专题10 相似与圆-2021-2022学年九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

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典例题型一 利用相似三角形求线段的长或取值范围
1．（2021•潜山市期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若AD＝7，BD＝2，则DE的长为（ ）
A．47B．27C．449D．1649
2．（2021•吴兴区校级一模）已知：如图，〇O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是AC上的一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝0.8，则DE的长是（ ）
A．1.2B．0.9C．1D．0.6
3．（2021•惠山区期中）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．⊙O
的半径为r．
（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；
（2）若弦CP＝2.5时，求AP的长；
（3）当切点P运动到点B处时，⊙O的半径r有最大值，试求出这个最大值．
4．（2021•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝23，求CD的长．
典例题型二 利用相似三角形确定线段间的关系
5．（2021•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝DF•DA．