专题16角平分线与线段的垂直平分线（基础巩固练习） 解析版

这是一份专题16角平分线与线段的垂直平分线（基础巩固练习） 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题16 角平分线与线段的垂直平分线（基础巩固练习，共30个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【解析】根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．2.（2019•兴安盟）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CD的长为（　　）A．3 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质解答．解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∵DA⊥BA，DE⊥BC，∴DE＝AD＝3，∴CD＝2ED＝2AD＝6，故选：B．3.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）A．2 B． C．2 D．3【答案】A【解析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，根据角平分线的性质得到DE＝DF＝1，解直角三角形即可得到结论．解：过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CDDF，∴BC＝BD+CD＝2，故选：A．4.（2019•张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DCAD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】过点D作DE⊥AB于E，求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝8，DCAD，∴CD＝82，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝CD＝2，即点D到AB的距离为2．故选：C．5.（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【解析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB•DHBC•CD6×49×4＝30，故选：B．6.（2018•辽阳）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（　　）A．5 B． C．4 D．【答案】B【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵OA＝OB，OC平分∠AOB，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵，∴，解得，BE，故选：B．7.（2018•梧州）如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF＝6，故选：D．8.（2018•大庆）如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】B【解析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB∠DAB，计算即可．解：作MN⊥AD于N，∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN＝MC，∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB∠DAB＝35°，故选：B．9.（2018•常德）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为（　　）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，根据直角三角形的性质解答．解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝6，∴CE＝CD×cos∠C＝3，故选：D．10.（2020•益阳）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【解析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．11.（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（　　）A．l是线段EH的垂直平分线     B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线     D．EH是l的垂直平分线【答案】A【解析】根据垂直平分线的性质定理判断即可．解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D．∵l为直线，EH不能平分直线l，∴EH不是l的垂直平分线，故此选项错误；故选：A．12.（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【解析】在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为11．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．13.（2019•梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案．解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故选：B．14.（2019•南充）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（　　）A．8 B．11 C．16 D．17【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，然后利用等线段代换即可得到△ACE的周长＝AC+BC，再把BC＝6，AC＝5代入计算即可．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．15.（2018•南通）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】由作图可知，四边形ECFD是正方形，根据S△ACB＝S△ADC+S△CDB，可得AC×BCAC×DEBC×DF，由此即可解决问题．解：由作图可知，四边形ECFD是正方形，∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DEC＝∠DFC＝90°，∵S△ACB＝S△ADC+S△CDB，∴AC×BCAC×DEBC×DF，∴DE，故选：D．二、填空题（共10小题）：16.（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　  　．【答案】3【解析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．17.（2019•永州）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝　 　．【答案】4【解析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM＝DE＝2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM＝30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝2．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝4．故答案为：4．18.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为　    　．【答案】19【解析】由线段的垂直平分线的性质可得AC＝2AE，AD＝DC，从而可得答案．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，∵AB+BD+AD＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．故答案为：19．19.（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　  　．【答案】78°【解析】解法一：连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．20.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝　   　cm．【答案】10【解析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD＝BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．解：∵C△DBC＝24cm，∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD②，将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，即AC+BC＝24cm，又∵AC＝14cm，∴BC＝24﹣14＝10cm．故填10．21.（2018•南充）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　     度．【答案】24【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案为：24．22.（2019秋•澧县期末）如图，已知AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，若∠A＝38°，则∠BDE＝　   　．【答案】52°【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而结合等边对等角得出答案．解：∵AB的垂直平分线MN交AB于点E，交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝38°，∴∠BDE＝90°﹣38°＝52°．故答案为：52°．23.（2020•武汉模拟）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝　   　．【答案】126°【解析】利用垂直平分线和外角和中位线的性质解答即可．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，设∠EBC＝∠ECB＝x，∴∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝2x，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝x，∵FG是△ACE的中位线，∴FG∥AC，∴∠EFG＝∠ACE＝x，∵D为BC的中点，F为CE的中点，∴DF∥AB，∴∠EFD＝∠AEF＝2x，∵∠DFG＝∠GFE+∠EFD＝x+2x＝3x，∴3x＝108°，∴x＝36°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝2x+90°﹣x＝90°+x＝90°+36°＝126°，故答案为：126°．24.（2020秋•涪城区校级期末）如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②S△PAC：S△PCB＝AC：CB；③BP垂直平分CE；④CP＝FC，其中正确的判断有　　．（填序号）【答案】①②③【解析】根据角平分线的定义得出∠CAP＝∠BAP，根据平行线的性质得出∠CAP＝∠GPA，求出∠GPA＝∠BAP，即可判断①；过P作PQ⊥AD于Q，PR⊥AE于R，PT⊥BC于T，根据角平分线的性质得出PQ＝PR，PT＝PR，根据三角形的面积求出S△PAC，S△PCB，即可判断②；根据等腰三角形的性质即可判断③，根据等腰三角形判断即可判断④．解：∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠CAP＝∠GPA，∴∠GPA＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；过P作PQ⊥AD于Q，PR⊥AE于R，PT⊥BC于T，∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴PQ＝PR，PT＝PR，∴PQ＝PT，∵S△PAC，S△PCB，∴S△PAC：S△PCB＝AC：BC，故②正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正确；根据已知条件不能推出∠CPF＝∠CFP，即不能推出CP＝FC，故④错误；故答案为：①②③．25.（2018•锦州）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△AOB的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为　     　．【答案】4•（）2016•（1）2017【解析】从特殊到一般探究规律后即可解决问题；解：由题意：正方形ABCA1的边长为，正方形A1B1C1A2的边长为1，正方形A2B2C2A3…的边长为（1）（1），正方形A3B3C3A4的边长为（1）（1）2，由此规律可知：正方形A2017B2017C2017A2018的边长为（1）（1）2016．∴正方形A2017B2017C2017A2018的周长为4•（1）（1）2016＝4•（）2016•（1）2017．故答案为4•（）2016•（1）2017．三、解答题（共5小题）：26.（2020秋•庐阳区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝50°，AD⊥BC，垂足为D，EF是边AB的垂直平分线，交BC于E，交AB于点F，求∠EAD的度数．【答案】∠EAD＝30°【解析】根据三角形内角和定理求出∠B，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，进而得到∠EAB＝∠B＝30°，根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可．解：∵∠BAC＝100°，∠C＝50°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝30°，∵EF是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝30°，∴∠AED＝∠EAB+∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠EAD＝90°﹣60°＝30°．27.（2020•香洲区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC．（1）请用尺规作图法，作边AB的垂直平分线交AC于点D（不要求写作法，但保留作图痕迹）；（2）若AC＝4，AB＝5，连接BD，求△BCD的周长．【答案】(1)见解析；(2)△BCD的周长＝7.【解析】（1）路尺规作线段AB的垂直平分线交AC于点D，交BA于点E．（2）利用勾股定理求出BC，证明DA＝DB，即可解决问题．解：（1）如图，直线DE即为所求作．（2）∵∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC3，由作图可知，DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝3+4＝7．28.（2020•临清市一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AC，BC，AD于点O，E，F．（1）求证：AF＝CE；（2）若BE＝3，AF＝5，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)AC.【解析】（1）利用垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可△AOF≡△COE（ASA），进而得出AF＝CE；（2）连接AE，先求得CE＝5＝AE，BC＝BE+CE＝8，即可运用勾股定理得到AB和AC的长．（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≡△COE（ASA），∴AF＝CE；（2）如图，连接AE，∵EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∵AF＝CE，AF＝5，∴CE＝5＝AE，∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，又∵AB4，∴AC．29.（2020•南岗区三模）已知：在△ABC中，AC＜AB＜BC．线段AB的垂直平分线交BC于点D，点E在BC上，且BE＝AB．连接AD，AE，∠AEC＝3∠BAD．（1）如图1，求证：AD＝AE；（2）如图2，当∠B＝2∠CAE时，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形．【答案】(1)见解析；(2)四个等腰三角形分别是：△ABD，△ABE，△ADE，△ADC.【解析】（1）设∠B＝α，先根据线段垂直平分线的性质得AD＝BD，可表示∠BAD＝α，再根据三角形的外角和等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠AED＝2α，从而得结论；（2）根据等腰三角形的判定即可求解．（1）证明：设∠B＝α，∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2α，∵∠AEC＝3∠BAD＝3α，∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠DAE＝α，∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠BAE＝2α，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE；（2）解：如图2，由（1）知：AD＝BD，AD＝AE，∴△ABD和△ADE都是等腰三角形，∵AB＝BE，∴△ABE也是等腰三角形，∵∠B＝2∠CAE，∴∠CAEα，△AEC中，∠C＝∠AED﹣∠CAE＝2ααα，∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝ααα，∴∠C＝∠DAC，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，综上，图2中的四个等腰三角形分别是：△ABD，△ABE，△ADE，△ADC．30.（2020•金牛区模拟）如图，点E在矩形ABCD对角线AC上由A向C运动，且BC＝2，∠ACB＝30°，连结EF，过点E作EF⊥DE，交BC于点F（当点F与点C重合时，点E也停止运动）（1）如图1，当AC平分角∠DEF时，求AE的长度；（2）如图2，连结DF，与AC交于点G，若DF⊥AC时，求四边形DEFC的面积；（3）若点E分AC为1：2两部分时，求BF：FC．    【答案】(1)AE=3；(2)S四边形DEFC2；(3)BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1.【解析】（1）如图1中，作DM⊥AC于M，解直角三角形求出CM，EM，AC即可解决问题．（2）解直角三角形求出DG，FG，CG，利用相似三角形的性质求出EG，根据S四边形DEFC•DF•CE求解即可．（3）分两种情形：①如图1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．解直角三角形求出EN，DN，EM，再利用相似三角形的性质求出MF即可解决问题．②若AE：CF＝2：1时，同法可求．【解答】解：（1）如图1中，作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝CD，AD＝BC＝2，∵∠ACB＝30°，∴AB＝CD＝BC•tan30°＝2，AC＝2AB＝4，在Rt△CDM中，∵∠CMD＝90°，∠DCM＝60°，CD＝2，∴∠CDM＝30°，∴CMCD＝1，DMCM，∵∠DEF＝90°，EM平分∠DEF，∴∠DEM∠DEF＝45°，∴EM＝DM，∴AE＝AC﹣EM﹣CM＝3．（2）如图2中，∵DF⊥AC，∴∠DGC＝90°，在Rt△CDG中，∵CD＝2，∠DCG＝60°，∴∠CDG＝30°，∴CGCD＝1，DG，∴FG＝CG•tan30°，∵∠FEG+∠DEG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠FEG＝∠EDG，∵∠EGF＝∠DGE＝90°，∴△EGF∽△DGE，∴，∴，∴EG＝1，∴S四边形DEFC•DF•CE2．（3）①如图1﹣1中，若AE：CE＝1：2，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．∵AB＝CD＝2，AC＝4，AE：EC＝1：2，∴AE，EC，在Rt△CEN中，∵∠ECN＝30°∴CNEC，ENCN，∴DN＝2，在Rt△CEM中，∵∠ECM＝30°，∴EMEC，CMEM，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝∠NEM＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠END＝∠EMF＝90°，∴△END∽△EMF，∴，可得MF，∴CF＝CM﹣MF，BF＝2CF，∴BF：CF＝4：5．②若AE：CF＝2：1时，同法可得BF：CF＝8：1．综上所述，BF：CF＝4：5或BF：CF＝8：1．