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广东省深圳市龙岗区中考数学一模试卷
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这是一份广东省深圳市龙岗区中考数学一模试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市龙岗区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a5 C．（a2）3=a5 D．a10÷a2=a5
3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
5．（3分）据中新社北京2015年1月8日电，2014年中国粮食总产量达到586 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．5.864×107吨 B．5.864×108吨 C．5.864×109吨 D．5.864×1010吨
6．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ ）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
8．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x=10 B．3x2+8x﹣3=0 C．x2﹣2x+3=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=12
9．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
12．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）不等式组的解集是 ．
14．（4分）已知a2﹣2a﹣1=0，则= ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= ．
16．（4分）如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1= ，= ．
二、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1．
18．（6分）解分式方程：+=1．
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围．
20．（6分）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有3名，D类男生有1名，将图1条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．（6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
22．（6分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
23．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
24．（6分）已知：如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
深圳市龙岗区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
即=2．
故选D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a5 C．（a2）3=a5 D．a10÷a2=a5
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3=a5，正确；
C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2=a10﹣2=a8，故本选项错误．
故选B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
4．（3分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
【解答】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，7元，8元，9元，10元，
∴中位数为7
∵6这个数据出现次数最多，
∴众数为6．
故选B．
5．（3分）据中新社北京2015年1月8日电，2014年中国粮食总产量达到586 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．5.864×107吨 B．5.864×108吨 C．5.864×109吨 D．5.864×1010吨
【解答】解：将586 400 000用科学记数法表示为：5.864×108．
故选：B．
6．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞
【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；
故选：C．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ ）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=59（cm）．
故选：B．
8．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x=10 B．3x2+8x﹣3=0 C．x2﹣2x+3=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=12
【解答】解：A、方程变形为：x2+4x﹣10=0，△=42﹣4×1×（﹣10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、△=82﹣4×3×（﹣3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2﹣5x﹣6=0，△=52﹣4×1×（﹣6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
9．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故选C．
10．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
11．（3分）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
【解答】解：∵k=2＞0，
∴函数为减函数，
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1；
故选B．
12．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
【解答】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=22.5°，
故选A．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）不等式组的解集是 ﹣≤x＜4 ．
【解答】解：，
解①得：x＜4，
解②得：x≥﹣．
则不等式组的解集是：﹣≤x＜4．
14．（4分）已知a2﹣2a﹣1=0，则= 2 ．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣1=0，
∴a2﹣1=2a，
∴原式==2．
故答案为：2．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC•CD+AB•DE=AC•BC，
即×6•CD+×10•CD=×6×8，
解得CD=3．
故答案为：3．
16．（4分）如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1= ，= ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=，
又因为CA1⊥AB，
∴AB•CA1=AC•BC，
即CA1===．
∵C4A5⊥AB，
∴△BA5C4∽△BCA，
∴，
∴==．
所以应填和．
二、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1．
【解答】解：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1
=3+×﹣1﹣3
=0．
18．（6分）解分式方程：+=1．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣3），
得：2﹣x﹣1=x﹣3，
整理解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解．
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y=图象上，
∴m=1，n=2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9；
（2）由图象知：1＜x＜2．
20．（6分）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有3名，D类男生有1名，将图1条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【解答】解：（1）（6+4）÷50%=20．所以李老师一共调查了20名学生．
（2）C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图
．
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）==．
21．（6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣=30，
解得x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×=5元
根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，
解得y≥6．
答：每支售价至少是6元．
22．（6分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；
（2）解：
法1：如图2，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，
∴AB===8，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=AB=4；
法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，
∴AD===6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2，
∴DE===2，
∴AE=AD﹣DE=4．
23．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，
∴OB=AB=2；
由题意得：点A′坐标为（﹣2，﹣2）
∴A′B′的中点P的坐标为（﹣，﹣2）；
当x=﹣时，y=﹣×（﹣）2+2×（﹣）≠﹣2；
∴点P不在二次函数的图象上．
24．（6分）已知：如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+4的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∵二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A，cos∠CAO=，
∴∠CAO=45°，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴0=a（﹣4）2+4，
∴a=﹣，
∴这二次函数的解析式为y=﹣x2+4；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，
∵⊙O与直线AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC=4，
∴点D是AC的中点，
∴DE=OC=2，DF=OA=2，
∴点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）直线OD的解析式为y=﹣x，如图2所示，
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=﹣x﹣4，
解方程组，
消去y，得x2﹣4x﹣32=0，即（x﹣8）（x+4）=0，
∴x1=8，x2=﹣4（舍去），
∴y=﹣12，
∴点P1的坐标为（8，﹣12）；
直线AC的解析式为y=x+4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，
解方程组，
消去y，得x2+4x﹣16=0，即x=﹣2+2，
∴x1=﹣2﹣2，x2=﹣2+2（舍去），
∴y=﹣2﹣2，
∴点P2的坐标为（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
广东省深圳市龙岗区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a5 C．（a2）3=a5 D．a10÷a2=a5
3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
5．（3分）据中新社北京2015年1月8日电，2014年中国粮食总产量达到586 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．5.864×107吨 B．5.864×108吨 C．5.864×109吨 D．5.864×1010吨
6．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ ）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
8．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x=10 B．3x2+8x﹣3=0 C．x2﹣2x+3=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=12
9．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
12．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）不等式组的解集是 ．
14．（4分）已知a2﹣2a﹣1=0，则= ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= ．
16．（4分）如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1= ，= ．
二、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1．
18．（6分）解分式方程：+=1．
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围．
20．（6分）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有3名，D类男生有1名，将图1条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．（6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
22．（6分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
23．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
24．（6分）已知：如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
深圳市龙岗区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）4的算术平方根是（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2，
即=2．
故选D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a5 C．（a2）3=a5 D．a10÷a2=a5
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2•a3=a5，正确；
C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、应为a10÷a2=a10﹣2=a8，故本选项错误．
故选B．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
4．（3分）某学习小组7位同学，为玉树地重灾区捐款，捐款金额分别为：5元，10元，6元，6元，7元，8元，9元，则这组数据的中位数与众数分别为（ ）
A．6，6 B．7，6 C．7，8 D．6，8
【解答】解：把已知数据按从小到大的顺序排序后为5元，6元，6元，7元，8元，9元，10元，
∴中位数为7
∵6这个数据出现次数最多，
∴众数为6．
故选B．
5．（3分）据中新社北京2015年1月8日电，2014年中国粮食总产量达到586 400 000吨，用科学记数法表示为（ ）
A．5.864×107吨 B．5.864×108吨 C．5.864×109吨 D．5.864×1010吨
【解答】解：将586 400 000用科学记数法表示为：5.864×108．
故选：B．
6．（3分）若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞
【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；
故选：C．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是（ ）
A．45cm B．59cm C．62cm D．90cm
【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，
∴△BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=59（cm）．
故选：B．
8．（3分）下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2+4x=10 B．3x2+8x﹣3=0 C．x2﹣2x+3=0 D．（x﹣2）（x﹣3）=12
【解答】解：A、方程变形为：x2+4x﹣10=0，△=42﹣4×1×（﹣10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；
B、△=82﹣4×3×（﹣3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；
D、方程变形为：x2﹣5x﹣6=0，△=52﹣4×1×（﹣6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．
故选：C．
9．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，
∴（n﹣2）×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故选C．
10．（3分）二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
11．（3分）已知点A（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y=图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1
【解答】解：∵k=2＞0，
∴函数为减函数，
又∵x1＞0＞x2，
∴A，B两点不在同一象限内，
∴y2＜0＜y1；
故选B．
12．（3分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（ ）
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
【解答】解：连接OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=22.5°，
故选A．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）不等式组的解集是 ﹣≤x＜4 ．
【解答】解：，
解①得：x＜4，
解②得：x≥﹣．
则不等式组的解集是：﹣≤x＜4．
14．（4分）已知a2﹣2a﹣1=0，则= 2 ．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣1=0，
∴a2﹣1=2a，
∴原式==2．
故答案为：2．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB===10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC=AC•CD+AB•DE=AC•BC，
即×6•CD+×10•CD=×6×8，
解得CD=3．
故答案为：3．
16．（4分）如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1= ，= ．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=，
又因为CA1⊥AB，
∴AB•CA1=AC•BC，
即CA1===．
∵C4A5⊥AB，
∴△BA5C4∽△BCA，
∴，
∴==．
所以应填和．
二、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1．
【解答】解：|﹣3|+•tan30°﹣（2015﹣π）0﹣（）﹣1
=3+×﹣1﹣3
=0．
18．（6分）解分式方程：+=1．
【解答】解：方程两边同乘（x﹣3），
得：2﹣x﹣1=x﹣3，
整理解得：x=2，
经检验：x=2是原方程的解．
19．（6分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（m，6）、B（n，3）在函数y=图象上，
∴m=1，n=2，
∴A点坐标是（1，6），B点坐标是（2，3），
把（1，6）、（2，3）代入一次函数y=kx+b中，得
，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣3x+9；
（2）由图象知：1＜x＜2．
20．（6分）李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有3名，D类男生有1名，将图1条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【解答】解：（1）（6+4）÷50%=20．所以李老师一共调查了20名学生．
（2）C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图
．
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）==．
21．（6分）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，﹣=30，
解得x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解．
答：第一次每支铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4×=5元
根据题意列不等式为：
×（y﹣4）+×（y﹣5）≥420，
解得y≥6．
答：每支售价至少是6元．
22．（6分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
则AC平分∠DAB；
（2）解：
法1：如图2，连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，∠1=30°，
∴AC=2CD=4，
在Rt△ABC中，AC=4，∠CAB=30°，
∴AB===8，
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=OA=AB=4；
法2：如图3，连接CE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△ACD中，CD=2，
∴AD===6，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
又∵∠DEC=∠B=60°，
在Rt△CDE中，CD=2，
∴DE===2，
∴AE=AD﹣DE=4．
23．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，
解得；
∴该抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，则OC=BC=AC=2；
∴∠BOC=∠OBC=∠BAC=∠ABC=45°；
∴∠OBA=90°，OB=AB；
∴△OAB是等腰直角三角形；
（3）∵△OAB是等腰直角三角形，OA=4，
∴OB=AB=2；
由题意得：点A′坐标为（﹣2，﹣2）
∴A′B′的中点P的坐标为（﹣，﹣2）；
当x=﹣时，y=﹣×（﹣）2+2×（﹣）≠﹣2；
∴点P不在二次函数的图象上．
24．（6分）已知：如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且cos∠CAO=．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+4的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，4），
∵二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A，cos∠CAO=，
∴∠CAO=45°，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），
∴0=a（﹣4）2+4，
∴a=﹣，
∴这二次函数的解析式为y=﹣x2+4；
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，
∵⊙O与直线AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵OA=OC=4，
∴点D是AC的中点，
∴DE=OC=2，DF=OA=2，
∴点D的坐标为（﹣2，2）；
（3）直线OD的解析式为y=﹣x，如图2所示，
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=﹣x﹣4，
解方程组，
消去y，得x2﹣4x﹣32=0，即（x﹣8）（x+4）=0，
∴x1=8，x2=﹣4（舍去），
∴y=﹣12，
∴点P1的坐标为（8，﹣12）；
直线AC的解析式为y=x+4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，
解方程组，
消去y，得x2+4x﹣16=0，即x=﹣2+2，
∴x1=﹣2﹣2，x2=﹣2+2（舍去），
∴y=﹣2﹣2，
∴点P2的坐标为（﹣2﹣2，﹣2﹣2）．
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