高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 宇宙航行学案设计

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1、两种变轨情况
人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件：如图所示，设卫星的速度为v，卫星到地心的距离为r，卫星以速度v绕地球做圆周运动所需要的向心力F向由万有引力F提供。
若________时，卫星将做圆周运动。
若________时，卫星将做离心运动，沿椭圆轨道运动。
若________时，卫星在万有引力作用下，向地心做椭圆运动。
（1）人造卫星的变轨
卫星由低轨道变到高轨道必须加速，由高轨道变到低轨道必须减速。
如图所示，卫星在圆轨道Ⅰ上稳定运行时，G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(A)))＝m eq \f(v eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(A)),rA)(rA为A点到地心的距离)。若要使卫星变轨到椭圆轨道Ⅱ上运行，则使卫星运动到圆轨道Ⅰ上的A点时______，万有引力不足以提供向心力，卫星做____________，变轨到椭圆轨道Ⅱ上运动。若要使卫星在圆轨道Ⅲ上运行，则当卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动到B点时，必须在B点再次______。反之，则需要减速。
（2）飞船与空间站对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间实验室对接时，如图甲所示，让低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道追上高轨道空间实验室与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间实验室对接时，如图乙所示，通常使后面的飞船先________降低高度，再________提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间实验室时恰好具有相同的速度。
例1、(多选)如图所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入一个椭圆形转移轨道，该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步卫星圆轨道上的Q点，在椭圆形转移轨道上运动到远地点Q时再次变轨，进入同步卫星轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步卫星轨道上的速率为v4，在近地圆轨道、椭圆形转移轨道、同步卫星圆轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
解析 设近地圆轨道、椭圆形转移轨道、同步卫星圆轨道的轨道半径(或半长轴)分别为r1、r2、r3，卫星在椭圆形转移轨道的近地点P点时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(1)))＜m eq \f(v eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(2)),r1)，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(1)))＝m eq \f(v eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(1)),r1)，所以v2＞v1，在P点变轨需要加速；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3＜v4，在Q点变轨也要加速，故A、B错误；又由人造卫星做圆周运动的线速度v＝ eq \r(\f(GM,r))可知v1＞v4，由以上所述可知D正确；由于轨道半径(或半长轴)r1＜r2＜r3，由开普勒第三定律 eq \f(r3,T2)＝k(k为常量)得T1＜T2＜T3，故C正确。答案 CD
规律总结：三个关系
1、速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。
在A点加速，则________，在B点加速，则________，又因v1>v3，故有____________
2、加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度________，同理，经过B点加速度________．
3、周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知____________
1-1、(多选)在完成各项既定任务后，神州十三号载人宇宙飞船要安全返回地面。如图所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点。关于飞船的运动，下列说法中正确的是( )
A．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的速度小于经过Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的速度小于在轨道Ⅰ上经过M点的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．飞船在轨道Ⅱ上经过P点的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M点的加速度
1-2、(多选)“神舟十三号”飞船与“天宫二号”实施自动交会对接。交会对接前“神舟十三号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。则( )
A．“神舟十三号”须在Q点加速，才能在P点与“天宫二号”相遇
B．“神舟十三号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．“神舟十三号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度
D．“神舟十三号”变轨后运行周期总大于变轨前的运行周期
1-3、如图是“嫦娥五号”探测器奔月示意图，探测器发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
A.发射“嫦娥五号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，运动周期与探测器质量有关
C．探测器受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，探测器受地球的引力大于受月球的引力
1-4、(多选)我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2020年7月23日成功发射，并于2021年5月15日实施降轨，软着陆在火星表面。如图所示为“天问一号”探测器发射过程的简化示意图，当地球位于A点、火星位于C点时发射探测器，探测器仅在太阳引力作用下经椭圆轨道(霍曼转移轨道)在远日点B被火星捕获。地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，已知地球和火星的公转数据如下表所示，下列说法正确的是(1.26 eq \s\up15(\f(2,3))≈1.42)( )
A．由地球发射火星探测器的发射速度应大于11.2 km/s小于16.7 km/s
B．探测器沿霍曼转移轨道到达B点时的速度大于火星的运行速度
C．探测器从A点沿霍曼转移轨道到达B点所用的时间约为263天
D．从地球上发射探测器时，地球、火星分别与太阳的连线之间的夹角约为45°
命题点二 地球同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．
2．“六个一定”的特点：
(1)轨道平面：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期和角速度：与地球自转的周期和角速度相同
(3)高度：由Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝___________.
(4)速率：v＝eq \r(\f(GM,R＋h))＝___________.
(5)向心加速度：由Geq \f(Mm,R＋h2)＝ma得a＝0.23 m/s2
(6)绕行方向：运行方向与地球自转方向相同．
3.近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较
如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
例2、如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则( )
A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TCC．vA＝vCaB
解析 同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr 及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA。同步卫星和近地卫星，根据G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(v2,r)＝mω2r＝m eq \f(4π2,T2)r＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA规律总结：解决同步卫星问题的“四点”注意
基本关系：要抓住：Geq \f(Mm,r2)＝ma＝_________________________________
2、重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
3、物理规律：(1)不快不慢 (2)不高不低 (3)不偏不倚
4、重要条件：
(1)地球的公转周期和自转周期，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面的重力加速度g
(2)月球的公转周期约27.3天．
(3)人造地球卫星的运行的最小半径r＝___________，运行周期最小为T＝84.8 min，运行的最大线速度v＝___________。
2-1、如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星，以下关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．向心加速度大小关系为ab>ac>aa
B．角速度大小关系为ωa＝ωc>ωb
C．线速度大小关系为va＝vb>vc
D．周期关系为Ta>Tc>Tb
2-2、由于月球与地球间潮汐力的影响，地球自转在逐渐变慢，3.7亿年前一天大约22小时，而现在一天约23时56分，对于地球自转变慢带来的影响，下列说法正确的是( )
A．近地卫星的周期变大
B．近地卫星的线速度变大
C．同步卫星的高度变低
D．赤道处的重力加速度变大
2-3、量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。
命题点三 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
______________________
______________________
②两颗星的周期及角速度都_______
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：___________
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成_____比
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
例3、如右图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d.下列说法正确的是( )
A．A星的轨道半径为 eq \f(m1,m1＋m2) d
B．A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C．若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
D．若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝ eq \f(m eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,（m1＋m2）2)
解析 双星的角速度相等，靠它们之间的万有引力提供向心力，G eq \f(m1m2,d2) ＝m1ω2r1，G eq \f(m1m2,d2) ＝m2ω2r2，且r1＋r2＝d，联立解得r1＝ eq \f(m2d,m1＋m2) ，r2＝ eq \f(m1d,m1＋m2) ，故A错误；根据v＝ωr，可得 eq \f(v1,v2) ＝ eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(m2,m1) ，故B错误；若在O点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故C错误；若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则G eq \f(m1m2,d2) ＝G eq \f(m′m1,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ，得m′＝ eq \f(m eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,（m1＋m2）2) ，故D正确．
规律总结：解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径．
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供．
(3)星体的角速度相等．
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离．
3-1、天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计。根据对一“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(k<1)，究其原因，科学家推测，在以两星球球心连线为直径的球体空间中可能均匀分布着暗物质。若此暗物质确实存在，其质量应为( )
A． eq \f(m,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)－1)) B． eq \f(m,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)－1)) C． eq \f(m,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k2)－4)) D． eq \f(m,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4k2)－1))
3-2、（多选）太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR eq \r(\f(R,5GM))
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝ eq \r(3,\f(12,5))R
D．三角形三星系统中各星体转动的线速度大小为eq \f(1,2) eq \r(\f(5GM,R))
3-3、宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星体组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星体稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上，如图所示．引力常量为G.关于四星系统，下列说法错误的是( )
A.四颗星体围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B.四颗星体的轨道半径均为 eq \f(a,2)
C.四颗星体表面的重力加速度均为 eq \f(Gm,R2)
D.四颗星体的运动周期均为2πa eq \r(\f(2a,（4＋\r(2)）Gm))
3-4、（多选）某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
命题点四 天体的追及相遇问题
例4、火星冲日是指火星位于日、地连线上，并且和地球位于太阳的同一侧，火星冲日一般每两年零两个月左右发生一次，此时火星与地球的距离比平时近，因此探测火星的宇宙飞船每两年多才发射一次，以节省燃料和节约时间。如图所示是火星冲日的年份示意图(2012～2025年)。
结合上述情景，回答下列问题：
(1)已知地球的公转周期是一年，由此计算火星的公转周期还需要知道哪些数据？
(2)如果将地球、火星的轨道近似看成圆轨道，它们的公转周期分别为T1、T2，请写出相邻两次火星冲日的时间t的表达式？
解析：(1)由开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k知，已知地球的公转周期是一年，要计算火星的公转周期还需要知道地球、火星各自轨道的半长轴。
(2)由开普勒第三定律知地球、火星的公转周期T1＜T2。则它们的角速度ω1>ω2，则相邻两次火星冲日的时间t应满足：ω1t－ω2t＝2π，又有ω1＝eq \f(2π,T1)，ω2＝eq \f(2π,T2)
解得：t＝eq \f(T1T2,T2－T1)。
规律总结：
天体运动中的“追及、相遇”问题可以分为同向追赶和反向追赶两种情况，解决这类问题要抓住“两个运动角度”之间的关系。
4-1、如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h。已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。
(1)卫星B的运行周期是多少？
(2)如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
4-2、(多选)如图所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星O做圆周运动，旋转方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相距最近，下列判断正确的是( )
A．经过时间t＝T1＋T2，两行星第二次相距最近
B．经过时间t＝eq \f(T1T2,T2－T1)，两行星第二次相距最近
C．经过时间t＝eq \f(T1＋T2,2)，两行星第一次相距最远
D．经过时间t＝eq \f(T1T2,2T2－T1)，两行星第一次相距最远
4-3、A、B两颗人造地球卫星在同一个平面内同向做匀速圆周运动，B星的轨道半径大于A星的轨道半径．A星绕地球做圆周运动的周期为2小时，经观测每过t小时A、B两颗卫星就会相遇(相距最近)一次．则A、B两颗卫星的轨道半径之比为( )
A. eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,t)))\s\up12(3)) B． eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,t)))\s\up12(3))
C. eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,t)))\s\up12(2)) D． eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,t)))\s\up12(2))
4-4、（多选）天文爱好者熟知的“土星冲日”现象是指土星和太阳正好分别处在地球的两侧，三者几乎成一条直线。该天象每378天发生一次，土星和地球绕太阳公转的方向相同，公转轨道都近似为圆，地球绕太阳公转周期和半径以及引力常量均已知，根据以上信息可求出( )
A．土星质量
B．地球质量
C．土星公转周期
D．土星和地球绕太阳公转速度之比
近地卫星
同步卫星
赤道上随地球自转的物体
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
角速度
线速度
向心
加速度
题型
概述
天体运动中的追及相遇问题，指某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线(两卫星相距最近)到下次出现这一情形称为相遇
方法
技巧
（1）卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动的角速度满足：(ωA－ωB)t＝___________
（2）两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动的角速度满足：ωA－ωB)t′＝___________