专题03二次根式的运算（基础巩固练习）解析版

2021年中考数学 专题03 二次根式的运算

（基础巩固练习，共35个小题）

一、选择题（共15小题）：

1.要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≤﹣3 B．x＞3 C．x≥3 D．x＝3

【答案】C

【解析】根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．

解：∵在实数范围内有意义，∴2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：C．

2.计算的结果是（　　）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．

解：原式

．

故选：B．

3.已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是（　）

A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3

【答案】D

【解析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．

解：由图知：1＜a＜2，

∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，

原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．故选：D．

4.若y有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2

【答案】B

【解析】根据被开方数大于或等于0，列式计算即可得解．

解：由题意得，2x≥0，解得x≥0．故选：B．

5.的计算结果是（　　）

A．5 B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】先化简，再加减．

解：原式＝2＝3．故选：C．

6.计算3的结果正确的是（　　）

A．1 B． C．5 D．9

【答案】A

【解析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．

解：原式

＝1．

故选：A．

7.下列各式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用最简二次根式定义判断即可．

解：A、是最简二次根式，符合题意；

B、2，不是最简二次根式，不符合题意；

C、a，不是最简二次根式，不符合题意；

D、，不是最简二次根式，不符合题意．

故选：A．

8.已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则的值为（　　）

A．5 B．﹣5 C．25 D．5或﹣5

【答案】A

【解析】先把进行化简，再把a+b＝﹣5，ab＝1代入，即可求出答案．

解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，

∴a＜0，b＜0，

，

又∵a+b＝﹣5，ab＝1，

∴原式5；

故选：A．

9.a＝2019×2021﹣2019×2020，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【答案】A

【解析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．

解：a＝2019×2021﹣2019×2020

＝2019（2021﹣2020）

＝2019；

∵20222﹣4×2021

＝（2021+1）2﹣4×2021

＝20212+2×2021+1﹣4×2021

＝20212﹣2×2021+1

＝（2021﹣1）2

＝20202，

∴b＝2020；

∵，

∴c＞b＞a．

故选：A．

10.如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）

A．（8﹣4）cm2 B．（4﹣2）cm2 

C．（16﹣8）cm2 D．（﹣12+8）cm2

【答案】D

【解析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．

解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，

∴它们的边长分别为4cm，2cm，

∴AB＝4cm，BC＝（24）cm，

∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16，

＝816﹣12﹣16，

＝（﹣12+8）cm2．

故选：D．

11.若2＜a＜3，则等于（　　）

A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1

【答案】C

【解析】先根据2＜a＜3把二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果即可．

解：∵2＜a＜3，

∴

＝a﹣2﹣（3﹣a）

＝a﹣2﹣3+a

＝2a﹣5．

故选：C．

12.已知：a，b，则a与b的关系是（　　）

A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2

【答案】C

【解析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．

解：分母有理化，可得a＝2，b＝2，

∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝2，故A选项错误；

a+b＝（2）+（2）＝4，故B选项错误；

ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，故C选项正确；

∵a2＝（2）2＝4+43＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4，

∴a2≠b2，故D选项错误；

故选：C．

13.计算（3）2018（3）2019的值为（　　）

A．1 B．3 C．3 D．3

【答案】B

【解析】原式利用积的乘方的运算法则变形为[（3）（3）]2018×（3），再根据二次根式的运算法则和平方差公式计算可得．

解：原式＝（3）2018（3）2018×（3）

＝[（3）（3）]2018×（3）

＝（10﹣9）2018×（3）

＝1×（3）

3，

故选：B．

14.下列计算正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得．

解：A．|﹣2|＝2，此选项计算错误；

B．，此选项错误；

C．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

D．，此选项计算正确；

故选：D．

15.若实数x满足|x﹣3|7，化简2|x+4|的结果是（　　）

A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2

【答案】A

【解析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．

解：∵|x﹣3|7，

∴|x﹣3|+|x+4|＝7，

∴﹣4≤x≤3，

∴2|x+4|

＝2（x+4）﹣|2x﹣6|

＝2（x+4）﹣（6﹣2x）

＝4x+2，

故选：A．

二、填空题（共10小题）：

16.计算：（）（）2＝　   　．

【答案】

【解析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．

解：原式＝[（）（）]（）

＝（3﹣2）（）

．

故答案为：．

17.计算：（）2　  　．

【答案】5

【解析】先利用完全平方公式计算，然后化简后合并即可．

解：原式＝3+22﹣2

＝5．

故答案为5．

18.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　    　．

【答案】x≥﹣2

【解析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．

解：代数式在实数范围内有意义，

则x+2≥0，

解得：x≥﹣2．

故答案为：x≥﹣2．

19.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　   　．

【答案】x＞3

【解析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零的性质，可得2x﹣6＞0，再解即可．

解：由题意得：2x﹣6＞0，

解得：x＞3，

故答案为：x＞3．

20.若式子有意义，则实数x的取值范围是　   　．

【答案】x≥﹣1且x≠0

【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．

解：∵式子有意义，

∴x+1≥0，x≠0，

解得：x≥﹣1且x≠0．

故答案为：x≥﹣1且x≠0．

21.若，，则x6+y6的值是　  　．

【答案】40

【解析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．

解：由题意得：x2+y2＝224，x2﹣y2＝2（2）＝2，x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）＝8，

又（x2﹣y2）（x4﹣y4）＝x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，

∴可得：x6+y6＝32+x2y2（x2+y2）＝32+2×4＝40．

故答案为：40．

22.化简：　  　．

【答案】

【解析】变形被开方数，把被开方数转化为一个数的平方的形式，再化简求值．

解：∵2（4﹣2）

（3﹣21）

（1）2，

2（4+2）

（3+21）

（1）2，

∴原式

（1）（）

．

故答案为：．

23.化简　  　．

【答案】

【解析】先利用完全平方公式得到4﹣2（1）2，则原式可化为简为，再利用2，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．

解：∵4﹣2（1）2，

∴原式，

∵2，

∴原式

．

故答案为．

24.若x，y为有理数，且，则xy的值为　  　．

【答案】2

【解析】直接利用二次根式的定义分析得出x，y的值，即可得出答案．

解：∵x，y为有理数，且，

∴2x﹣1＝0，y＝4，

则x，

故xy＝42．

故答案为：2．

25.若y2，则（x+y）2003＝　  　．

【答案】-1

【解析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，且x﹣1≥0，计算可得x的值，进而可得y的值，然后再代入可得（x+y）2003的值．

解：由题意得：1﹣x≥0，且x﹣1≥0，

解得：x＝1，

则y＝﹣2，

（x+y）2003＝﹣1，

故答案为：﹣1．

三、解答题（共10小题）：

26.计算：25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0

【答案】3

【解析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．

解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．

27.计算：（2）0+|2|+（﹣1）2017．

【答案】-2

【解析】根据零指数幂的意义和绝对值的意义进行计算．

解：原式＝12﹣1＝﹣2．

28.计算：（1﹣π）0+||（）﹣1．

【答案】1-

【解析】根据实数的混合计算解答即可．

解：原式＝1．

29.已知，，求a2+b2﹣3ab的值．

【答案】11

【解析】首先利用配方法对多项式进行变形整理，再把a、b的值代入，进行计算即可．

解：∵，，

∴a+b＝4，，

∴a2+b2﹣3ab＝（a+b）2﹣5ab＝42﹣5×1＝11．

30.已知x，求（x）2+2（x）+2的值．

【答案】14+4

【解析】先求得x的值，然后再求得x的值，然后整体代入即可．

解：∵x，

∴x，．

∴x2．

∴原式＝（2）2+2×22＝12+42＝14+4．

31.计算：

（1）；

（2）已知|a|0，求a2﹣22+b2的值．

【答案】(1)4；(2)4.

【解析】（1）根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题；

（2）根据|a|0，可以得到a、b的值，然后将所求式子变形，再将a、b的值代入即可解答本题．

解：（1）

＝42

＝42

＝4；

（2）∵|a|0，

∴a＝0，b﹣2＝0，

∴a，b＝2，

∴a2﹣22+b2

＝（a）2+b2

＝（）2+22

＝02+4

＝0+4

＝4．

32.计算

（1）（21）2+（2）（2）

（2）（2）6．

【答案】(1)12﹣4；(2)﹣6.

【解析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；

（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．

解：（1）原式＝12﹣41+3﹣4

＝12﹣4

（2）原式23

＝363

＝﹣6．

33.已知a，b．

（1）求a2﹣b2的值；

（2）求a2﹣ab+b2．

【答案】(1)4；(2)9.

【解析】（1）根据a，b，可以得到a+b和a﹣b的值，然后根据平方差公式将所求式子变形，即可解答本题；

（2）根据a，b，可以得到a﹣b和ab的值，然后根据完全平方公式将所求式子变形，即可解答本题．

解：（1）∵a，b，

∴a+b＝2，a﹣b＝2，

∴a2﹣b2

＝（a+b）（a﹣b）

＝2

＝4；

（2））∵a，b，

∴a﹣b＝2，ab＝1，

∴a2﹣ab+b2

＝（a﹣b）2+ab

＝（2）2+1

＝8+1

＝9．

34.已知a＝3，b＝3，分别求下列代数式的值：

（1）a2﹣b2

（2）a2﹣2ab+b2．

【答案】(1)12；(2)8.

【解析】（1）先由a、b计算出a+b、a﹣b，再代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算可得；

（2）将a﹣b代入a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2计算可得．

解：（1）∵a＝3，b＝3，

∴a+b＝336，a﹣b＝332，

则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

＝6

＝12；

（2）由（1）知a﹣b＝2，

∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2

＝（2）2

＝8．

35.已知2b+8．

（1）求a的值；

（2）求a2﹣b2的平方根．

【答案】(1)a＝17；(2)±15.

【解析】（1）直接利用二次根式有意义的条件得出a的值；

（2）利用a的值得出b的值，进而利用平方根的定义得出答案．

解：（1）由题意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，

则a﹣17＝0，

解得：a＝17；

（2）由（1）可知a＝17，

则b+8＝0，

解得：b＝﹣8，

故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，

则a2﹣b2的平方根为：±±15．