4.1 同角三角函数的基本关系 精品课时练习 高中数学新北师大版必修第二册（2022学年）

4.1同角三角函数的基本关系

1.已知tan α=2，则=(　　)

A.-2 B.3 C.6 D.7

【解析】由tan α=2，

得=7.

【答案】D

2.在△ABC中，若cos(A+B)>0，sin C=，则tan C等于(　　)

A. B.- C.± D.

【解析】由cos(A+B)>0知，-cos C>0，即cos C<0，

又sin C=，所以cos C=-=-，

故tan C==-.

【答案】B

3.若=-5，则tan α的值为(　　)

A.-2 B.2 C. D.-

【解析】由已知可得=-5，解得tan α=-.

【答案】D

4.记cos(-80°)=k，那么tan 100°=(　　)

A. B.-

C. D.-

【解析】因为sin 80°=，所以tan 100°=-tan 80°=-=-.

【答案】B

5.(多选)下列结论中成立的是(　　)

A.sin α=且cos α=

B.tan α=2 020且

C.tan α=1且cos α=±

D.sin α=1且tan α·cos α=1

【解析】因为sin2α+cos2α=≠1，所以A错误;因为，即tan α=2 020，所以B正确;因为tan α=1，所以α=kπ+(k∈Z)，所以cos α=±，所以C正确;因为sin α=1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，所以D错误.

【答案】BC

6.(多选)已知sin α-cos α=(0<α<π)，则下列选项正确的是(　　)

A.sin αcos α= B.sin α+cos α=

C.cos4α+sin4α= D.cos4α+sin4α=

【解析】sin α-cos α=两边平方，得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=，即2sin αcos α=，则sin αcos α=，选项A正确.因为0<α<π，所以sin α>0，

因为sin αcos α=>0，所以cos α>0.

因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+，

所以sin α+cos α=，选项B正确.

cos4α+sin4α=-2sin2αcos2α=1-2，选项D正确，选项C错误.故选ABD.

【答案】ABD

7.已知tan α=-2，且α为第二象限角，则sin α=　　　，cos α=　　　　. 

【解析】因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

由解得

【答案】　-

8.若角α的终边落在直线x+y=0上，则=　　　　　. 

【解析】因为角α的终边落在直线y=-x上，

所以角α的终边可能在第二或第四象限，

则

【答案】0

9.已知tan α=2，则的值为　　　　　. 

【解析】原式=.

【答案】

10.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ.

证明因为左边=sin θ+cos θ

=sin θ++cos θ+

==右边，所以原等式成立.

1.若△ABC的内角A满足sin Acos A=，则sin A+cos A的值为(　　)

A. B.- C. D.-

【解析】因为sin Acos A=>0，

所以内角A为锐角，

所以sin A+cos A=.

【答案】A

2.化简的结果为(　　)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

【解析】，因为sin 4<0，cos 3<0，所以原式==-2-1=-3.

【答案】A

3.已知tan α=-，则sin α(sin α-cos α)=(　　)

A. B. C. D.

【解析】sin α(sin α-cos α)=sin2α-sin αcos α

=，

将tan α=-代入，得原式=.

【答案】A

4.已知sin α+cos α=，α∈(0，π)，则=(　　)

A.- B. C. D.-

【解析】因为sin α+cos α=，

所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=，

所以sin αcos α=-，又因为α∈(0，π)，

所以sin α>0，cos α<0，所以cos α-sin α<0，

因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α

=1-2×-=，所以cos α-sin α=-，

所以=-.

【答案】A

5.化简的结果是(　　)

A.sin 4+cos 4 B.sin 4-cos 4

C.cos 4-sin 4 D.-(sin 4+cos 4)

【解析】先判断4是第几象限角，再比较sin 4与cos 4的大小.

因为<4<，所以0>cos 4>sin 4，

所以=|sin 4-cos 4|=cos 4-sin 4，故选C.

【答案】C

6.已知cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5，则tan α=　. 

【解析】由题意知

==5，

整理得tan2α-4tan α+4=0，所以tan α=2.

【答案】2

7.证明:.

证明左边=

=

==右边，故原等式成立.