专题24圆（基础巩固练习） 解析版

这是一份专题24圆（基础巩固练习） 解析版，共45页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学 专题24 圆
（基础巩固练习，共50个小题）
一、选择题（共25小题）：
1.（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（　　）

A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD=12AB=12×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=262-242=10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．
2.（2020•武汉）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）

A．523 B．33 C．32 D．42
【答案】D
【解析】解：连接OD，交AC于F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中∠DFE=∠BCE=90°∠DEF=∠BECDE=BE
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF=12DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC=AB2-BC2=62-22=42，故选：D．
3.（2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】解：如图所示：连接OD，
∵直径AB＝15，
∴BO＝7.5，
∵OC：OB＝3：5，
∴CO＝4.5，
∴DC=DO2-CO2=6，
∴DE＝2DC＝12．故选：C．
4.（2020•黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．8 B．12 C．16 D．291
【答案】C
【解析】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM=OA2-OM2=102-62=8，
∴AB＝2AM＝16．故选：C．
5.（2020•广西）如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH=3，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．5
【答案】C
【解析】解：延长BA到E，使AE＝BC，连接DE，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC=12×120°＝60°，
∵∠DAC＝∠DBC＝60°，∠DCA＝∠DBA＝60°，
∴△DAC为等边三角形，
∴DA＝DC，
在△ADE和△BCD中，AE=BC∠DAE=∠DCBAD=CD，
∴△ADE≌△BCD（SAS），
∴∠E＝∠DBC＝60°，
而∠DBA＝60°，
∴△DBE为等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴BH＝EH，
在Rt△BDH中，BH=33DH=33×3=1，
∴BE＝2BH＝2，
∴AB+BC＝2．故选：C．
6.（2020•巴中）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠ACB＝45°，AB=22，则⊙O的半径OA的长是（　　）

A．2 B．2 C．22 D．3
【答案】B
【解析】解：根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵AB＝22，OA＝OB，
∴2OA2＝AB2，
∴OA＝OB＝2，
故选：B．

7.（2020•贵港）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（ ）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】A
【解析】解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，故选：A．
8.（2020•陕西）如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC，DC．若∠A＝25°，则∠D的大小为（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解析】解：∵BC∥OA，
∴∠ACB＝∠A＝25°，∠B＝∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故选：C．
9.（2020•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为（　　）




A．30° B．25° C．15° D．10°
【答案】A
【解析】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A=12∠BOC＝30°，故选：A．
10.（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．9π
【答案】D
【解析】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．
11.（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC＝65°，故选：B．
12.（2020•桂林）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB=180°-∠O2=25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故选：B．
13.（2020•雅安）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（　　）



A．62° B．31° C．28° D．56°
【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A=12×62°＝31°．故选：B．
14．（2020•通辽）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝72°，则∠C＝（　　）

A．108° B．72° C．54° D．36°
【答案】C
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°，
由圆周角定理得，∠C=12∠AOB＝54°，故选：C．
15.（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　）

A．△BPA为等腰三角形
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【解析】解：（A）∵PA、PB为圆O的切线，
∴PA＝PB，
∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意．
（B）由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意．
（C）连接OB、OA，
∵PA、PB为圆O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
（D）∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，
∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意．故选：B．
16.（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．75° B．70° C．65° D．60°
【答案】B
【解析】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．故选：B．
17.（2020•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，故选：D．
18．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．
19.（2019•杭州）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，
∴PB＝PA＝3，故选：B．
20.（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝63，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π-923 B．12π﹣93 C．3π-943 D．93
【答案】A
【解析】 解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE=12CD=33．
设⊙O的半径为r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2=(9-r)2+(33)2，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD=OEOD=36=12，
∴∠EOD＝60°，
∴S扇形BOD=16π×36=6π，SRt△OED=12×3×33=923，
∴S阴影=6π-923，故选：A．
21.（2020•西藏）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．43π-3 B．43π﹣23 C．83π-3 D．83π﹣23
【答案】D
【解析】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，AE=CE，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD=12OA＝2，AD=32OA＝23，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO=60⋅π×42360-12×23×2=8π3-23，
故选：D．
22.（2020•毕节市）如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．16π B．316π C．124π D．112π+34
【答案】A
【解析】解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵弧CD的长为13π，
∴60π⋅r180=13π，
解得：r＝1，
∴S阴影＝S扇形OCD=60π⋅12360=π6．
故选：A．
23.（2020•咸宁）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π2-2 B．π-2 C．π2-2 D．π﹣2
【答案】D
【解析】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
=90⋅π×22360-12×2×2
＝π﹣2．
故选：D．
24.（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【解析】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC=36⋅π×102360=10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故选：A．
25.（2020•黄石）如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（　　）

A．140° B．70° C．110° D．80°
【答案】C
【解析】解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠P=12∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
二、填空题（共20小题）：
26.（2018•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　 　．

【答案】30°
【解析】解：如图，连接OC．
∵AB是直径，AC=CD=BD，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为30°
27.（2020•南通）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离
为 cm．
【答案】12
【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC=12AB＝5，
在Rt△OAC中，OC=132-52=12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为12．
28.（2020•甘孜州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为　 　．

【答案】3
【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，
∴CH＝DH=12CD=12×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH=OC2-CH2=3，故答案为：3．
29.（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝　 °．

【答案】35
【解析】解：如图，连接AD．∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠1＝∠ADE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝35°，故答案为35．
30.（2020•宜宾）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若△OBC是等边三角形，则cos∠A＝　 　．

【答案】32
【解析】解：∵△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴cos∠A＝cos30°=32．故答案为：32．
31.（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O的半径是　 　．

【答案】2
【解析】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH=12CD=3，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝23，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC=3BC＝23，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；故答案为：2．
32.（2020•攀枝花）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝　 　．

【答案】1
【解析】解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，OB＝OC＝2，
∵OD⊥BC，OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD=12OB＝1，故答案为：1．
33.（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝　 　°．

【答案】50
【解析】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°．故答案为50．
34.（2020•广元）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝10，AH＝8，⊙O的半径为7，则AB＝　 　．

【答案】565
【解析】解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴ABAH=ADAC，即AB8=1410，
解得，AB=565，故答案为：565．
35.（2020•南充）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝　 　．

【答案】103
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵tanD=CECD=3，
∴设CE＝3x，CD＝x，
∴DE=10x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴ACBC=CECD=AEBD=3，∠CBD＝∠CAE，
∵AE＝2，
∴BD=23
∵∠EAC+∠CBE＝180°，
∴∠CBD+∠CBE＝180°，
∴D，B，E三点共线，
∴BE＝DE﹣BD=10x-23，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴22+（10x-23）2＝（10x）2，
∴x=103，
∴AB＝DE=103，
故答案为：103．
36.（2020•眉山）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为　 　．

【答案】25
【解析】解：连接OB，如图，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PB＝PA＝6，OB⊥PC，OA⊥PA，
∴∠CAP＝∠CBO＝90°，
在Rt△APC中，PC=PA2+AC2=62+82=10，
∴BC＝PC﹣PB＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，
在Rt△BCO中，42+r2＝（8﹣r）2，解得r＝3，
∴OA＝3，OC＝5，
在Rt△OPA中，OP=OA2+PA2=32+62=35，
∵CD⊥PO，
∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝∠POA，∠CDO＝∠PAO，
∴△COD∽△POA，
∴CD：PA＝OC：OP，即CD：6＝5：35，
∴CD＝25．
故答案为25．
37.（2020•东营）如图，在Rt△AOB中，OB＝23，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为　 　．

【答案】22
【解析】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∴PQ=OP2-OQ2=OP2-1，
当OP最小时，线段PQ的长度最小，
当OP⊥AB时，OP最小，
在Rt△AOB中，∠A＝30°，
∴OA=OBtanA=6，
在Rt△AOP′中，∠A＝30°，
∴OP′=12OA＝3，
∴线段PQ长度的最小值=32-1=22，
故答案为：22．
38.（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　 　．

【答案】1
【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
根据勾股定理，得AB＝5，
如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴四边形EOFC是矩形，
根据切线长定理，得
CE＝CF，
∴矩形EOFC是正方形，
∴CE＝CF＝r，
∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，
BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴3﹣r+4﹣r＝5，
解得r＝1．
则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为：1．
39.（2019•河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝　 　°．

【答案】76
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
40.（2019•南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　 　．

【答案】219°
【解析】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA=12（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案为：219°．
41.（2020•贵港）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．

【答案】1+3-23π
【解析】解：连接OC，作CM⊥OB于M，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝22，
∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，
∴AD=12AB=2，BD=32AB=6，
∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，
∴∠OBC＝75°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝75°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×2=1，
∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）
＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC
=12×2×2+12×2×6-12×2×1-60π×22360
＝1+3-23π．
故答案为1+3-23π．
42.（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为　　．

【答案】π3
【解析】解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．
故答案为：π3．
43.（2020•鄂尔多斯）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝23，则阴影部分面积S阴影＝　 　．

【答案】2π3
【解析】解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴BC=BD，CE＝DE=3，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC∥BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD=EDsin60°=2，
∴S阴=60⋅π⋅22360=2π3，
故答案为2π3．
44.（2020•十堰）如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝　 　．

【答案】2
【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
故CD＝DB＝DA，
∴D点为BC中点，由对称性可知CD与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC＝BC＝x，
则S扇形ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，
其中S扇ACB=90⋅π⋅x2360=πx24，
S4=S△ACB-S△BCD-S3=12⋅x2-12⋅x⋅x2-S3=x24-S3，
故：πx24-S3-(x24-S3)=π-1，
所以：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）；故答案：2．
45.（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　 　．

【答案】30°
【解析】解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
故答案为：30°．
三、解答题（共5小题）：
46.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点E，点D为AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若CE＝1，OA=3，求∠ACB的度数．

【答案】(1)见解析；(2)∠ACB的度数为60°.
【解析】（1）证明：如图，连接OD，OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵点D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC，
∴∠OBE＝∠AOD，∠OEB＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
OD=OD∠AOD=∠EODOA=OE，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接AE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵点D为AC的中点，
∴设AD＝CD＝x，
∴AE=AC2-CE2=4x2-1，
∵∠C+∠CAE＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠C＝∠BAE，
∴△AEC∽△BEA，
∴CEAE=ACAB，
∴14x2-1=2x23，
∴4x2-1x=3，
两边平方，得
（4x2﹣1）x2＝3，
整理，得4x4﹣x2﹣3＝0，
∴（x2﹣1）（4x2+3）＝0，
∴（x2﹣1）＝0或（4x2+3）＝0，
解得，x＝±1（负值舍去），（4x2+3）＝0无解，
∴x＝1，
∴AC＝2x＝2，
∴cos∠C=CEAC=12，
∴∠C＝60°．
答：∠ACB的度数为60°．
47.（2020•贵港）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AB＝26，AD＝3，求直径AE的长．

【答案】(1)见解析；(2)AE=33.
【解析】（1）证明：连接DE，如图1，
∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴∠E＝∠BAD，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E+∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAE＝90°，
即∠BAE＝90°，
∴AE⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
∵∠B＝∠C＝∠BAD，
∴△ABC∽△DBA，
∴ABBD=BCAB，
即AB2＝BD•BC，
又AB＝26，BD＝AD＝3，
∴BC＝8，
在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，
∴AH=AB2-BH2=(26)2-42=22，
∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，
∴△AED∽△ABH，
∴AEAB=ADAH，
∴AE=AB⋅ADAH=26×322=33．
48.（2020•陕西）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．

【答案】(1)见解析；(2)AF=1565.
【解析】（1）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE=BE2-BC2=10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴△BCE∽△FAO，
∴BCAF=CEOA，
∴24AF=1013，
∴AF=1565．
49.（2020•葫芦岛）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

【答案】(1)见解析；(2)BD=72.
【解析】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，
∴AC＝10，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵sin∠ACB=ABAC，
∴AB=sin45°⋅AC=52，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵在Rt△ADF中，AD＝6，
∵sin∠ADF=AFAD，
∴AF=sin45°⋅AD=32，
∴DF=AF=32，
在Rt△ABF中，BF2=AB2-AF2=(52)2-(32)2=32，
∴BF=42，
∴BD=BF+DF=72．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．
∴∠DBH＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．∴BD=72．
50.（2020•包头）如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=34，5BF﹣5AD＝4．
（1）求AE的长；
（2）求cos∠CAG的值及CG的长．

【答案】(1)AE＝2；(2)cos∠CAG=1010；CG=9105.
【解析】解：（1）延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．
∵直线l是⊙O的切线，
∴AE⊥OD，
∵OC⊥AB，
∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，
∴四边形AEHO是矩形，
∴EH＝OA＝3，AE＝OH，
∵CH=EC2-EH2=(34)2-32=5，
∴AE＝OH＝CH﹣CO＝5﹣3＝2．
（2）∵AE∥OC，∴AEOC=ADDO=23，
∴AD=25OA=65，
∵5BF﹣5AD＝4，∴BF＝2，
∴OF＝OB﹣BF＝1，AF＝AO+OF＝4，CF=OC2+OF2=32+12=10，
∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，
∴△AFC∽△GFB，
∴AFFG=CFBF，
∴4FG=102，
∴FG=4105，
∴CG＝FG+CF=9105，
∵CT是直径，
∴∠CGT＝90°，
∴GT=TC2-CG2=62-(9105)2=3105，
∴cos∠CTG=TGTC=31056=1010，
∵∠CAG＝∠CTG，∴cos∠CAG=1010．