专题2.5 以二次函数与图形的面积、周长及线段的数量问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版）

这是一份专题2.5 以二次函数与图形的面积、周长及线段的数量问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版），共59页。

【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。构造二次函数来确定几何图形中的有关面积最大值的问题是近年来常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学知识，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等来寻求等量关系，从而构造出二次函数，再利用二次函数的性质即可求解.
【解题思路】
1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量（如周长、长、宽、半径等）。 2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示这个面积。
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值，当要求的值不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。
【典型例题】
【例1】(2018永州中考)如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2．
【解析】
【分析】
(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式；
(2)根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E′，连接E′F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E′F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；
(3)如图2，先利用待定系数法求AB的解析式，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)(1＜m＜3)，表示NQ＝﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．
【详解】
(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；
(2)存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设EF的解析式为y=k′x+b′，
把F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得，解得，
所以E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；
(3)如图2．
设AB的解析式为y=k″x+b″，
把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得，
所以AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N(m，﹣m2+2m+3)，则Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
∴，∴，
∴MN(m﹣2)2
0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
∴，∴PGNGm，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3m＝﹣m2m+3，
∴S△PONOP•GN(﹣m2m+3)•m，
当m＝2时，S△PON2(﹣4+3+3)＝2．

【名师点睛】
本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题，根据比例式列出关于m的方程是解题答问题(3)的关键．
【例2】如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标．

【答案】(1) y=x2+2x+1，(2) P（﹣，﹣）．
【解析】试题分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点表示出再用S四边AECP=S△AEC+S△APC建立函数关系式，求出最大值即可.
试题解析：(1)∵点A(0,1).B(−9,10)在抛物线上，[来源:学.科.网]


∴抛物线的解析式为
(2)∵AC∥x轴,A(0,1)
∴

∴点C的坐标(−6,1)，
∵点A(0,1).B(−9,10)，
∴直线AB的解析式为y=−x+1，
设点
∴E(m,−m+1)
∴
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边AECP=S△AEC+S△APC


∵−6 ∴当时,四边形AECP的面积的最大值是
此时点
【名师点睛】本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，解答时构建二次函数模型是关键．
【例3】如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.

【答案】（1） ；（2）E的坐标是； （3）P点的坐标是（-2，-3）.
【解析】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得△ABC是直角三角形，则EF⊥BC；△CEF和△BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得△BEF∽△BAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；
（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标．
试题解析：解：（1）由题意得： ，解得： ，∴；
（2）由（1）知：C（0，﹣2），则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5．
而AB2=25=AC2+BC2，∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵EF∥AC，∴EF⊥BC．∵S△CEF=2S△BEF，∴CF=2BF，BC=3BF．∵EF∥AC，∴ ．
∵AB=5，∴BE=，OE=BE﹣OB=，故E（，0）；
（3）设P点坐标为（m， ）．已知A（﹣4，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为：y=kx﹣2，则有：﹣4k﹣2=0，∴k=﹣，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣2，
∴Q点坐标为（m，﹣ m﹣2），则PQ=（﹣m﹣2）﹣（）=﹣m2﹣2m=，∴当m=﹣2，即P（﹣2，﹣3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（﹣2，﹣3）．

【名师点睛】此题是二次函数综合题，综合性强，难度较大．解题的关键是利用相似把面积比转化为对应线段的比，从而求出点的坐标．
【方法归纳】
1.由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式 ，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
2.三角形面积的最大值问题：
①　“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。
（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，进一步可得到 ，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。
②　“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的问题）：
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形）面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似（常为图中最大的那一个三角形）。利用相似三角形的性质（对应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。
3. “一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：
由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，
【针对练习】
1．(2018泸州中考)如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0 （1）求a的值和直线AB的解析式；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；
（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3）或.
【详解】
解：（1）把点代入，得

解得

函数解析式为：
设直线解析式为
把，代入

解得
直线解析式为：

解得，（舍去）
故值为
（3）如图，过点做于点

由（2）
同理
四边形是平行四边形

整理得：

，即

由已知



2．如图，抛物线交X轴于点A、B（A左B右），交Y轴于点C，
=6，点P为第一象限内抛物线上的一点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、
AQ，当PC=AQ时，求点P的坐标以及ΔPCQ的面积.

【答案】（1）y=−x²+2x+3；（2）P(2,3)；（3）P(,)， .
试题解析：
(1)∵抛物线y=ax²−2ax−3a=a(x+1)(x−3)，
∴A(−1,0),B(3,0),C(0,−3a)，
∴AB=4，OC=|−3a|=|3a|，
∵S△ABC=6，
∴AB⋅OC=6，
∴×4×|3a|=6，
∴a=−1或a=1(舍)，学科*网
∴抛物线的解析式为y=−x²+2x+3；
(2)由(1)知,B(3,0),C(0,−3a)，
∴C(0,3)，
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∵点P为第一象限内抛物线上的一点,且∠PCB=45°，
∴PC∥OB，
∴P点的纵坐标为3，
由(1)知,抛物线的解析式为y=−x²+2x+3，
令y=3,∴−x²+2x+3=3，
∴x=0(舍)或x=2，学科&网
∴P(2,3)；

∵A(−1,0).
∴AQ2=(4−m+1)²+(−m²+6m−5)²=(m−5)² [(m−1)²+1]
∵PC=AQ，
∴81PC²=25AQ²，
∴81(m−3)² [(m−1) ²+1]=25(m−5)² [(m−1)²+1]，
∵0
3．(2018甘肃陇南中考)如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为
【详解】
（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；学科*网
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为

直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，学&科网
OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ



当m=时，四边形ABPC的面积最大．[来源:Z#xx#k.Com]
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
4．(2018锦州中考)在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；
（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或.
【详解】
（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，

依题意设，则.
其中，
∴，
∴
，
，
，学&科网
，
，
.
∵，∴抛物线开口向下．
又∵，
∴当时，有最大值， ；

∴.
易证∽.
∴.
∴,.
∴.
∵，学&科网
∴直线的函数表达式为：.
由，解得：，（舍）.
∴点的横坐标为2.
②当时，方法同①，可确定点的横坐标为.
5．(2017泸州中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值．

【答案】见解析
【详解】
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=-；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；学科&网
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，
∴直线BD解析式为y=2x-8，
联立直线BD和抛物线解析式可得
，解得或，
∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，

设P（t，-t+2），
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=- ，
∴H（t，-），
∴PH=yP-yH=-
=-，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=（-t+2）（x+1），令x=0可得y=2-t，

6．（2016泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于A（1，），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．
【详解】
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴
，即，
解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴=，∴MF=PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=，
∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，
设BC=a，则CN=a，学*科网
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF=，
∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴，
∴a=PF，
∴NC=a=PF，
∴==，
∴MN=NC==a，
∴MC=MN+NC=（）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（）a），
又M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，学科*网
∴点M的坐标为（，）．

7．(2018济南中考)如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；
（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：
①为何值时为等腰三角形；
②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【答案】（1）平移后抛物线的解析式，= 12；（2）①，②当＝3时，PN取最小值为．
【详解】
（1）设平移后抛物线的解析式，
将点A（8，,0）代入，得=，
所以顶点B（4,3），
所以S阴影=OC•CB=12；
（2）设直线AB解析式为y=mx+n，将A（8，0）、B（4，3）分别代入得
，解得：，学&科网
所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN＝AN时， N点的横坐标为，纵坐标为，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.
当AM＝AN时，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，
由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，
解得：
t＝12（舍去）；
当MN＝MA时，故是钝角，显然不成立,
故；学科&网
②由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，
由判别式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，
又因为0＜xN＜8，
所以xN的最小值为6，此时t=3，
当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．
8．(2018绥化中考)已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A，和x轴的另一个交点为C．

求抛物线的解析式；
如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值；
如图2，经过点的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求的值．
备注：抛物线顶点坐标公式
【答案】抛物线的解析式为；；．
【详解】
把代入得：，解得：，
，
把点A的坐标代入得：，
抛物线的解析式为；
过点D作轴，交A与点H，

设，，
，
当时，DH最大，最大值为，
此时面积最大，最大值为；

9．(2018莱芜中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段DE长度的最大值；
（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=﹣x2+x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是；（3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
【详解】
（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；
（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，
，
解得，
∴y=-x+3，学科&网
设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1
，
M（a，-a+3），
DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴，
∵OB=4，OC=3，
∴BC=5，
∴DE=DM
∴DE=-a2+a=-（a-2）2+，
当a=2时，DE取最大值，最大值是，
（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
∴OF=，tan∠CFO==2，
过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2
，
①若∠DCE=∠CFO，
∴tan∠DCE==2，
∴BG=10，
∵△GBH∽BCO，
∴
∴GH=8，BH=6，
∴G（10，8），
设直线CG的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴直线CG的解析式为y=x+3，
∴，
解得x=，或x=0（舍）．
②若∠CDE=∠CFO，学&科网
同理可得BG=，GH=2，BH=，
∴G（，2），
同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，
∴，
解得x=或x=0（舍），
综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．
10．(2018抚顺中考)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．
①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①当t=时，面积最小是；②t=、或2.
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．

（2）①如图，过点P作PE⊥x轴于点E，

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度，
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0），
∴EQ=4﹣3t，PE=t，
∵∠PQE+∠NQC=90°，
∠PQE+∠EPQ=90°，
∴∠EPQ=∠NQC，
∴△PQE∽△QNC，
∴，学&科网
∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2，
∵PQ2=PE2+EQ2，
∴S=2（）2=20t2﹣48t+32，
当t=时，
S最小=20×（）2﹣48×+32=；
②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P（﹣1+t，t），C（3，0），
∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QE=8﹣6t，
∴N点坐标为（3，8﹣6t），
由矩形对边平行且相等，P（﹣1+t，t），Q （3﹣2t，0），
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）
当M在抛物线上时，则有
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4，
解得t=，
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2，
当N在抛物线上时，8﹣6t=4，
∴t=，学*科网
综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
11．(2018贺州中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.

【详解】（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得[来源:Zxxk.Com]
A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），
把C点坐标代入函数解析式，得
a（0+3）（0﹣1）=3，
解得a=﹣1，
抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；
（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图，

设P（t，﹣t2﹣2t+3），学&科网
则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴，
∴EF==；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴，学*科网
∴EG===2（t+3），
∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．
12．(2018龙东地区中考)如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【详解】（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；[来源:Zxxk.Com]

作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2或QH=3，
当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；
当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，学&科网
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．

13．(2018玉林中考)如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．
（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；
（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；
（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．

【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．
（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．
【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，
解得：x1=0，x2=b，学科*网
∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），
∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），
∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，
∵△PCB≌△BOA，
∴BC=OA，CP=OB，
∴b=3，c=4，
∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，
∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，
∴点M的坐标为（0，4）；
②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，
设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=，
∴n2=（n﹣3）2+16，学科*网
解得：n=，
∴点D的坐标为（，0），
设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），
将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，
，解得：，
∴直线PD的解析式为y=﹣x+，
联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，．
∴点M的坐标为（，）．学科*网
综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．

14．(2018东营中考)如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）OC=；（2）y=x﹣，抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，坐标为（，﹣）．
详解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC，
∴OC：OB=OA：OC，
∴OC2=OA•OB=3，
则OC=；
（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，
∴OC=BC，
∴点C的横坐标为，[来源:学&科&网]
又OC=，点C在x轴下方，
∴C（，﹣），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，
解得：b=﹣，k=，
∴y=x﹣，
又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，
解得：a=，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，
S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，
当x=﹣时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．
15．(2018钦州中考)如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值为．
（3）连接DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三边的关系得到DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），然后计算出AD即可．
（2）在Rt△OBC中，BC==5，
设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）；
（3）连接DN，AD，如图，学科*网
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=，
∴AM+AN的最小值为．

16．(2018邵阳中考)如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解析式为y=﹣x2+4；（2）构造的三角形是等腰三角形的概率是；（3）存在，tan∠MAN的值为1或4或．
（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=，再根据三角形面积公式计算出MN=，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，由②得AH=，利用勾股定理可计算出BH=，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到•（﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或．学科*网
【详解】（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，
把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，
∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；
（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；
当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），
从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=，BC=2，BD=2，
∴△BCD为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；
（3）存在，
易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=AC•OB=×3×4=6，
M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当N点在AC上，如图1，
∴△AMN的面积为△ABC面积的，
∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，
当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC==4；
当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC==1；
②当N点在BC上，如图2，
BC==2，
∵BC•AN=AC•BC，解得AN=，
∵S△AMN=AN•MN=2，
∴MN==，
∴∠MAC=；
③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=﹣t，
由②得AH=，则BH=，
∵∠NBG=∠HBA，
∴△BNM∽△BHA，
∴，即，
∴MN=，
∵AN•MN=2，

17．(2018烟台中考)如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=，BD解析式为y=﹣；（2）t的值为、、．（3）N点坐标为（﹣2，﹣2），M点坐标为（﹣，﹣），.
（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，

当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴=，即=，
解得t=，学科*网
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=，
即=，
解得：t=；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴=，即=，
解得：t=，
∴t的值为、、．

求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．
18．(2018黄石中考)已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；
（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．
①求证：∠PDQ=90°；
②求△PDQ面积的最小值．

【答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（17，64）．（3）①证明见解析；②16.
解可得；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG=4，根据S△PDQ=DG•MN列出关于k的等式求解可得．
详解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1，
解得：a=，
所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2；

∵∠BDC=90°，
∴∠BDO+∠CDF=90°，
∴∠BDO=∠DCF，
∴△BDO∽△DCF，
∴=，
∴==，
解得：x0=17，此时y0=64，
∴点C的坐标为（17，64）．
（3）①证明：设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），
由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，
∴，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，
如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

则PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，
DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，
∴PM•QN=DM•DN=16，
∴=，
又∠PMD=∠DNQ=90°，
∴△PMD∽△DNQ，
∴∠MPD=∠NDQ，
而∠MPD+∠MDP=90°，
∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；
②过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，4），
所以DG=4，学科*网
∴S△PDQ=DG•MN=×4×|x1﹣x2|=2=8，
∴当k=0时，S△PDQ取得最小值16．
19．(2018盐城中考)如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ.
①若点P的横坐标为，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；②△PQD面积的最大值为8
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为-时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（-，），点Q的坐标为（，-）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y=-x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，

设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．
∵-2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
20．(2018内江中考)如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；
（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，学科*网
如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，

∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
21．(2018聊城中考)如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为.

（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当时，求的值；
（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，当t=时，S有最大值，最大值是．
详解:
（1）将E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x．

（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
∴点M的坐标为（t，-t2+2t），点N的坐标为（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），
∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），
∴S=（AM+BN）•AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，
=-t2+t+，学科*网
=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=4时，S取最大值，最大值为；
②当4＜t≤5时（图2），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），