第25章 图形的平移、旋转、对称与位似-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第25章 图形的平移、旋转、对称与位似-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共18页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第25章 图形的平移、旋转、对称与位似

考 点 梳 理

考点一 轴对称和轴对称图形
1．概念
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，能够与另一个图形 ，这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是 ．折叠后重合的两点，叫做对应点(也叫对称点)．
(2)轴对称图形：把一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴．
2．轴对称图形的性质
(1)对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
(2)对应角相等，对应线段 ．
3．轴对称与轴对称图形的区别
轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；对称轴不一定只有一条．轴对称是指两个相同形状图形的位置关系，必须涉及两个图形；只有一条对称轴．
4．轴对称与轴对称图形的联系
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．
5．折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的 ；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．

考点二 中心对称和中心对称图形
1．中心对称图形
把一个图形绕某个点旋转180°能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫 ．
2．中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转 ，能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称，该点叫做对称中心．
3．中心对称的性质
(1)关于中心对称的两个图形 .
(2)对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心 ．
4．中心对称与中心对称图形的区别
中心对称图形是具有某种特性的一个图形，中心对称是指两个图形的 关系．
5．中心对称与中心对称图形的联系
在中心对称图形或中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心且被对称中心平分．
【点拨】(1)常见的轴对称图形：等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等．(2)常见的中心对称图形：平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．(3)常见的既是轴对称又是中心对称的图形：菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等．

考点三　图形的平移
1．概念
在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的变换叫做平移．
2．平移的要素
(1)平移的起点；(2)平移的方向；(3)平移的 ．
3．平移的性质
(1)平移不改变图形的形状和 ．
(2)经过平移，对应点所连的线段 且相等，对应线段平行且相等，对应角 ．

考点四 图形的旋转
1．概念
将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为 ，转动的角度称为旋转角．
2．旋转的要素
(1)旋转中心；(2)旋转方向，主要是指顺时针方向和 方向；(3)旋转角．
3．旋转的性质
(1)旋转不改变图形的 和 ；(2)对应线段相等，对应角相等；(3)对应点到旋转中心的距离 ．

考点五　图形的位似
1．概念
如图1，2，两个多边形的顶点A与A′，B与B′，C与C′…所在的直线都经过同一点O，并且＝＝＝…，像这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．

图1 图2
2．位似的性质
两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相 (或在同一条直线上)．利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小．

考点六 图形的平移、对称、旋转与位似与网格作图
1．平移作图的步骤
(1)首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；(2)根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；(3)顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．
2．对称作图的步骤
(1)找出原图形的关键点．(2)作出关键点关于对称轴成中心对称的对称点：①若关于x轴对称，设P(a，b)，则对称点P′(a，－b)；②若关于y轴对称，设P(a，b)，则对称点P′(－a，b)；③若关于原点对称，设P(a，b)，则对称点P′(－a，－b)．(3)按照原图形依次连接得到的各关键点的对称点，得到对称后的图形．
3．旋转作图的步骤
(1)找出旋转中心与旋转角；(2)找出构成图形的关键点；(3)作出这些关键点旋转后的对应点；(4)顺次连接各对应点．
4．位似作图的步骤
(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即题干中要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点：连接位似中心和原图中的各顶点，再延长(或反向延长)，使之等于位似中心和原图中对应点之间连线的线段长与位似比的乘积；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．








重 难 点 讲 解

考点一 利用轴对称的特征解决问题
方法指导：
轴对称的特点：(1)轴对称的两个图形全等；(2)对称点连线被对称轴垂直平分．图形的折叠是轴对称变换，折痕所在的直线就是对称轴，位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形，满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积相等，折叠前后，对应点的连线被折痕垂直平分．
经典例题1 (2020•江苏盐城模拟)如图，在△ABC中，点D，E在BC边上，点F在AC边上，将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合．结论：①∠BAC＝90°；②DE＝EF；③∠B＝2∠C；④AB＝EC. 正确的有(　　)

A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【解析】 ∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB，∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，∴AE＝CE，∠C＝∠CAE，∴AB＝EC，∴④正确；∵∠AEB＝∠C＋∠CAE＝2∠C，∴∠B＝2∠C，故③正确．
【答案】 B

考点二 利用平移、旋转的特征解决问题
方法指导：
平移的特点：(1)平移前后两个图形全等；(2)对应点所连的线段平行(或共线)且相等．
通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．
经典例题2 (2020•安徽合肥模拟)如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为(　　)

A．1 B． C．2 D．2－1
【解析】 如图，过点B作BH⊥AC于H点，作射线HE，∵△ABC是等边三角形，BH⊥AC，∴AH＝2＝CH，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∴点B，点D，点H，点E四点共圆，∴∠BHE＝∠BDE＝45°，∴点E在∠AHB的角平分线上运动，∴当AE⊥EH时，AE的长度有最小值，∵∠AHE＝45°，∴AH＝AE＝2，∴AE的最小值为．

【答案】 B

考点三 位似图形的应用
方法指导：
解答这类问题要注意如下的问题：(1)认真观察图形，把握图形中的隐含条件．(2)图形的位似就是特殊的相似，位似图形的对应点和位似中心在同一直线上．(3)位似图形有以下性质：①任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比；②当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．
经典例题3 (2020•河南二模)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点B'的坐标是 ．

【解析】 ∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，∵点B的坐标为(－4，6)，∴点B'的坐标为(－4×，6×)或(4×，－6×)，即(－2，3)或(2，－3)．
【答案】 (－2，3)或(2，－3)



过 关 演 练

1．(2020·宁夏模拟)下列图标中，既是中心对称又是轴对称的图标是(　　)

A B C D
2．(2020•黑龙江齐齐哈尔中考)下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是(　　)

A B C D
3．(2020•四川自贡中考)下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(　　)

A B C D
4．(2020·山东烟台模拟)已知点A(1，3)，点B(2，1)，将线段AB沿某一方向平移后，点A对应点的坐标为(－2，1)．则点B对应点的坐标为(　　)
A．(5，3) B．(－1，－2) C．(0，1) D．(－1，－1)
5．(2020•四川自贡中考)在平面直角坐标系中，将点(2，1)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是(　　)
A．(﹣1，1) B．(5，1) C．(2，4) D．(2，﹣2)
6．(2020•上海中考)如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　)
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
7. (2020•海南一模)如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是(　　)

A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
8．(2020·辽宁沈阳模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝8，AC＝5，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE连接CD，则CD的长是(　　)

A．7 B．8 C．12 D．13
9．(2020·江苏淮安模拟)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(2.5，5)，B(5，0)，以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为(2，0)，则点C的坐标为(　　)

A．(1，2) B．(1，2.5) C．(1.25，2.5) D．(1.5，3)
10．(2020·江西模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－1，－1)．以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为(　　)

A．(－8，4) B．(8，－4)
C．(8，4)或(－8，－4) D．(－8，4)或(8，－4)
11．(2020·陕西西安模拟)如图，将等腰△ABC沿DE折叠，使顶角顶点A落在其底角平分线的交点F，若BF＝DF，则∠C的大小是(　　)

A．60°　　　　　B．72° C．75° D．80°
12．(2020•山东德州中考)如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同)，使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　 　．

13．(2020•四川甘孜州中考)如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段DE的长为　 　cm．

14．(2020•山东泰安中考)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(﹣1，1)，C(3，1)．△A'B'C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为　 　．

15．(2020·河北模拟)如图，沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，若∠B＝50°，则∠CAD＝ ．

16．(2020·山东泰安模拟)如图，A，B的坐标为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a＋b＝ ．

17．(2020·安徽合肥庐阳区模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)．
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，求点B绕原点O逆时针旋转90°的路径长．



18．(2020•湖北孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，5)，B(﹣3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．
(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为　 　；
(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE的值为　 　；
(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为　 　．



19．(2020•黑龙江绥化中考)如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．
(1)作点A关于点O的对称点A1；
(2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；
(3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．





20．(2020•辽宁丹东中考)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
(1)画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
(2)画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．







21. (2020•安徽合肥包河区一模)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB，CD于点M，N．
(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
(2)如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为2，求菱形ABCD的面积．

图1 图2







参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. (1)重合 对称轴 (2)重合 2. (1)垂直平分线 (2)相等 5. 对称轴
考点二 1. 对称中心 2. 180° 3. (1)全等 (2)平分 4. 位置
考点三 2. (3)距离 3. (1)大小 (2)平行 相等
考点四 1. 旋转中心 2. (2)逆时针 3. (1)形状 大小 (3)相等
考点五 2. 平行

过关演练
1. A
2. D 【解析】选项A，不是轴对称图形，故不合题意；选项B，不是轴对称图形，故不合题意；选项C，不是轴对称图形，故不合题意；选项D，是轴对称图形，故符合题意．
3. A 【解析】选项A，是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意；选项B，不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意；选项C，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不合题意；选项D，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不合题意．
4. D 【解析】由点A(1，3)及其对应点坐标(－2，1)知，线段AB先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，∴点B(2，1)的对应点坐标为(－1，－1)．
5. D 【解析】将点P(2，1)向下平移3个单位长度所得点的坐标为(2，1﹣3)即(2，﹣2)．
6. A 【解析】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移
可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．

7. A 【解析】∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA＝10cm，OA′＝20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为10：20＝1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是1：2．
8. A 【解析】过点D作DF⊥AC于点F，∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ADE，∴AD＝AB＝8，∠BAC＝∠DAB＝30°，∴∠CAD＝60°，且DF⊥AC，AD＝8，∴AF＝4，DF＝4，∴CF＝1，∴CD＝＝＝7.
9. A 【解析】∵将线段AB缩小得到线段CD，点B(5，0)的对应点D的坐标为(2，0)，∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD，∴点C的坐标为(1，2)．
10. D 【解析】∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E(－4，2)，∴点E的对应点E′的坐标为(－4×2，2×2)或(4×2，－2×2)，即(－8，4)或(8，－4)．
11. B 【解析】连接AF，∵点F是底角平分线的交点，∴点F是三角形ABC角平分线的交点(三角形的角平分线交于一点)，∴AF平分∠BAC，设∠C＝x，则∠ABF＝x，∠BAF＝∠BAC＝(180°－2x)＝90°－x，又∵BF＝DF，AD＝DF(折叠的性质)，∴∠FDB＝∠FBD，∠DAF＝∠DFA，∴∠DFB＝180°－2∠ABF＝180°－x，∴∠AFB＝∠DFB＋∠AFD＝∠DFB＋∠DAF＝180°－x＋(90°－x)＝270°－2x，在三角形ABF中，∠BAF＋∠ABF＋∠AFB＝180°，即(90°－x)＋(x)＋(270°－2x)＝180°，解得x＝72°，即∠C＝72°.
12. 【解析】如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是＝．

13. 5 【解析】∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，∴AB＝AB'＝8cm，BC＝B'C'＝10cm，CE＝C'E，∴B'D＝＝＝6cm，∴C'D＝B'C'﹣B'D＝4cm，∵DE2＝C'D2＋C'E2，∴DE2＝16＋(8﹣DE)2，∴DE＝5cm．
14. (﹣2，1) 【解析】将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，如图所示，所以点M的坐标为(﹣2，1)．

15. 40° 【解析】∵沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，∴∠B＝∠C＝50°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠C＝40°.
16. 3 【解析】由题意可知：a＝0＋(4－2)＝2，b＝0＋(2－1)＝1，∴a＋b＝3.
17. 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．　
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)如图，点B绕原点O逆时针旋转90°的路径长为＝π.

18. 解：(1)(2，﹣4) 提示：如图所示，线段CD即为所求，点D的坐标为(2，﹣4)；
(2) 提示：如图所示，线段AE即为所求，cos∠BCE＝＝＝；
(3)(0，4) 提示：如图所示，点F即为所求，点F的坐标为(0，4)．

19. 解：(1)如图所示，点A1即为所求；
(2)如图所示，线段A1B1即为所求；

(3)如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则四边形ABA1B1的面积＝S△ABB1＋S△BA1B1＝×8×2＋×8×4＝24．
20. 解：(1)如图所示，点A1的坐标为(2，4)；
(2)如图所示，由勾股定理得OA＝＝，点A到点A2所经过的路径长为＝．

21. (1)证明：四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，AB∥CD，∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－∠ABC＝120°，由旋转的性质得：PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠BCD＝∠DCQ，∴∠BCP＝∠DCQ. 在△BCP和△DCQ中， ∴△BCP≌△DCQ(SAS).
(2)解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，如图所示，∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，∴∠PCG＝60°，PG
＝QG，∴PG＝PC，∴PQ＝PC．∵PM＝QN，∴MN＝PQ＝PC，∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，∴PC＝2，BC＝2PC＝4，∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴S△ABC＝×4×2＝4，∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8.