专题11 相似与二次函数-2021-2022学年九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

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典例题型：
1．（2021•福田区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．
【点睛】（1）根据函数解析式，可求出直线与坐标轴的交点，根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）两直角三角形相似，又有一个公共角，故只需另一个角为直角即可得到相似，故分两种情况讨论，可得答案．
【详解】解：（1）直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（3，0），B（0，3）．
抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点
0=9a+3b+c①3=c②0=a+b+c③
解得a=1b=-4c=3，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①如图1，作PD垂直x轴于点D：
∵△ABO与△ADP相似
∴PDBO=ADAO
PD3=3-(-1)3
PD＝4，
∴P点坐标是（﹣1，4）．
②如图2，作P′D垂直AB于点P′交y轴于点F：
∵△ABO与△ADP相似
∴∠P′DA＝∠BAO＝45°，
∴ADP'D=21，
∴P′D＝22，
∵DF=2，
∴DODC=DFDP'=12
∴P′C∥OF
∴P′C＝CD＝2
∴P点坐标为（1，2）
2．（2021•三台县一模）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求△ABC的内切圆半径；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【点睛】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面积即可求出内切圆的半径；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，可求得N点的坐标．
【详解】解：
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，
即y＝﹣x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得y=-x2+2xy=x-2，
解得x=2y=0或x=-1y=-3，
∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
∵A（1，1），
∴AB=(2-1)2+(0-1)2=2，BC=(2+1)2+(0+3)2=32，AC=(1+1)2+(1+3)2=25，
∴AB2+BC2＝AC2
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆的半径为r，
∴r=AB+BC-AC2=2+32-252=22-5；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，
由（2）知，AB=2，BC＝32，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠ABC＝∠MNO＝90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
①当MNAB=ONBC时，
∴|-x2+2x|2=|x|32，即|x||﹣x+2|=13|x|，
∵当x＝0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|=13，
∴﹣x+2＝±13，解得x=53或x=73，
此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；
②当MNBC=ONAB，时，
∴|-x2+2x|32=|x|2，
即|x||﹣x+2|＝3|x|，
∴|﹣x+2|＝3，
∴﹣x+2＝±3，
解得x＝5或x＝﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．