专题02 反比例函数与几何综合-2021-2022学年九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

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1．（2021•丹东二模）如图，点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，点B在X轴的负半轴上，AB＝AO＝13，线段OA的垂直平分线交线段AB于点C，△BOC的周长为23，则k的值为（ ）
A．60B．30C．﹣60D．﹣30
【点睛】由线段的中垂线，可得CA＝CO，再由，△BOC的周长为23，可求出OB的长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出点A的坐标，进而确定k的值．
【详解】解：∵点C在线段OA的垂直平分线上，
∴AC＝OC，
∵△BOC的周长为23，
∴OB+AB＝23，
又∵AB＝AO＝13，
∴OB＝23﹣13＝10，
过点A作AD⊥OB，垂足为D，
∴OD＝BD=12OB＝5，
在Rt△AOD中，AD=132-52=12，
∴A（﹣5，12），
∴k＝（﹣5）×12＝﹣60，
故选：C．
2．（2021•晋江市一模）如图，曲线C2是双曲线C1：y=5x（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，过点P作直线PQ⊥l于点Q，且直线l的解析式是y＝x，则△POQ的面积等于（ ）
A．5B．52C．72D．5
【点睛】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，则PQ⊥y轴，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．
【详解】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．
双曲线C3，的解析式为y=-5x，
∵PQ⊥l于点Q，
∴PQ⊥y轴．
由反比例函数比例系数k的性质可知，S△POQ=12×5=52
故选：B．
3．（2021•岳麓区校级三模）如图，点A，B在双曲线y=3x（x＞0）上，点C在双曲线y=1x（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC＝BC，则AB的长为 22 ．
【点睛】依据点C在双曲线y=1x（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，可设C（a-1a），则B（3a，1a），A（a，3a），依据AC＝BC，即可得到1a-3a=3a﹣a，进而得出a＝1，依据C（1，1），B（3，1），A（1，3），即可得到AC＝BC＝2，进而得到Rt△ABC中，AB＝22．
【详解】解：点C在双曲线y=1x（x＞0）上，AC∥y轴，BC∥x轴，
设C（a，1a），则B（3a，1a），A（a，3a），
∵AC＝BC，
∴1a-3a=3a﹣a，
解得a＝1，（负值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），
∴AC＝BC＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝22，
故答案为22．
4．（2021•薛城区期中）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为 （52，0） ．
【点睛】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．
【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACO+∠BCD＝90°，
∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△ACO与△BCD中，
∠OAC=∠BCD∠AOC=∠BDCAC=BC，
∴△ACO≌△BCD（AAS）
∴OC＝BD，OA＝CD，
∵A（0，2），C（1，0）
∴OD＝3，BD＝1，
∴B（3，1），
∴设反比例函数的解析式为y=kx，
将B（3，1）代入y=kx，
∴k＝3，
∴y=3x，
∴把y＝2代入y=3x，
∴x=32，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了32个单位长度，
∴C也移动了32个单位长度，
此时点C的对应点C′的坐标为（ 52，0）
故答案为（52，0）．
5．（2021•大东区二模）如图，P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上一点，以P为顶点作等边△PAB，使AB落在x轴上，则△POB的面积为 9+332 ．
【点睛】易求得点P的坐标，即可求得点B坐标，即可解题．
【详解】解：作PD⊥OB，
∵P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上一点，
∴m=9m，
解得：m＝3，
∴PD＝3，
∵△ABP是等边三角形，
∴BD=33PD=3，
∴S△POB=12OB•PD=12（OD+BD）•PD=9+332，
故答案是：9+332．
6．（2021•青羊区模拟）如图，菱形OABC的一边OA在x轴负半轴上．O是坐标原点，点A（﹣13，0），对角线AC与OB相交于点D，且AC•OB＝130，若反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点D，并与BC的延长线交于点E．
（1）求双曲线y=kx的解析式；
（2）求S△AOB：S△OCE之值．
【点睛】（1）△OAB与△OCE等高，若要求两者间的面积比只需求出底边的比，由AO＝10知需求CE的长，即求点E的坐标，需先求反比例函数解析式，而反比例函数解析式可先根据菱形的面积求得点D的坐标，据此求解可得；
（2）求得E的坐标，然后根据三角形面积公式求得△AOB和△OCE的面积，即可求得S△AOB：S△OCE之值．
【详解】解：（1）作CG⊥AO于点G，作BH⊥x轴于点H，
∵AC•OB＝130，
∴S菱形OABC=12•AC•OB＝65，
∴S△OAC=12S菱形OABC=652，即12AO•CG=652，
∵A（﹣13，0），即OA＝13，
根据勾股定理得CG＝5，
在Rt△OGC中，∵OC＝OA＝13，
∴OG＝12，
则C（﹣12，﹣5），
∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴∠BAH＝∠COG，
在△BAH和△COG中
∠BAH=∠COG∠AHB=∠OGCAB=OC
∴△BAH≌△COG（AAS），
∴BH＝CG＝5、AH＝OG＝12，
∴B（﹣25，5），
∵D为BO的中点，
∴D（-252，-52），
∵D在反比例函数图象上，
∴k=-252×（-52）=1254，即反比例函数解析式为y=1254x；
（2）当y＝﹣5时，x=-254，
则点E（-254，﹣5），
∴CE=234，
∵S△OCE=12•CE•CG=12×234×5=1158，S△AOB=12•AO•BH=12×13×5=652，
∴S△AOB：S△OCE＝52：23．
典例题型二 反比例函数与四边形
7．（2021•永定区期末）如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（ ）
A．﹣8B．﹣12C．﹣24D．﹣36
【点睛】设A（x，0），根据题意得E点坐标为（x﹣4，4），B点坐标为（x，12）．再根据点B、E在反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上，列出方程4（x﹣4）＝12x，求出x的值，进而可求得k的值．
【详解】解：设A（x，0）．
∵正方形ADEF的面积为16，
∴ADEF的边长为4，
∴E（x﹣4，4），
∵BF＝2AF，
∴BF＝2×4＝8，
∴B（x，12）．
∵点B、E在反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上，
∴4（x﹣4）＝12x，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，12），
∴k＝﹣2×12＝﹣24，
故选：C．
8．（2021•椒江区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上时，则菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离（ ）
A．223B．203C．94D．54
【点睛】过点D作x轴的垂线，垂足为F，首先得出A点坐标，再利用待定系数法求得反比例函数解析式为y=32x；将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y=32x（x＞0）的图象D′点处，得出点D′的纵坐标为3，求出其横坐标，进而得出菱形ABCD平移的距离．
【详解】解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
∴反比例函数为y=32x，
将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y=32x（x＞0）的图象D′点处，
过点D′作x轴的垂线，垂足为F′．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在y=32x（x＞0）的图象上
∴3=32x，
解得：x=323，
即OF′=323，
∴FF′=323-4=203，
∴菱形ABCD平移的距离为203，
故选：B．
9．（2021•南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的面积为24，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx的图象上，则k＝ ﹣12 ．
【点睛】连接CA交y轴于点D，如图，先利用正方形的性质得AC⊥OB，S△OCD=14S正方形ABCO＝6，再根据反比例函数k的几何意义得到12|k|＝6，然后取绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：连接CA交y轴于点D，如图，
∵四边形ABCO为正方形，
∴AC⊥OB，S△OCD=14S正方形ABCO=14×24＝6，
∵12|k|＝6，
而k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为﹣12．
10．（2021•宁夏）在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度是 5 ．
【点睛】根据矩形的性质，可得M点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得N点坐标，根据勾股定理，可得答案．
【详解】解：由四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8，6），M为BC中点，得
M（8，3），N点的纵坐标是6．
将M点坐标代入函数解析式，得
k＝8×3＝24，
反比例函数的解析是为y=24x，
当y＝6时，24x=6，解得x＝4，N（4，6），
NC＝8﹣4＝4，CM＝6﹣3＝3，
MN=NC2+CM2=32+42=5，
故答案为：5．
11．（2021•慈溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABOC的对角线交于点M，双曲线y=kx（x＜0）经过点B、M．若平行四边形ABOC的面积为12，则k＝ ﹣4 ．
【点睛】设M的坐标是（m，n），则mn＝k，平行四边形ABOC中M是OA的中点，则A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n，表示出B的横坐标，则可以得到AB即OC的长，然后根据平行四边形的面积公式即可求得k的值．
【详解】解：设M的坐标是（m，n），则mn＝k，
∵平行四边形ABOC中M是OA的中点，
∴A的坐标是：（2m，2n），B的纵坐标是2n，
把y＝2n代入y=kx得：x=k2n，即B的横坐标是：k2n．
∴AB＝OC=k2n-2m，OC边上的高是2n，
∴（k2n-2m）•2n＝12，
即k﹣4mn＝12，
∴k﹣4k＝12，
解得：k＝﹣4．
故答案为﹣4．
12．（2021•广西模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为 y=3x ；
【点睛】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB=52-42=3，
在△ABO和△BCE中，
∠OAB=∠CBE∠AOB=∠BECAB=BC，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（3，1），
∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y=3x．
故答案为：y=3x．
13．（2021•江夏区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC上的一点E，且CE＝2AE，菱形的边长为8，则k的值为 355 ．
【点睛】求出点D或点E的坐标，即可求出k的值，通过作垂线，利用三角形相似，和菱形的性质可以求出点 D 的坐标，进而求出k的值．
【详解】解：过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵ABCD是菱形，
∴OD＝AC＝OA＝8，OD∥AC，
∴∠DOA＝∠CAN，
∴△DOM∽△EAN，
∴DOAE=OMAN=DMEN，
又∵CE＝2AE，
∴AEAC=13，
设D（a，b），则OM＝a，DM＝b，
∴AN=13a，EN=13b，
∴E（8+13a，13b）
又∵点D、点E都在函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴ab＝（8+13a）×13b，
解得：a＝3，
在Rt△DOM中，b＝DM=82-32=55，
∴k＝ab＝355，
故答案为：355
14．如图，过反比例函数y=6x（x＞0）图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线y=-3x（x＜0）于点B，过B作BC∥OA交双曲线y=-3x（x＜0）于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E．若OC＝3，求OE的长．
【点睛】先连接OB，根据比例系数k的几何意义，求得OF＝3，由此得到A（2，3），B（﹣1，3），再求得直线OA的解析式为y=32x，直线BC为y=32x+92，再根据解方程组可得D（﹣2，32），最后运用待定系数法求得AD解析式为y=38x+94，进而得到点E的坐标即可．
【详解】解：如图所示，连接OB，则△AOB的面积=12×|﹣3|+12×|6|=92，
由AB∥CO，AO∥BC，可得四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝CO＝3，
∴由12×AB×OF=92，可得OF＝3，
在y=6x（x＞0）中，令y＝3，可得x＝2，即A（2，3），
在y=-3x（x＜0）中，令y＝3，可得x＝﹣1，即B（﹣1，3），
由A（2，3）可得，直线OA的解析式为y=32x，
可设直线BC为y=32x+b，则将B（﹣1，3）代入可得
3=-32+b，解得b=92，
故BC为y=32x+92，
解方程组y=32x+92y=-3x，可得D（﹣2，32），
设直线AD解析式为y＝mx+n，则
将D（﹣2，32），A（2，3）代入可得
3=2m+n32=-2m+n，解得m=38n=94，
∴AD解析式为y=38x+94，
令x＝0，则y=94，即E（0，94），
∴OE的长为94．
15．（2021•黄冈模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（5，2）．
（1）求k的值；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．
【点睛】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；
（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
【详解】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，
∵点D的坐标为（5，2），
∴DO＝AD＝3，
∴A点坐标为：（5，5），
∴k＝55；
（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上D′，
∴DF＝D′F′＝2，
∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）
∴2=55x，解得x=552，
∴FF′＝OF′﹣OF=552-5=352，
∴菱形ABCD平移的距离为352，
同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
菱形ABCD平移的距离为535，
综上，当菱形ABCD平移的距离为352或553时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．
声明：