专题2.7 以二次函数与圆的问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版）

这是一份专题2.7 以二次函数与圆的问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版），共55页。

【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”在初中阶段学习占有重要位置,“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、“直线与圆的位置关系”的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中,同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.此类题目由于解题方法灵活,考查的知识点全面,体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数学思想,得到命题者的青睐
【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，就更显得复杂了．只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会迎刃而解的．解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。
【典型例题】
【例1】如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　 　的距离等于到　 　的距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．

【答案】（1）；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4）
【解析】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可；
（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；
（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
详解：（1）由x=2，得到P（2，y），
连接AP，PB，

∵圆P与x轴相切，
∴PB⊥x轴，即PB=y，
由AP=PB，得到=y，
解得：y=，
则圆P的半径为；
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合；
故答案为：点A；x轴；
（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，
设PE=a，则有EF=a+1，ED=，
∴D坐标为（1+，a+1），
代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，
解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣（舍去），即PE=﹣2+，
在Rt△PED中，PE=﹣2，PD=1，
则cos∠APD==﹣2．
【名师点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
【例2】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；
①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周长为12．
【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2）（OE＞0）；（3）y=x2﹣9．
【解析】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；
（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2-（AC2+BD2），即可得出结论；
（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，-ac），求出S=AC•BD=-（ac+c）×，S1=OA•OB=-，S2=OC•OD=-，S3=OA×OD=-，S4=OB×OC=-，进而建立方程，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=3，进而求出c=-9，即可得出结论．
详解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为：菱形，正方形；
②如图，

当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，
故答案为：不是；
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，

∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=AC，DN=BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣（AC2+BD2），
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2﹣≤OE2≤2﹣，
∴≤OE2≤，
∴≤OE≤；
（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），
∵a＞0，c＜0，
∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，
∴S=AC•BD=﹣（ac+c）×，S1=OA•OB=﹣，S2=OC•OD=﹣，
S3=OA×OD=﹣，S4=OB×OC=﹣，
∵，，
∴，
∴=2，
∴a=1，
∴S=﹣c，S1=﹣，S4=﹣，
∵，
∴S=S1+S2+2，
∴﹣c=﹣，
∴
∴
∴b=0，
∴A（，0），B（0，c），C（，0），d（0，﹣c），
∴四边形ABCD是菱形，
∴4AD=12，
∴AD=3，
即：AD2=90，
∵AD2=c2﹣c，
∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍），
即：y=x2﹣9．
【名师点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．
【例3】如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；
（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．
【答案】（1）y=x2+x﹣4．（2）P（0，﹣2）；（3）见解析
【解析】
试题分析：审题知：（1）题中已知抛物线上的两个点，只需将点坐标代入抛物线解析式即可求解；
（2）此题只需设出点P的坐标（0，t），并根据题中关系，列出△AEP面积关于t的二次函数即可求解；
（3）此题应先求出圆心Q的坐标，在求出半径，证明圆心到直线的距离等于半径即可．
解：（1）把点C（0，﹣4），点A（﹣4，0）坐标代入：y=mx2+2mx+c（m≠0）得：，
解得：．
所以：抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4．
（2）设点P（0，t）﹣4≤t≤0，则有：PC=t+4，OP=﹣t，OA=4
由PE∥OA可知：三角形CPE，三角形POA，三角形AOC均为直角三角形，
所以：，，解得：PE=t+4
所以：S△AEP=×OA×OC﹣×OA×OP﹣×PC×PE
=×4×4﹣×4×（﹣t）﹣×（t+4）×（t+4）
=﹣t2﹣2t．
所以：当t=﹣=﹣2时，△AEP的面积最大，
此时：P（0，﹣2）；
（3）过点D作DM⊥x轴，垂足为M，

抛物线的解析式为：y=x2+x﹣4=（x+1）2﹣
所以：顶点D（﹣1，），点M（﹣1，0），AM=﹣1﹣（﹣4）=3
由圆和抛物线的对称性可知：圆心Q在DM上，QM⊥AB，
设圆Q的半径为r，则AQ=r，QM=﹣r，由勾股定理得：
r2=+32，解得：r=，QM=﹣r=，所以点Q（﹣1，﹣）
因为直线y=2与x轴平行，所以点Q到直线y=2的距离为：2﹣（﹣）=，
所以：圆心Q到直线y=2的距离=圆的半径
所以：⊙Q与直线y=2相切．
考点：二次函数综合题．
【名师点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，第一问直接代入点的坐标求解析式即可，第二问构建函数模型解决问题；第三问利用解析式求得有关点的坐标，利用勾股定理求得线段的长度，利用切线的判定方法确定即可.
【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系，至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.
【针对练习】
1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与 A、B、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）ac=﹣1；（2）ac的值是定值，为﹣1；（3）P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0， ）或（0，16）．
【解析】试题分析：（1）设圆心点为M，利用A、B的坐标求出圆的半径，然后根据勾股定理求出OC的长，求得C点，然后利用x轴的交点式y=a（x+2）（x﹣8）代入C点的坐标得到函数的解析式即可求解；
（2）根据坐标系中交点的坐标，利用三角形相似的判定得到△OAC∽△OCB，再根据相似三角形的性质，结合一元二次方程根与系数的关系求出ac=-1是一个定值；
（2）ac的值是定值，为﹣1，
理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=x1，OB=x2，OC=c，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，学科*网[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2=OA•OB，
∴c2=﹣x1•x2，
令y=0时，0=ax2+bx+c，
∴x1•x2=，
∴c2=﹣，
∴ac=﹣1；

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=4，CD=6，BP=8﹣m，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=∠ABC，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，学科*网
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，

∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴，学科*网
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，[来源:学科网]

∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，16），
即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
2．如图1，在平面直径坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．
，代入数据即可求出DC的长度；
（2）令中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴CM==．
∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．
（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为=，令中y=0，即，解得：=，=．
∵点P在第三象限，∴＜x＜0．学科*网
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==。在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（，），D′（0，）。∵P（x，），∴P′（0，），∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′=（＜x＜0）。∵S△PDE==，＜＜0，∴当x=时，S△PDE取最大值，最大值为．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．

3．如图1，对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点为圆心，半径分别为、都是常数的两个同心圆、，从点任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为．
在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
在的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
在、的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使与直线BC相切，；（3），．
【详解】
是，
过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，

依题意可得、，
因此、，
轴、轴，
，学&科网
，
两抛物线曲似，曲似比为；
假设存在k值，使与直线BC相切，
则，
又、，并且，
，
解得：负值舍去，
由对称性可取，
综上，；

4．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．
（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；
（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．

【答案】（1）（2）直线与相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）已知A、B两点的坐标，要求抛物线的解析式，即要求点C的坐标，由相似三角形的判定与性质求出OC的长度，即可求出点C的坐标；（2）根据抛物线解析式求出点M的坐标，分别求出MP、CP、CM的长度，利用勾股定理逆定理判定△CPM为直角三角形，从而得出PC⊥MC，所以直线MC与⊙P相切.

设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)，
代入C点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，
故抛物线的解析式为：y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4；
(2)由(1)知：y=+x﹣4=﹣；
则M(﹣3，﹣)，
又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．
5．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3．（2）y=x﹣9．（3）存在，P1（，），P2（14，25）．
与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去，即可得出符合条件的P点．②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．综上所述可求出符合条件的P点的值．学科*网
试题解析：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠OCA=∠OBC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴．又∵A（﹣1，0），B（9，0），∴，解得OC=3（负值舍去）．∴C（0，﹣3），故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a=，∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣9），即y=x2﹣x﹣3．（2）∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），∴OO′=4，O′（4，0），∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，连接O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴O′D⊥x轴，∴D（4，﹣5）．∴设直线BD的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线BD的解析式为y=x﹣9．（3）∵C（0，﹣3），设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，设射线DP交⊙O′于点Q，则 弧BQ=弧CD．分两种情况（如图所示）：①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1（7，﹣4）符合 弧BQ=弧CD，∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣．解方程组，得或，∴点P1坐标为（，），坐标为（，）不符合题意，舍去．②∵Q1（7，﹣4），∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 弧BQ=弧CD，∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．解方程组得或，∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．∴符合条件的点P有两个：P1（，），P2（14，25）．

6．如图1，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．

（1）D点的坐标是________，圆的半径为________；
（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；
（3）设抛物线的顶点为F，试证明直线AF与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大面积是多少？并求出N点坐标．
【答案】（1）（5，4）；5；（2）抛物线的解析式为y=x2-x+4；（3）证明见解析；（4）当a=4时，S△ABC最大，最大值为16，此时，N（4，﹣2）．
（4）设存在点N，过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，求出直线BC的解析式，设点N坐标（a，），则可得点P的坐标为（a，a+4），从而根据S△BCN=S△BPN+S△PCN，表示出△BCN的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N的坐标．学科*网
解：（1）解：连接DC，则DC⊥y轴，

过点D作DE⊥AB于点E，则DE垂直平分AB，
∵AB=6，∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD==5，
故可得点D的坐标为（5，4），圆的半径为5；

（3）证明：因为D为圆心，A在圆周上，DA=r=5，故只需证明∠DAF=90°，
抛物线顶点坐标：F（5，），DF=4+=，AF=，
∵DA2+AF2=52+（）2==（）2=DF2，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圆D．
（4）解：存在点N，使△CBN面积最大．
根据点B及点C的坐标可得：直线BC的解析式为：y=x+4，
设N点坐标（a，），过点N作NP与y轴平行，交BC于点P，

可得P点坐标为（a，x+4），学科&网
则NP=a+4-（）=，
故S△BCN=S△BPN+S△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（a2+2a）=16-（a-4）2
当a=4时，S△BCN最大，最大值为16，此时，N（4，-2）．
7．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点．

（1）求出A，B两点的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．
（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，
∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），
设抛物线的解析式为y=a(x+4)²+2，学*科网
把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，
∴抛物线的解析式为 ，即；

即||=1，当=-1，
解得， ，
此时P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；
当时 ，解得=﹣4+， =﹣4﹣；
此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

综上所述，P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．学*科网
8．如图，直线y=x+与x轴交于点A，与y轴交于点C，以AC为直径作⊙M，点D是劣弧AO上一动点（D点与A，C不重合）．抛物线y=－x²+bx+c经过点A、C，与x轴交于另一点B，

（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）连CD交AO于点F，延长CD至G，使FG=2，试探究当点D运动到何处时，直线GA与⊙M相切，并请说明理由．
【答案】(1)y= , B(1，0) ;(2)见解析;(3)见解析.
【详解】（1）由y=x+， 得：A（-3，0），C（0，），
将其代入抛物线解析式得：，解得：，
∴y=，
∵对称轴是x=-1，
∴由对称性得B(1，0)；
（2）延长BC与对称轴的交点就是点P，
设直线BC的解析式为y=mx+n，学科*网
把B(1，0)，C（0，）代入得：，解得：，
则直线BC解析式为：y=-x+，
当x=-1时，y=2，
∴P(-1, 2)；

9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．
（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；
（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与 A、B、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）ac=﹣1；（2）ac的值是定值，为﹣1；（3）P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0， ）或（0，16）．
试题解析：（1）设圆心为点M，
∵A（﹣2，0），B（8，0），
∴M（3，0），⊙M的半径为5，
∴OC==4，
∴C（0，4），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
∵点C在抛物线上，
∴a×2×（﹣8）=4，
∴a=﹣，学*科网
∴y=﹣（x+2）（x﹣8）=﹣x2+x+4，
∴a=﹣，b=4，
∴ac=﹣1；
（2）ac的值是定值，为﹣1，
理由：∵点A（x1，0），B（x2，0），
∴OA=x1，OB=x2，OC=c，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2=OA•OB，
∴c2=﹣x1•x2，
令y=0时，0=ax2+bx+c，
∴x1•x2=，
∴c2=﹣，
∴ac=﹣1；

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，
∴，
∴m=2，
∴P2（2，0），
或②，
∴，
∴m=﹣，
∴P1（﹣，0），
当点P在y轴上时，如图2，

∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴，
∴∠ABD=∠BCO，
∵CD∥AB，
∴∠BDC+∠ABC=180°，
∵∠BCO+∠BCy=180°，
∴∠BDC=∠BCy，
设P（0，n），
∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），
∴BC=4，CD=6，BD=2，CP=n﹣4，
∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，
∴①，学&科网
∴，
∴n=，
∴P3（0，）
或②，
∴，
∴n=16，
∴P4（0，16），
即：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．
10．（2016广西钦州市）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的函数解析式；
（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；
（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

【答案】（1）；（2）；（3）S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．
出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得出，代入数据即可求出DC的长度；
（2）令中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．
∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴CM==．
∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．
（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为=，令中y=0，即，解得：=，=．
∵点P在第三象限，∴＜x＜0．学&科网
过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．
在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==。在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（，），D′（0，）。∵P（x，），∴P′（0，），∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′=（＜x＜0）。∵S△PDE==，＜＜0，∴当x=时，S△PDE取最大值，最大值为．
故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=（＜x＜0），且△PDE面积的最大值为．

11．如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)连结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；
(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积．

【答案】(1)y＝－x2＋2x－3；(2) 直线BD与⊙C相离．证明见解析；(3) P点的位置是(3， )，△PAC的最大面积是.

的面积，借助函数关系式求出最值.
试题解析：（1）∵抛物线的顶点为（4,1）,
∴设抛物线解析式为.
∵抛物线经过点（6,0）,
∴.
∴.学科*网
∴.
所以抛物线的解析式为；

设⊙与对称轴l相切于点F,则⊙的半径CF=2,
作⊥BD于点E,则∠BEC=∠AOB=90°.

∵,
∴.
又∵,
∴.
∴∽,
∴.
∴,
∴.
∴直线BD与⊙相离；

∴PQ=-()=.[来源:学科网ZXXK]
∵,
∴当时,的面积最大为
∵当时,=
∴点坐标为（3,）.
综上：点的位置是（3,）,的最大面积是.
12．已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板△MON中，OM=ON=，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+x+c过点Q和点N．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线y=ax2+x+c上的一个动点．
①初步尝试
若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PA⊥y轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②深入探究
若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值．

【答案】（1）y=﹣x2+x+（2）①（1，）、（3，0）、（5，﹣4）②
【详解】
（1）由题意可知，Q（﹣1，0），N（0，），
∴c=，即y=ax2+x+，
将Q（﹣1，0）代入解析式得0=a﹣+，解得a=﹣，
∴抛物线解析式是y=﹣x2+x+；
（2）①分三种情况，如图2，

情况一：点P在第一象限时，△APN∽△ONQ，
设AN=m，则AP=m，学科&网
则P的坐标（m，m+），
而点P在抛物线上，代入可得m+=﹣（m）2++（m）+，
解得m=，
∴P1（1，）；
情况二：点P恰好在x轴上，P2（3，0），
情况三：P在第四象限内，同情况一方法可解得
P3（5，﹣4），

13．如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；
（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；
（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．

【答案】（1）y=（x-2）（x-6）；（2）CD=2；（3）BF的长为或．
【详解】
（1）∵A（2，0），⊙A与y轴切于原点，
∴⊙A的半径为2．
∴点B的坐标为为（4，0）．
∵点A、C关于x=4对称，
∴C（6，0）．
又CO=2BE，
∴E（4，-3）学科*网
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），（a≠0）；
∵抛物线经过点E（4，-3）
∴-3=a（4-2）（4-6），
解得：a=．
∴抛物线的解析式为y=（x-2）（x-6）；

（3）如图2所示：当FB⊥AD时，连结AD．

∵∠FBC=∠ADC=90°，∠FCB=∠ACD，
∴△FBC∽△ADC，
∴=，即=．
解得：CF=．学科*网
如图3所示：当BF⊥CD时，连结AD、过点B作BF⊥CD，垂足为F．

∵AD⊥CD，
∴BF∥AD，
∴△BFC∽△ADC，
∴=，即=．
∴CF=．[来源:学科网]
综上所述，BF的长为或．
14．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
(1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
(2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标；
(3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式．

【答案】(1)四边形OKPA是正方形，理由见解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+．
【详解】
(1)四边形OKPA是正方形，
理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO＝∠OKP＝90°，
又∵∠AOK＝90°，
∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，
∴四边形OKPA是矩形，
又∵PA＝PK，
∴四边形OKPA是正方形；

解得：a＝2或﹣2(舍去负值)，
∴PG＝，PA＝BC＝2，
又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，
∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．
∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；
(3)二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
根据题意得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+．
15．如图，⊙P的圆心P(m，n)在抛物线y＝上．
(1)写出m与n之间的关系式；
(2)当⊙P与两坐标轴都相切时，求出⊙P的半径；[来源:Zxxk.Com]
(3)若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤2时，求出m、n的范围．

【答案】（1）n＝m2；（2）⊙P的半径为2；（3）≤m≤4或﹣4≤m≤﹣；7≤n≤8．
【详解】
解：（1）∵点P（m，n）在抛物线y＝上，
∴n＝m2；学科*网
（2）当点P（m， m2）在第一象限时，
由⊙P与两坐标轴都相切知m＝m2，
解得：m＝0（舍）或m＝2，
∴⊙P的半径为2；
当点P（m，m2）在第三象限时，
由⊙P与两坐标轴都相切知﹣m＝m2，
解得：m＝0或m＝﹣2，
∴⊙P的半径为2；
（3）如图，作PK⊥MN于点K，连接PM，

当MN＝2时，MK＝MN＝，
∵PM＝8，
则PK＝＝＝7，
当MN＝0时，PK＝8，
∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，
∵n＝m2，
∴7≤m2≤8，
解得：≤m≤4或﹣4≤m≤﹣．
16．【材料阅读】阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x1，y1）、N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：
MN= ．
例如：已知P（3，1）、Q（1，﹣2），则这两点间的距离PQ==．
【直接应用】
（1）已知A（2，-3）、B（-4，5），试求A、B两点间的距离；
（2）已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，4）、B（﹣1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【深度应用】
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣4的图象与x轴相交于两点A、B，（点A在点B的左边）

①求点A、B的坐标；
②设点P（m，n）是以点C（3，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，求PA2+PB2的最大值；
【答案】（1）AB=10； （2）△ABC是直角三角形；（3）①A（-2,0）B（2,0）；②80.
本题解析：
（1）AB=10；
（2）△ABC是直角三角形；
（3）①A（-2,0）B（2,0）
②PA2+PB2==
当PO过圆心C时，PO最大为OC+PC=5+1=6
因此PA2+PB2最大值为
17．抛物线y=x2+bx+2顶点A在x轴正半轴，交y轴于点C，点B是OA中点．
（1）如图1，求直线BC的解析式；
（2）如图2，将抛物线y=x2+bx+2向下平移k个单位（k＞0），平移后的抛物线与直线BC交于点M、N，若S△MON=6S△BON，求k的值；
（3）如图3,将抛物线y=x2+bx+2再进行适当平移,使平移后的抛物线的顶点D的坐标为（3，﹣1），抛物线的对称轴上有一点E，点E到x轴的距离为2（点E在x轴的上方），以点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求P点的坐标，并求出PQ的最小值．

【答案】（1）y=－2x＋2；（2）k=；（3）P（5,1），PQ最小值=2
试题解析：解：（1）由抛物线y=x2+bx+2可得，点C坐标为（0,2），抛物线的对称轴为x=-b，所以点A的坐标为（-b,0）将点A坐标代入函数表达式得 =0解得b=±2,
顶点A在x轴正半轴，∴b=-2,∴点A坐标为（2,0），点B坐标为（1,0），抛物线函数表达式为y=x2-2x+2.设直线BC解析式为y=kx+2,将点B、C坐标代入求得y=－2x＋2
（2）抛物线向下平移之后变为y=x2-2x+2-k，抛物线与直线BC交于点M、N，所以x2-2x+2-k=－2x＋2解得x= ,由图可知M的横坐标为- ，N的横坐标为，将两点代入y=－2x＋2得点M坐标为（-,2+2），点N的坐标为（，-2+2） S△MON=6S△BON，S△MON= S△BON+S△MOB，△MOB与△BON等底不等高，且高分别为点M、N的纵坐标的绝对值，∴2+2+2-2=6（2-2）解得k=
（3）平移后的抛物线的顶点D的坐标为（3，﹣1），所以抛物线的对称轴为x= =3，b=-3,∴y=x2-3x+,∴点E的坐标为（3,2），设点P的坐标为（x, x2-3x+）∴= = ，设x2-6x+3=z，∴== ，∴当Z=-2时，PE有最小值 ，即x2-6x+3=-2，学&科网
x1=1,x2=5，动点P在对称轴右侧的抛物线上，所以x1=1舍去，x=5,所以 = =2
18．如图，经过轴上两点的抛物线（）交轴于点，设抛物线的顶点为，若以为直径的⊙G经过点，求解下列问题：
（1）用含的代数式表示出的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）能否在抛物线上找到一点，使为直角三角形？如能，求出点的坐标，若不能，请说明理由。

【答案】（1）点的坐标为,点的坐标为
（2） 抛物线的解析式为
（3）满足题意的点有三个： 、和
，解得，则抛物线的解析式为.
（3）分三种情况分类讨论： （图①）显然与点重合，点坐标为 ； =（图②）作轴于， 轴于，根据两角对应相等，两三角形相似，得， ，则，由于点坐标，则，解得：
由得坐标： ； =（图③）延长交轴于，作轴于， 轴于,同理可证： ，则，即,得，点的坐标为，设所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法，把M和D（1,4）代入得：
解得：
则直线DM的解析式为 ,把代入得： ，解得， ，最后把代入 得,点的坐标为
综上述， 点有三个： 、和
【试题解析】
（1）∵y是顶点式
∴点的坐标为
当x=0时，y= -3m
点的坐标为
（2） 连接CD 、 BC，过点作轴于，如图①所示：
∵BD是⊙G的直径
∴∠DCB=
∴∠ECD+∠BCO=
∵∠ECD+∠EDC=
∴∠BCO=∠EDC
∵∠DEC=∠BOC=∴
∵∴
∴抛物线的解析式为

化简得： ,解得： （不合题意，舍去），
由得坐标：
若为,如图③，延长交轴于，
作轴于， 轴于,同理可证：
∴
则,得，点的坐标为
设所在的直线解析式为y=kx+b,把M和D（1,4）代入得：
解得：
∴直线DM的解析式为 ,把代入得：
解为： （不合题意，舍去），，学科*网
把代入 得,点的坐标为
综合上述，满足题意的点有三个： 、和

19．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y= x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；
（2）点Q（8，m）在抛物线y=x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

【答案】（1）C（0，2），图象见解析；（2）PQ+PB的最小值 ；（3）OE的解析式为y= ．
（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
试题解析：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，
则
解得
则抛物线的解析式为y=x2-x+2．
故C（0，2）．
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

（3）如图②，连接EM和CM．

由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．

20．如图，直线l：y=x﹣ 与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C．
（1）填空：直接写出抛物线的解析式：_____；
（2）已知点Q是抛物线y=x2+bx+c在第四象限内的一个动点．
①如图，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，△AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作⊙I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时Q点的坐标．

【答案】（1）（2）①， ，②，点的坐标为.
试题解析：(1)在直线中，令，则，∴点
把点与点代入，得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： .

∴，
∴， 学科*网
， .

∴当时， .
②∵∴， .
在中，
∴.
作直径交⊙于点，连接，则，