
∴点M和点F重合，
作点P（，）关于y轴的对称点P'（﹣，），
再作点F（，）关于x的对称点F'（，﹣），
连接P'F'交y轴于G，交x轴于H，连接PD，G，H，HF
此时PG+GH+HF最小，最小值为P'F'＝；

（3）如图2，在抛物线y＝﹣x+3＝﹣（x﹣）2+4中，
令y＝，
∴＝﹣x+3，
∴x＝或x＝，
由平移知，抛物线y向右平移到y'，则平移了﹣＝个单位，y'＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+2，
设点E（n，﹣n2+2n），
过点E作EQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴Q（n，﹣n+3），
∴EQ＝|﹣n2+2n+n﹣3|＝|n2﹣5n+6|
∵△ECB的面积等于△PCB的面积，
由（2）知，PM＝﹣（m﹣）2+，
∴PM最大＝
∴EQ＝PM最大，
∴|n2﹣5n+6|＝
∴n＝或n＝或n＝或（舍），
∴E（，﹣）或（，﹣）或（，）．


2．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S△BPQ＝S△CMQ，请写出点P的坐标．

【解答】解：（1）令y＝0，则mx2﹣2mx﹣3m＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以，点A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）令x＝0，则y＝﹣3m，
∴点C坐标为（0，﹣3m），
∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M坐标为（1，﹣4m），
∴BC2＝32+（3m）2＝9+9m2，BM2＝（3﹣1）2+（4m）2＝4+16m2，MC2＝12+[（﹣3m﹣（﹣4m）]2＝1+m2，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC2+MC2＝BM2，
即9+9m2+1+m2＝4+16m2，
整理得，m2＝1，
解得m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（3）在（2）的条件下，点C坐标为（0，﹣3），M（1，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵S△BPQ＝S△CMQ，
∴S△BPQ+S△BCQ＝S△CMQ+S△BCQ，
即S△BPC＝S△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y＝x+c，
则1+c＝﹣4，
解得c＝﹣5，
所以，直线MP的解析式为y＝x﹣5，
联立，
解得（为点M坐标），，
所以，点P的坐标为（2，﹣3）．

3．已知抛物线C：y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D．
（Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标；
（Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；
（Ⅲ）点E（﹣2，n）在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）对于y＝﹣x2+x+2①，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
则点A、B、K的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，2），
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
故点D的坐标为（，）；

（Ⅱ）由平移的性质知，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣）2＝﹣x2+x﹣，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P′的坐标为（x，﹣x2+x﹣），
∵OP′＝OP，
故点P、P′关于x轴对称，
即（﹣x2+x+2）+（x，﹣x2+x﹣）＝0，
解得x＝，
故点P的坐标为（，）或（，）

（Ⅲ）存在，理由：
当x＝﹣2时，n＝y＝﹣x2+x+2，即点E的坐标为（﹣2，﹣4），
由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为y＝x﹣2，
①当点Q在BE上方时，
设直线EB交y轴于点P，则点P的坐标为（0，﹣2），
取PK的中点M，作直线m∥BE，则直线m和抛物线的交点即为所求的点Q，

由点K、P的坐标得，点M的坐标为（0，0），
故直线m的表达式为y＝x②，
联立①②得：﹣x2+x+2＝x，解得x＝，
则点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）；
②当点Q在BE的下方时，
同理可得，直线n的表达式为y＝x﹣4，
同理可得，点Q的坐标为（，﹣4）或（﹣，﹣﹣4），
综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，﹣4）或（﹣，﹣﹣4）．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，S△ABP＝S△ABC，求此时点P的坐标．
（3）若将△AOC沿射线CB方向平移，平移后的三角形记为△A1O1C1，连接AA1，直线AA1交抛物线于M点，是否存在点C1，使得△AMC1为等腰三角形？若存在，直接写出C1点横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）对于y＝x2﹣2x﹣3①，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3；

（2）∵S△ABP＝S△ABC，则|yP|＝|yC|＝×3＝4，
则x2﹣2x﹣3＝±4，
解得x＝1±2或1，
故点P的坐标为（1，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）；

（3）存在，理由：
由BC的表达式知，直线BC与x轴的夹角为45°，则△AOC沿射线CB向右平移m个单位就向上平移了m个单位，
则点C1（m，m﹣3），
∵AA1∥BC，则设直线AA1的表达式为y＝x+s，
将点A的坐标代入上式并解得s＝1，
故直线AA1的表达式为y＝x+1②，
联立①②并解得，即点M的坐标为（4，5），
由点A、M、C1的坐标的：AM2＝50，MC12＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，AC12＝（m+1）2+（，m﹣3）2，
当AM＝MC1时，则AM2＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，解得m＝6±；
当AM＝AC1时，同理可得：m＝1（舍去负值）；
当MC1＝AC1时，同理可得：m＝3.5；
综上，点C1的横坐标为6+或6﹣或1+或3.5．
5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），C（m，0）是线段AB上一动点（与A、B两点不重合），抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1（a＞0）经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2（a＞0）经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．
（1）若a＝，m＝﹣1，求抛物线l1、l2的解析式；
（2）若a＝1，∠AFB＝90°，求m的值；
（3）如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1•S2＝a•S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）解：（1）将A、C点代入y＝ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y＝x2++2；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

由题意得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y＝x2+（4﹣m）x﹣4m；
∴点D坐标为（，﹣），
∴DG＝，AG＝；
同理可得：抛物线L2解析式为y＝x2﹣（m+4）x+4m；
∴EH＝，BH＝，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠EHB＝90°，
∵∠DAG+∠ADG＝90°，∠DAG+∠EBH＝90°，
∴∠ADG＝∠EBH，
∵在△ADG和△EBH中，
，
∴△ADG～△EBH，
∴＝，
∴＝，化简得：m2＝12，
解得：m＝±2；

（3）设L1：y＝a（x+4）（x﹣m）＝ax2+（4﹣m）ax﹣4ma，L2：y＝a（x﹣4）（x﹣m）＝ax2﹣（4+m）ax+4ma，
∴D（，﹣a），E（，﹣a），
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a（m+4），直线BF的解析式为y＝﹣x+2a（m﹣4），
由，解得，
∴F（﹣m，），
∵2S1•S2＝a•S，
∴2××（m+4）×a××（4﹣m）×＝a××8×[﹣a]，
整理得：（m2﹣16）2＝64，
∴m2﹣16＝±8，
解得m＝±2或±2（舍弃），
∴C（2，0）或（﹣2，0）；
6．如图，抛物线l1：y＝﹣x2平移得到抛物线l2，且经过点O（0，0）和点A（4，0），l2的顶点为点B，它的对称轴与l2相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：
（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标．
（2）求点C的坐标，并直接写出S的值．
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）】．

【解答】解：（1）设l2的函数解析式为y＝﹣x2+bx+c，
把点O（0，0）和点A（4，0）代入函数解析式，得：
，
解得：，
∴l2表示的函数解析式为：y＝﹣x2+4x，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴l2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B（2，4）；

（2）当x＝2时，y＝﹣x2＝﹣4，
∴C点坐标是（2，﹣4），
∵顶点坐标B（2，4），
∴S即是抛物线l1、l2与x轴组成的面积，
∴S＝×2×（4+4）＝8；

（3）存在．
理由：设直线AC表示的函数解析式为y＝kx+n，
把A（4，0），C（2，﹣4）代入得：，
解得：，
∴y＝2x﹣8，
设△POA的高为h，
S△POA＝OA•h＝2h＝4，
设点P的坐标为（m，2m﹣8）．
∵S△POA＝S，且S＝8，
∴S△POA＝×8＝4，
当点P在x轴上方时，得×4（2m﹣8）＝4，
解得m＝5，
∴2m﹣8＝2．
∴P的坐标为（5，2）．
当点P在x轴下方时，得×4（8﹣2m）＝4．
解得m＝3，
∴2m﹣8＝﹣2，
∴点P的坐标为（3，﹣2）．
综上所述，点P的坐标为（5，2）或（3，﹣2）．
7．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（﹣3，﹣3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；
（3）在（2）的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；
（4）在（3）的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是y＝kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k＝﹣3，解得：k＝1，
则正比例函数的解析式是：y＝x；
设反比例函数的解析式是y＝，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1＝9，
则反比例函数的解析式是：y＝；

（2）m＝＝﹣，则点B的坐标是（﹣6，﹣），
∵y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到，
∴k3＝1，即y＝x+b，
故一次函数的解析式是：y＝x+；

（3）∵y＝x+的图象交y轴于点D，
∴D的坐标是（0，），
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是（﹣3，﹣3），B的坐标是（﹣6，﹣），
∴M的坐标是（0，﹣3），N的坐标是（0，﹣）．
∴OM＝3，ON＝．
则MD＝3+＝，DN＝+＝6，MN＝3﹣＝．
则S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝×（3+6）×＝．
则S四边形ABDM＝S梯形ABNM+S△BDN＝+18＝，
S△ABD＝S四边形ABDM﹣S△ADM＝﹣＝；

（4）设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+，
则，
解得：，
则这个二次函数的解析式是：y＝x2+4x+；
点C的坐标是（﹣，0）．
则四边形OABD的面积S＝S△ABD+S△AOD＝+××3＝．
假设存在点E（x0，y0），使S1＝S＝×＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方，
∴y0＜0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝××﹣×y0＝﹣y0，
∴﹣y0＝，
∴y0＝﹣4，
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，
∴x02+4x0+＝﹣4，
∴方程无解，
∴不存在．


8．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是y＝kx，代入（3，3），得：3k＝3，解得：k＝1，
则正比例函数的解析式是：y＝x；
设反比例函数的解析式是y＝，把（3，3）代入解析式得：k1＝9，
则反比例函数的解析式是：y＝；

（2）m＝＝，则点B的坐标是（6，），
∵y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到，
∴k3＝1，即y＝x+b，
一次函数的解析式是：y＝x﹣；

（3）∵y＝x﹣的图象交y轴于点D，
∴D的坐标是（0，﹣），
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是（3，3），B的坐标是（6，），
∴M的坐标是（0，3），N的坐标是（0，）．
∴OM＝3，ON＝．
则MD＝3+＝，DN＝+＝6，MN＝3﹣＝．
则S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝（3+6）×＝．
则S四边形ABDM＝S梯形ABNM+S△BDN＝+18＝，
S△ABD＝S四边形ABDM﹣S△ADM＝﹣＝＝；

（4）设二次函数的解析式是y＝ax2+bx﹣，
则，
解得：，
则这个二次函数的解析式是：y＝﹣x2+4x﹣；
点C的坐标是（，0）．
则S＝×6﹣×6×6﹣×3×3＝45﹣18﹣﹣＝．
假设存在点E（x0，y0），使S1＝S＝×＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的上方，
∴y0＞0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝××+y0
＝+y0，
∴+y0＝，
∴y0＝，
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，
∴﹣x02+4x0﹣＝，
解得：x0＝2或6．
当x0＝6时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0＝6，（舍去）．
∴E的坐标是（2，）．

9．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为y＝ax，反比例函数的解析式为，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3），
∴3＝3a，3＝，
∴a＝1，k＝9，
∴正比例函数的解析式为y＝x，反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵点B（6，m）在反比例函数上，
∴m＝，
∴B点的坐标为（6，），
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y＝x+b，
将B点代入上面的关系式得：
，
∴b＝，
∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣．
（3）令y＝x﹣中的x＝0得，y＝，
∴D（0，），
令y＝x﹣中的y＝0得，x＝，
∴C（，0），
设过A、B、D三点的二次函数的解析式为：
y＝ax2+bx+c，
将A（3，3）、B（6，）、D（0，﹣）三点代入上面的关系式得：
，
解得：，
∴过A、B、D三点的二次函数的解析式为：，
（4）存在点E，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S，
∵，
∴S1＝S＝，
设E点的坐标为（x，y），
∵，
∴，
∴y＝±3，
将y＝3代入得：
x1＝3，x2＝5，
∴E1（3，3），E2（5，3），
将y＝﹣3代入得：
，
∴，
∴存在4个点E，E1（3，3），E2（5，3），，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S．

10．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为y＝k1x（k1≠0），
因为y＝k1x的图象过点A（3，3），
所以3＝3k1，解得k1＝1．
这个正比例函数的解析式为y＝x．
设反比例函数的解析式为y＝（k2≠0），
因为y＝的图象过点A（3，3），
所以3＝，
解得k2＝9．
这个反比例函数的解析式为y＝．

（2）因为点B（6，m）在y＝的图象上，
所以m＝＝，
则点B（6，）．
设一次函数解析式为y＝k3x+b（k3≠0），
因为y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到的，
所以k3＝1，即y＝x+b．
又因为y＝x+b的图象过点B（6，），
所以＝6+b，
解得b＝﹣，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣．

（3）因为y＝x﹣的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为（0，﹣）．
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
因为y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，3）、B（6，）、和D（0，﹣），
所以，
解得，
这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣．

（4）方法一：
∵交x轴于点C，
∴点C的坐标是（，0），
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S＝×6﹣×6×6﹣××3﹣×3×3＝45﹣18﹣﹣＝．
假设存在点E（x0，y0），使S1＝S＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y0＞0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝＝．
∴，
∴．
∵E（x0，y0）在二次函数的图象上，
∴．
解得x0＝2或x0＝6．
当x0＝6时，点E（6，）与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0＝6舍去，
∴点E的坐标为（2，）．
方法二：
过点O作BD的垂线，垂足为H，设E（t，﹣），
∵OH⊥CD，∴OH＝，
∵SOECD＝S△OEC+S△OCD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴SOABD＝＝，
∵S1＝S，
∴＝，
∴t1＝2，t2＝6，
∴E1（2，），E2（6，），
∵E2（6，）在直线CD上，故舍去，
∴E（2，）．


11．如图，抛物线经过点A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，3），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过C点作x轴的平行线交抛物线于点D，请直接写出D的坐标；
（3）在该抛物线是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x+2），
把C（0，3）代入得a×6×2＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+6）（x+2），
即y＝x2+2x+3；
（2）∵CD∥x轴，
∴C点和D点的纵坐标都为3，
当y＝3时，x2+2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣8，
∴D点坐标为（﹣8，3）；
故答案为（﹣8，3）；
（3）存在．
设P（x，x2+2x+3）
∵，
∴×8×|x2+2x+3﹣3|＝××4×3，
整理得|x2+2x|＝4，
解方程x2+2x＝4得 x1＝﹣4﹣4，x2＝﹣4+4，此时P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）；
解方程x2+2x＝﹣4得 x1＝x2＝﹣4，此时E点坐标为（﹣4，﹣1）．
综上所述，P点坐标为（﹣4﹣4，7）或（﹣4+4，7）或（﹣4，﹣1）．

12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OB＝OC＝8．

（1）求a，c的值．
（2）点P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线上一动点，当tan∠PAB＝时，是否存在点Q，使得S△APQ＝S△ABC？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由函数的图象及OB＝OC＝8，得B（8，0）、C（0，﹣8），
把B（8，0）、C（0，﹣8）代入y＝ax2﹣5ax+c，
得，解得，
∴a、c的值分别为、﹣8．
（2）如图1，作PE⊥x轴于点E.
由（1）得，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣8，
∴P（t，t2﹣t﹣8），E（t，0）；
当y＝0时，由x2﹣x﹣8＝0，得x1＝﹣3，x2＝8，
∴A（﹣3，0）；
∵OD∥PE，
∴△ADO∽△APE，
∴，
∴，
整理，得OD＝t﹣8，
∵CD＝OD+OC＝t﹣8+8＝t，点P在第一象限，
∴d＝t（t＞8）．
（3）存在．
∵AB＝8﹣（﹣3）＝11，OC＝8，
∴S△ABC＝×11×8＝44，
∴S△APQ＝S△ABC＝×44＝110；
∵＝tan∠PAB＝，OA＝3，
∴OD＝×3＝1；
设直线AP的解析式为y＝kx+1，则0＝﹣3k+1，解得k＝，
∴y＝x+1；
由，得，，
∴P（9，4），E（9，0）．
过点Q作QF⊥x轴于点G，交AP点于F，
设Q（x，x2﹣x﹣8），则F（x，x+1）．
如图2，当点Q在x轴的下方，则QF＝x+1﹣x2+x+8＝﹣x2+2x+9，AE＝9﹣（﹣3）＝12，
∵S△APQ＝QF•AG+QF•GE＝QF•AE，
∴110＝×12（﹣x2+2x+9），
整理，得x2﹣6x+28＝0，
∵△＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0
∴此方程无解；
如图3，点Q在x轴的上方，且点Q在第二象限，则S△APQ＝QF•EG﹣QF•AG＝QF•AE；
如图4，点Q在x轴的上方，且点Q在第一象限，则S△APQ＝QF•AG﹣QF•EG＝QF•AE；
QF＝x2﹣x﹣8﹣x﹣1＝x2﹣2x﹣9，AE＝9﹣（﹣3）＝12，
∴110＝×12（x2﹣2x﹣9），
整理，得x2﹣6x﹣82＝0，
解得x1＝3﹣，x2＝3+．
综上所述，点Q的横坐标为3﹣或3+．