教科版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案及答案

这是一份教科版 (2019)必修 第二册1 圆周运动学案及答案，共21页。学案主要包含了匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力，离心现象等内容，欢迎下载使用。

1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．描述匀速圆周运动的物理量
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小：F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
三、离心现象
1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．
3．受力特点(如图)
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F命题点一 圆周运动的动力学分析
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2.分析思路
3．运动模型
例1.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法正确的是( )
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
解析 摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动时，所需向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供，支持力FN＝ eq \f(mg,cs θ)，向心力Fn＝mg tan θ，所以FN和Fn与高度h无关，即h变化时，FN和Fn不变，由牛顿第三定律知，A、B错误；根据Fn＝m eq \f(v2,r)，可得v2＝gr tan θ，当h越高时，运动半径r越大，线速度v越大，D正确；根据T＝ eq \f(2πr,v)，v2＝gr tan θ，可得T∝ eq \r(r)，当h越高时，运动半径r越大，周期T越大，C错误。答案 D
1-1．关于如图所示的四种圆周运动模型，下列说法正确的是( )
A．如图a所示，汽车安全通过拱桥最高点时，车对桥面的压力小于车的重力
B．如图b所示，在光滑固定圆锥筒的水平面内做匀速圆周运动的小球，受重力、弹力和向心力
C．如图c所示，轻质细杆一端固定一小球，绕另一端O点在竖直面内做圆周运动，在最高点小球所受的弹力方向一定向上
D．如图d所示，火车以某速度经过外轨高于内轨的弯道时，车轮可能对内外轨均无侧向压力
解析 图a汽车安全通过拱桥最高点时，重力和支持力的合力提供向心力，方向向下，所以支持力小于重力，根据牛顿第三定律，车对桥面的压力小于车的重力，故A正确；图b在光滑固定圆锥筒内做匀速圆周运动的小球，受重力和弹力作用，向心力是由重力和弹力的合力提供的，故B错误；图c中轻质细杆一端固定的小球，在最高点时所受杆的力可能是向上的弹力，也可能是向下的拉力，也可能不受杆的力，故C错误；图d中火车以某速度经过外轨高于内轨的弯道时，当受到的重力和轨道的支持力的合力恰好等于向心力时，车轮对内外轨均无侧向压力，故D正确。答案 AD
1-2.如图所示，长为L的轻杆一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω.某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足( )
A.sinθ＝eq \f(ω2L,g) B.tanθ＝eq \f(ω2L,g)
C.sinθ＝eq \f(g,ω2L) D.tanθ＝eq \f(g,ω2L)
解析 对小球受力分析如图所示，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O，满足mgsinθ＝mω2L，可得sinθ＝eq \f(ω2L,g)，答案 A。
1-3．在“用圆锥摆验证向心力的表达式”实验中，如图甲所示，细绳的悬点刚好与一个竖直的刻度尺的零刻度线平齐。将画着几个同心圆的白纸置于水平桌面上，使钢球静止时刚好位于圆心。用手带动钢球，设法使它刚好对纸面无压力，且沿纸上某个半径为r的圆周运动，钢球的质量为m，重力加速度为g。
(1)用停表记录运动n圈的总时间为t，那么钢球做圆周运动时需要的向心力表达式为Fn＝____________。
(2)通过刻度尺测量钢球运动的轨道平面距悬点的高度为h，那么钢球做圆周运动时外力提供的向心力表达式为F＝____________。
(3)改变钢球做圆周运动的半径，多次实验，得到如图乙所示的关系图像，可以达到粗略验证向心力表达式的目的，该图线的斜率表达式为____________。
答案 (1)mr eq \f(4π2n2,t2) (2)mg eq \f(r,h) (3)k＝ eq \f(4π2,g)
解析 (1)根据向心力公式：Fn＝m eq \f(v2,r)，而v＝ eq \f(2πr,T)＝ eq \f(2πrn,t)，得：Fn＝m eq \f(4π2n2,t2)r。
(2)如图所示，由几何关系可得：F＝mg tan θ＝mg eq \f(r,h)。
(3)由上面分析得：F＝Fn
即mg eq \f(r,h)＝m eq \f(4π2n2,t2)r
整理得： eq \f(t2,n2)＝ eq \f(4π2,g)h，
故 eq \f(t2,n2)­h图线的斜率表达式为：k＝ eq \f(4π2,g)。
1-4.随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行，为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面.如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分的半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图所示(重力加速度g取10 m/s2).
(1)速度为多少时汽车轮胎没有受到侧向的摩擦力？
(2)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？
答案 (1)eq \r(grtanθ) (2)eq \r(\f(（sinθ＋μcsθ）gr,csθ－μsinθ))
解析 (1)当无摩擦力时，重力和支持力的合力充当向心力，即F＝mgtanθ＝meq \f(v2,r).解得v＝eq \r(grtanθ)
(2)对车受力分析如图所示，
FNcsθ＝mg＋Ffsinθ
水平方向
FNsinθ＝Ffcsθ＝meq \f(v2,r)，
又Ff＝μFN，可得v＝eq \r(\f(（sinθ＋μcsθ）gr,csθ－μsinθ))
命题点二 水平面内圆周运动及其临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝ eq \f(mv2,r) ，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)两物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例2.(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ eq \r(\f(kg,2l))是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ eq \r(\f(2kg,3l))时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(a))l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(a))l，可得ωa＝ eq \r(\f(kg,l))；对木块b：Ffb＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(b))·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(b))·2l，可得ωb＝ eq \r(\f(kg,2l))，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa＜Ffb，B错误；当ω＝ eq \r(\f(kg,2l))时b刚要开始滑动，C正确；当ω＝ eq \r(\f(2kg,3l))＜ωa时，a没有滑动，则Ffa＝mω2l＝ eq \f(2,3)kmg，D错误。答案 AC。
规律总结：
水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
1．在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势．这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)．
2．三种临界情况：
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
2-1.如右图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝8.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离不可能的是( )
A．6 cm B．15 cm
C．30 cm D．40 cm
解析 转台以一定的角速度ω旋转，木块M所需的向心力与回旋半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1,得r1＝ eq \f(mg－Ffm,Mω2) ＝ eq \f(1.0×10－8.0,2.0×5.02) m＝0.04 m＝4 cm
同理，M在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指向O点，且达到最大静摩擦力Ffm，即mg＋Ffm＝Mω2r2得r2＝ eq \f(mg＋Ffm,Mω2) ＝ eq \f(1.0×10＋8.0,2.0×5.02) m＝0.36 m＝36 cm
则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1≤r≤r2.答案D．
例3．如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的绳悬挂一质量为m的物体．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°.物体以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动．
(1)当v1＝ eq \r(gl/6) 时，求绳对物体的拉力．
(2)当v2＝ eq \r(3gl/2) 时，求绳对物体的拉力．
解析 如图甲所示，物体在锥面上运动，但支持力为0，物体只受重力mg和绳的拉力FT作用，合力沿水平面指向轴线．根据牛顿第二定律有：
mg tan 30°＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,r) ＝m eq \f(v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,l·sin 30°)
解得：v0＝ eq \r(\r(3)gl/6)
(1)因为v1根据牛顿第二定律有：
FTsin30°－FNcs30°＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,l·sin 30°)
FTcs30°＋FNsin30°－mg＝0
解得：FT＝1.03mg
(2)因为v2>v0，所以物体与锥面脱离，设绳与竖直方向的夹角为α，此时物体受力如图丙所示．根据牛顿第二定律有：FTsinα＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,l·sin α)
FTcsα－mg＝0
解得：FT＝2mg
答案：(1)1.03mg (2)2mg
3-1.用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变化的图像是下图中的( )

解析 锥面与竖直方向的夹角为θ，设细线长为L，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力FN和细线的拉力FT而平衡，即FT＝mg cs θ≠0，故A、B错误。ω增大时，FT增大，FN减小，设FN＝0时，角速度为ω0；当ω<ω0时，由牛顿第二定律得FTsin θ－FNcs θ＝mω2L sin θ，又FTcs θ＋FNsin θ＝mg，联立解得FT＝mω2L sin2θ＋mg csθ；当ω>ω0时，小球离开锥面，细线与竖直方向的夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得FTsin β＝mω2L sin β，所以FT＝mLω2，此时FT­ω2图像的反向延长线经过原点，图线的斜率变大，故C正确，D错误。答案 C
3-2.小金属球质量为m、用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方L/2处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度释放，当悬线碰到钉子后的瞬时(设线没有断)，则( )
A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小
C.小球的向心加速度不变D.悬线的张力突然减小
解析 当细线碰到钉子瞬间，线速度的大小不变.据v＝rω知，碰到钉子后，半径变小，则角速度增大，故A项正确，B项错误；根据a＝eq \f(v2,r)知，线速度大小不变，半径变小，则向心加速度增大，故C项错误；根据T－mg＝meq \f(v2,r)知，T＝mg＋meq \f(v2,r)，线速度大小不变，半径变小，则拉力变大，故D项错误.答案 A.
3-3.如图所示，质量为1 kg、大小不计的小球在P点用两根长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆在水平面内做匀速圆周运动。AB的距离与绳长均为1 m。(重力加速度g＝10 m/s2)求：
(1)当ω1＝4 rad/s时，细绳AP和BP上的拉力分别为多少？
(2)当ω2＝5 rad/s时，细绳AP和BP上的拉力分别为多少？
答案 (1)0 16 N (2)2.5 N 22.5 N
解析 设AP刚伸直时小球做圆周运动的角速度为ω0，此时BP与竖直方向的夹角为60°，AP上的拉力为0，球受力如图甲所示，
FT1sin 60°＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(0))L sin 60°
FT1cs 60°＝mg
联立解得ω0＝2 eq \r(5) rad/s。
(1)当ω1＝4 rad/s＜ω0时，AP上的拉力为0，设BP上的拉力为FT2，其与竖直方向的夹角为θ，受力分析如图乙，
FT2sin θ＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1))L sin θ
解得FT2＝16 N。
(2)当ω2＝5 rad/s＞ω0时，AP、BP上都有拉力，设分别为FT3、FT4，受力分析如图丙，
FT4cs 30°＋FT3cs 30°＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2))L sin 60°
FT4sin 30°＝FT3sin 30°＋mg
联立解得FT3＝2.5 N，FT4＝22.5 N。
命题点三 竖直面内的圆周运动及其临界问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
3．解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．
(2)确定临界点：抓住球—绳模型中球恰好能过最高点时v＝eq \r(gR)及球—杆模型中球恰好能过最高点时v＝0这两个临界条件．
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向．
1、轻绳模型
例4．(多选)如图甲所示，一长为l的轻绳，一端系在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
A．图像函数表达式为F＝m eq \f(v2,l)＋mg
B．重力加速度g＝ eq \f(b,l)
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
解析 小球在最高点，根据牛顿第二定律得F＋mg＝m eq \f(v2,l)，解得F＝m eq \f(v2,l)－mg，A错误；当F＝0时，有mg＝m eq \f(v2,l)，解得重力加速度g＝ eq \f(v2,l)＝ eq \f(b,l)，B正确；根据F＝m eq \f(v2,l)－mg可知，图线的斜率k＝ eq \f(m,l)，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，C错误；当F＝0时，b＝gl，可知b点的位置与小球的质量无关，D正确。答案 BD。
4-1.质量为m的小球，用一条绳子系在竖直平面内做圆周运动，小球到达最高点时的速度为v，到达最低点时的速度变为eq \r(4gR＋v2)，则两位置处绳子所受的张力之差是( )
A.6mg B.5mg
C.4mg D.2mg
解析 在最高点mg＋F1＝eq \f(mv2,R)，在最低点F2－mg＝eq \f(m（4gR＋v2）,R)，所以F2－F1＝6mg.答案 A
4-2.图甲是滚筒洗衣机滚筒的内部结构，内筒壁上有很多光滑的突起和小孔，洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，如图乙所示。a、b、c、d分别为一件小衣物(可理想化为质点)随滚筒转动过程中经过的四个位置，a为最高位置，c为最低位置，b、d与滚筒圆心等高。下列说法正确的是( )
A．衣物在四个位置加速度大小相等
B．衣物对滚筒壁的压力在a位置比在c位置的大
C．衣物转到a位置时的脱水效果最好
D．衣物在b位置受到的摩擦力方向和在d位置受到的摩擦力方向相反
解析 衣物做匀速圆周运动，角速度大小恒定，根据向心加速度公式an＝ω2r，可知衣物在四个位置加速度大小相等，A正确；衣物在a位置，根据牛顿第二定律，有FNa＋mg＝mω2r，同理，在c位置有FNc－mg＝mω2r，可知FNa4-3.在质量为M的电动机飞轮上，固定着一质量为m的重物，重物重心到转轴的距离为r，如图所示.为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过( )
A.eq \f(M＋m,mr)g B.eq \r(\f(M＋m,mr)g)
C.eq \r(\f(M－m,mr)g) D.eq \r(\f(Mg,mr))
解析 当重物转动到最高点时，对电动机向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值FT＝Mg.对重物来说，随飞轮一起做圆周运动所需的向心力是由重力和飞轮对重物的拉力F′T的合力提供的，F′T和FT是一对作用力和反作用力.由牛顿第二定律得F′T＋mg＝mω2r，代入数值得ω＝eq \r(\f(M＋m,mr)g)，故B项正确.答案 B
4-4.小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为eq \f(3,4)d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力.
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力为多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
答案 (1)eq \r(2gd) eq \f(\r(10gd),2) (2)eq \f(11,3)mg (3)eq \f(d,2) eq \f(2\r(3),3)d
解析 (1)设绳断后小球飞行的时间为t，落地时小球的竖直分速度为vy，根据平抛运动的规律，
水平方向：d＝v1t，
竖直方向：eq \f(1,4)d＝eq \f(1,2)gt2，vy＝gt，
解得v1＝eq \r(2gd)，vy＝eq \r(\f(gd,2))，
所以小球落地时的速度大小为
v2＝eq \r(v12＋vy2)＝eq \f(\r(10gd),2).
(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是小球受到绳的最大拉力.小球做圆周运动的半径为R＝eq \f(3,4)d，根据牛顿第二定律，有FT－mg＝meq \f(v12,R)，解得FT＝eq \f(11,3)mg.
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳能承受的最大拉力不变，则有FT－mg＝meq \f(v32,R)，解得v3＝eq \r(\f(8,3)gl).绳断后小球做平抛运动，竖直方向的位移为(d－l)，设水平方向的位移为x，飞行时间为t1，则有
d－l＝eq \f(1,2)gt12，x＝v3t1，解得x＝4eq \r(\f(l（d－l）,3))，
当l＝eq \f(d,2)时，x有极大值，此时xmax＝eq \f(2\r(3),3)d.
轻杆模型
例5.(多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管运动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )
A．v的最小值为 eq \r(gL)
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由 eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由 eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝m eq \f(v2,L)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝ eq \r(gL)时，圆管弹力为零，故v由 eq \r(gL)逐渐减小时，轨道对球向上的支持力增大，v由 eq \r(gL)逐渐增大时，轨道对球向下的压力也增大，C错误，D正确。答案 BD
5-1.2019年体操世界杯墨尔本站男子单杠单项的决赛，中国体操队选手张成龙获得铜牌。假设张成龙训练时做“单臂大回环”的高难度动作时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F­v2图像如图乙所示。g取10 m/s2，则下列说法中错误的是( )
A．张成龙的质量为65 kg
B．张成龙的重心到单杠的距离为0.9 m
C．当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的弹力方向竖直向上
D．当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的弹力方向竖直向下
解析 对张成龙在最高点进行受力分析，当速度为零时，有F－mg＝0，结合图像解得张成龙的质量m＝65 kg，A正确；当F＝0时，有mg＝ eq \f(mv2,R)，结合图像可解得R＝0.9 m，故张成龙的重心到单杠的距离为0.9 m，B正确；当张成龙在最高点的速度为4 m/s时，张成龙受单杠的拉力作用，方向竖直向下，C错误，D正确。本题选说法错误的，答案 C
5-2.(多选)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量分别为mA、mB的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定的初速度后，杆和球在竖直平面内转动。某时刻球B运动到最高点，此时杆对球B恰好无作用力，重力加速度为g，忽略空气阻力。则( )
A． eq \f(mA,mB)＝ eq \f(2,1)
B．此时球B的速度大小为 eq \r(2gL)
C．此时球A的速度大小为 eq \f(\r(2gL),2)
D．此时水平转轴对杆的作用力大小等于(mA＋mB)g
解析 由题目所给条件无法得到两小球的质量关系，A错误；球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则mBg＝mB eq \f(v eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(B)),2L)，解得vB＝ eq \r(2gL)，B正确；由于A、B两球的角速度相等，由v＝ωr得球A的速度大小为vA＝ eq \f(vB,2)＝ eq \f(\r(2gL),2)，C正确；球B运动到最高点时，对杆无弹力，球A由重力和拉力的合力提供向心力，有F－mAg＝ eq \f(mAv eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(A)),L)，解得F＝ eq \f(3,2)mAg，可得水平转轴对杆的作用力大小为 eq \f(3,2)mAg，D错误。答案 BC
5-3.质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度多大时，球对杆的作用力为0?
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.
【答案】 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下
解：(1)当小球在最高点对杆的作用力为0时，重力提供向心力，则mg＝meq \f(v02,R)，解得v0＝3 m/s.
(2)当v1>v0时，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝meq \f(v12,R)，
由牛顿第三定律得：F′1＝F1，解得F′1＝6 N，方向竖直向上.
当v2由牛顿第三定律得：F′2＝F2，解得：F′2＝1.5 N，方向竖直向下.
5-4．(2021·云南省昆明市高一期末)如图所示的机械装置由摆锤和底座两部分组成，摆锤通过轻质直杆与底座上的转轴O连接，摆锤重心到转轴O的距离为L，机械装置放置在上表面水平的压力传感器上，底座内部的电机可以驱动摆锤在竖直平面内做圆周运动。电机转动稳定后，摆锤以角速度ω逆时针做匀速圆周运动，底座始终保持静止，压力传感器显示底座对传感器的压力随时间周期性变化，最小值为F1，最大值为F2，重力加速度用g表示。请解答下面的问题：
(1)求该机械装置的总质量(包括摆锤)；
(2)当电机转动稳定后，从摆锤重心通过最高点开始计时，以水平向右为正方向，求底座所受摩擦力随时间变化的表达式并作出其图像。
答案 (1) eq \f(F1＋F2,2g) (2)f＝ eq \f(F2－F1,2)sin ωt 图像见解析
解析 解法一：(1)设摆锤和底座的质量分别为m、M，
当摆锤通过最高点时，压力传感器示数最小，此时对底座和摆锤整体，可得：(M＋m)g－F1＝mLω2
当摆锤通过最低点时，压力传感器示数最大，此时对底座和摆锤整体，可得：F2－(M＋m)g＝mLω2
联立可得M＋m＝ eq \f(F1＋F2,2g)，m＝ eq \f(F2－F1,2Lω2)。
(2)从摆锤通过最高点开始计时，设经t时间杆转过的角度为θ，对底座和摆锤整体，水平方向根据牛顿第二定律可得：f＝mLω2sin θ，
又θ＝ωt
联立以上各式解得摩擦力f＝ eq \f(F2－F1,2)sin ωt
图像如下图所示：
图中Fm＝ eq \f(F2－F1,2)。
解法二：(1)设摆锤和底座的质量分别为m、M，当摆锤通过最高点时，压力传感器示数最小，假设直杆对摆锤的作用力向下，此时
对摆锤有mg＋FN1＝mLω2
对底座有F1＋FN1＝Mg
摆锤通过最低点时，压力传感器示数最大，此时
对摆锤有FN2－mg＝mLω2
对底座有F2＝Mg＋FN2
联立求得 m＋M＝ eq \f(F2＋F1,2g)。
(2)设从最高点开始转动t时间后，直杆作用力在水平方向的分量为Fx，则
对摆锤有Fx＝max＝mLω2sin ωt
对底座分析知，摩擦力为f＝Fx
而由(1)问可求得m＝ eq \f(F1－F2,2Lω2)
联立求得底座所受摩擦力f＝ eq \f(F1－F2,2)sin ωt
图像如下图所示：
图中Fm＝ eq \f(F2－F1,2)。
3、拱桥模型
例6.如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20 m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
解：(1)汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105 N
由牛顿第二定律得：FN－mg＝m eq \f(v2,R)
代入数据解得汽车允许的最大速度v＝10 m/s。
(2)汽车在凸形桥面顶部时，对桥面压力最小。
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝m eq \f(v2,R)
代入数据解得FN′＝1.0×105 N
由牛顿第三定律知汽车对路面和桥面的最小压力等于1.0×105 N。
[答案] (1)10 m/s (2)1.0×105 N
6-1.如图所示，汽车车厢顶部悬挂一轻质弹簧，弹簧下端挂一个质量为m的小球.当汽车在水平面上匀速行驶时弹簧长度为l1，当汽车以同一速度通过一个桥面为弧形的凸形桥的最高点时弹簧长度为l2，下列判断正确的是( )
A.l1＝l2 B.l1>l2
C.l1解析 在水平面上匀速时，弹簧拉力F1＝mg，过凸形桥最高点时，对小球mg－F2＝meq \f(v2,r)
所以F26-2．(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
解析 赛车用时最短，就要求赛车通过大、小圆弧时，速度都应达到允许的最大速度，通过小圆弧时，由 eq \f(mv eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(1)),r)＝2.25mg得v1＝30 m/s；通过大圆弧时，由 eq \f(mv eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(2)),R)＝2.25mg得v2＝45 m/s，B正确；赛车从小圆弧到大圆弧通过直道时需加速，故A正确；由几何关系可知连接大、小圆弧的直道长x＝50 eq \r(3) m，由匀加速直线运动的速度位移公式：v eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2))－v eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1))＝2ax得a≈6.50 m/s2，C错误；由几何关系可得小圆弧所对圆心角为120°，所以通过小圆弧弯道的时间t＝ eq \f(T,3)＝ eq \f(1,3)× eq \f(2πr,v1)＝2.79 s，故D错误。答案 AB
6-3.如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上.若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( )
A.t1C.t1>t2 D.无法比较t1、t2的大小
解析 在AB段，根据牛顿第二定律mg－FN＝meq \f(v2,R)，速度越大，滑块受支持力越小，摩擦力就越小，在BC段，根据牛顿第二定律FN－mg＝meq \f(v2,R)，速度越大，滑块受支持力越大，摩擦力就越大，由题意知从A运动到C相比从C到A，在AB段速度较大，在BC段速度较小，所以从A到C运动过程受摩擦力较小，用时短，故A项正确.答案 A
6-4．如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，这被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点，质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝ eq \r(gR)通过A点时，对轨道的压力为其重力的7倍，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
(1)求质点的质量；
(2)若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，求质点通过B点的最大速率。
答案 (1) eq \f(F,7g) (2) eq \r(13gR)
解析 (1)质点在最高点A点时，根据牛顿第二定律有F＋mg－FA＝ eq \f(mv2,R)
根据牛顿第三定律有FA＝FA′＝7mg
联立解得m＝ eq \f(F,7g)。
(2)质点在最低点B点时，根据牛顿第二定律有2F－mg－FB＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(B)),R)
当FB＝0时，质点的速率最大，有2F－mg＝ eq \f(mv eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(Bm)),R)
联立解得vBm＝ eq \r(13gR)。
命题点四 倾斜面内的圆周运动及其临界问题
例7.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止.物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是( )
A.eq \r(5) rad/s B.eq \r(3) rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
解析 物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律，有μmgcsθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s，故C项正确.答案 C
7-1.如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为θ。开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现使圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘有75%被甩掉，设灰尘与圆盘面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则ω的值为________。
答案 eq \r(\f(2g（μcs θ－sin θ）,R))
解析 由于灰尘随圆盘做圆周运动，其向心力由灰尘受到的指向圆心的合力提供，灰尘在最下端时指向圆心的摩擦力最大。当75%的灰尘被甩掉时，剩余灰尘所在圆的半径r＝ eq \f(R,2)，如图所示。根据牛顿第二定律，有μmg cs θ－mg sin θ＝mω2r，解得ω＝ eq \r(\f(2g（μcs θ－sin θ）,R))。
命题点五 圆周运动中的连接体问题
圆周运动中的连接体问题，是指两个或两个以上的物体通过一定的约束绕同一转轴做圆周运动的问题。这类问题的一般解题思路是：分别研究系统或隔离物体，准确受力分析，确定轨道平面和半径，注意约束条件。
例8.如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：
(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；
(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
解：(1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有μ·2mg＝2mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(1))·2l
解得ω1＝ eq \r(\f(μg,2l))
故角速度为 eq \r(\f(μg,2l))时，绳上刚好出现拉力。
(2)当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，
对A有μmg－T＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2))l
对B有μ·2mg＋T＝2mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2))·2l
联立解得ω2＝ eq \r(\f(3μg,5l))
故角速度为 eq \r(\f(3μg,5l))时，A、B开始与转盘发生相对滑动。
[答案] (1) eq \r(\f(μg,2l)) (2) eq \r(\f(3μg,5l))
8-1.(2021·重庆高一期末)如图所示，水平平台可绕竖直轴OO′转动，用不可伸长的水平轻绳连接的物块甲、乙静置于平台上，并位于OO′两侧对称位置。甲、乙质量分别为m、2m，甲、乙与平台间的动摩擦因数分别为μ、2μ，最大静摩擦力均等于滑动摩擦力。已知重力加速度为g，不计空气阻力，两物块均可视为质点。甲、乙随平台在水平面内做匀速圆周运动过程中，均始终相对平台静止，则轻绳弹力的最大值为( )
A．6μmg B．2μmg C．μmg D． eq \f(μmg,2)
解析 设物块甲、乙到竖直轴的距离为r，由μmg＝mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(甲))r、2μ·2mg＝2mω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(乙))r知，甲、乙的临界角速度ω甲<ω乙，则甲、乙恰好相对平台静止时，物块乙所受最大静摩擦力沿绳向里指向竖直轴，物块甲所受最大静摩擦力沿绳向外背离竖直轴，即对物块乙有Tm＋4μmg＝2mrω2，对物块甲有Tm－μmg＝mrω2，联立得Tm＝6μmg，答案 A。
8-2.如图所示，倾斜圆盘圆心处固定有与盘面垂直的细轴，盘面上沿同一直径放有质量均为m的A、B两物块(可视为质点)，两物块分别用两根平行圆盘的不可伸长的轻绳与轴相连，A、B两物块与轴的距离分别为2d和d，两物块与盘面的动摩擦因数μ相同，盘面与水平面夹角为θ。当圆盘以角速度ω匀速转动时，物块A、B始终与圆盘保持相对静止，且当物块A转到最高点时，A所受绳子拉力刚好减小到零而B所受摩擦力刚好增大到最大静摩擦力。已知重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法不正确的是( )
A．μ＝3tan θ
B．ω＝ eq \r(\f(2g sin θ,d))
C．运动过程中绳子对A拉力的最大值为mg sin θ
D．运动过程中B所受摩擦力最小值为mg sin θ
解析 对A、B受力分析，A在最高点由牛顿第二定律有μmg cs θ＋mg sin θ＝mω2·2d，B在最低点由牛顿第二定律有μmg cs θ－mg sin θ＝mω2d，联立解得μ＝3tan θ，ω＝ eq \r(\f(2g sin θ,d))，故A、B正确；运动过程中，当A运动到最低点时，所需的拉力最大，设为TA，由牛顿第二定律有TA＋μmg cs θ－mg sin θ＝mω2·2d，解得TA＝2mg sin θ，故C错误；运动过程中，当B运动到最高点时，所需的摩擦力最小，设为fB，由牛顿第二定律有fB＋mg sin θ＝mω2d，解得fB＝mg sin θ，故D正确。答案 C
8-3．如图所示，在光滑水平面上有质量为m1、m2的两个小球1、2用轻弹簧连接在一起，再用长为L1的细线一端拴住球1，一端拴在O点上，两球都以相同的角速度ω绕O点做匀速圆周运动，保证两球与O点三者始终在同一直线上，若两球之间的距离为L2，试求细线的拉力以及将细线烧断的瞬间两球的加速度。
解析 以球2为研究对象，球2绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由弹簧的弹力提供，设弹力为F，则有 F＝m2(L1＋L2)ω2；
以球1为研究对象，球1绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由细线的拉力和弹簧弹力的合力提供，设细线拉力为FT，则有FT－F＝m1L1ω2。
由以上两式可解得：FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2。
当细线烧断瞬间，细线的拉力FT＝0，而弹簧的弹力仍为F＝m2(L1＋L2)ω2，
故球2的加速度a2＝ eq \f(F,m2)＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点；
球1的加速度a1＝ eq \f(－F,m1)＝－ eq \f(m2,m1)·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反。
8-4.一种演示离心现象的装置如图所示，内壁光滑的圆筒与水平面夹角为，绕竖直轴OO′转动，其下端封闭且恰好位于转轴上。两个质量均为m的小球A、B通过原长为L、劲度系数为的轻弹簧相连，处于圆筒内。重力加速度为g。
(1)当弹簧为原长时，两球在筒内与圆筒保持相对静止，求圆筒转动的角速度ω1；
(2)当圆筒的角速度时，两球在筒内与圆筒保持相对静止，求A、B两球的距离d；
(3)当圆筒的角速度为ω时，两球在筒内较高位置处与圆筒保持相对静止，求A、B两球的距离d′。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】(1)此时弹簧无弹力，对B球有：
得：
(2)设A球刚要离开圆筒底部时，圆筒的角速度为，弹簧对球的拉力为F，圆筒对B球的支持力为N，A球平衡有：
对B球竖直方向：
B球水平方向：
联立以上各式解得：
因，可知此时A球刚要离开圆筒底部，两球的距离：
(3)圆筒转动的角速度为，两球在较高位置处相对圆筒静止时，设A球的转动半径为，B球的转动半径为，设此时弹簧的伸长量为，弹簧对球的拉力为F，
对A球，沿圆筒方向：
对B球，沿圆筒方向：
得：
又，，得：
此时两球的距离为：
定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
(1)v＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(2πr,T) (2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝eq \f(Δθ,Δt)＝eq \f(2π,T) (2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π,ω)，单位：s (2)f＝eq \f(1,T)，单位：Hz
向心
加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝eq \f(v2,r)＝rω2 (2)单位：m/s2
运动模型
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
向心力的来源图示
运动模型
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
向心力的来源图示
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
汽车过凸型桥
图示
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
除重力外，物体受到的弹力方向：向上或等于零
受力
示意图
力学方程
mg＋F弹＝meq \f(v2,R)
mg±F弹＝meq \f(v2,R)
Mg-FN＝meq \f(v2,R)
临界
特征
F弹＝0
mg＝meq \f(v\\al(min2,),R)即vmin＝eq \r(gR)
v＝0
即F向＝0，F弹＝mg
F弹＝0
mg＝meq \f(v\\al(max2,),R)即vmax＝eq \r(gR)
过最高点的条件
在最高点的速度v≥eq \r(gR)
v≥0
v≥0
模型归纳
轻绳模型（有约束）
轻杆模型（有约束）
拱桥模型