初中数学北师大版八年级下册4 多边形的内角与外角和教案

第六章  平行四边形

6.4 多边形的内角和与外角和（2）

一、学生起点

在上一节的学习中，学生已经掌握了多边形的内角和公式，对如何探究内角和的问题有了一定的认识，加之八年级学生的好奇心、求知欲强，互相评价、互相提问的积极性高．因此对于学习本节内容的知识条件已经成熟，学生也具备了参加探索活动的热情，所以考虑把这节课设计成一节探索活动课．

二、学习任务

本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强。在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．

教学目标

【知识与技能】   1.了解多边形外角的定义

                 2.理解和掌握多边形的外角和定理

【过程与方法】   3. 经历数学实验，使学生在操作，实验的过程中发现、归纳、总结多边形外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征

【情感态度与价值观】4.通过实验、猜想、推理等活动，感受科学研究问题的思路和方法

教学重点：理解和掌握多边形的外角和定理

教学难点：多边形外角和定理的推导与理解

三、教学过程

在多边形外角和教学中，教师一般是借助内角和公式进行证明，学生没有精力探究发现的过程，体会不到变中不变的规律，因此，在多边形外角和的教学设计中，可以尝试借助数学实验使学生在操作实验的过程中发现、归纳、总结多边形的外角和的不变性规律，这样更有利于认识多边形的本质特征。数学学习中学生需要亲自经历数学发现，发展的过程提升提升提出问题解决的能力

本设计基于测量简拼，转笔三操作猜想验证说里三过程视图丛树形直观感知提出猜想到抽象概括，理性说理等角度出发，采用数学实业的方式设计，探索多边形外角和的教学，提高学生科学探究的能力。

1. 在画外角的直观感知过程中理解概念

环节1　三角形、多边形有内角，是否也有外角呢？

本环节通过复习前段学习内容———三角形内角、多边形内角中出现的“内角”概念很自然的引入问题：多边形既然有内角是否也有“外角”，进而提出什么是外角呢？由此可以给出外角的定义，并引发学生提出问题的意识，多边形有几个外角，外角的大小如何等等．

环节2　（１）请学生到黑板前画出图１的一个外角，深化对多边形外角的理解

（２）画出图２中各个图形的外角

（3）思考：多边形外角的个数随多边形边数的增加怎样变化？

（4）你最想关注的问题是什么？从内角概念自然引出外角、外角和的概念，激起学生学习的热情，体现学习的必要性．学生通过画外角，在做中加深对外角定义的理解，达到外角和概念的理解与辨析，激起学生探究外角和大小的好奇心．多边形的外角和随着边数的增加将发生什么样的变化呢？学生在这个问题的引领下，开始探索的活动．

2.在度量、拼图等操作活动中发现和提出猜想

实验1　借助“度量”，从“数”的角度感受多边形的外角之和

（1）用量角器量下列多边形的外角，并分别写出图３中各个多边形的外角和

（2）通过上述活动，你有什么发现？

学生画出三角形、四边形、五边形的各个外角之后，自然联想到测量各个外角的大小，从而计算出外角和的大小．本实验的设计遵循学生认知的规律，从简单到复杂，从具体到抽象，实验操作先从简单对象三角形开始，然后增加边数，到四边形，五边形等．培养学生的创新意识，开发学生的创新潜能，需要猜想．在这个数学实验过程中学生直观感知到了三角形、四边形、五边形的外角和大概在360°左右，多边形的外角和似乎不随着边数的增加而增加，在探究的过程中发现问题，从而提出猜想多边形的外角和为一个定值360°．但是因为有测量误差，所得结论只是一个猜想，从而激起学生寻求更准确的途径验证猜想的正确性．

实验２　借助“拼图”， 从“形”的角度感受多边形的外角和

在实验1中，学生通过观察、猜想，从数量上大致知道多边形的外角和为一个定值360°，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性．因为测量误差的问题，学生积极地尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，逐步从实验几何过渡到论证几何．

拼图活动把对象的数字属性转化为图形属性，用图形解释抽象的数学现象，验证猜想，使结论更进一步准确，同时也使学生积累活动经验，用实验操作的手段验证猜想．

通过测量、拼图学生加深了对多边形外角和大小的进一步认识．因为拼图会有缝隙或重叠，所以拼出来的结果会有一定的误差．根据测量、拼图只能大致猜想多边形外角和的大小，但是不能断定多边形外角和就为360°．激起学生用更准确的方法去验证猜想的正确性．

3.通过平移外角、转笔体验，验证结论并尝试说理

实验1　平移外角，感受“无缝拼图”“不重不漏”，突出“严谨性”

（1）借助几何画板软件平移外角：把所有外角汇聚到一点

为了避免实际拼图存在的误差，提出理论上既无重叠，又无缝隙的拼图形式．利用几何画板软件平移外角，使其汇聚一点，体现“拼图”过程的“无缝”性，确保“不重不漏”，正好一周．计算机模拟实验加深学生直观感知，进而把对象的图形属性进行抽象概括．

实验2　转笔体验，感受“动感”“整体感”，突出“连续性”

借助几何画板软件，让铅笔一头固定在多边形A１,A２,A３…Aｎ内一点Ｐ，

将铅笔绕点Ｐ按逆时针方向旋转，旋转的角度依次为∠１，∠２，∠３…，∠n,你有什么发现？

按照上述程序，学生在纸上自己动手操作．对于多边形外角和。转笔是学生日常生活中所熟知的活动，将数学学习置于转笔活动中，既可以调动学生学习的积极性，感受数学的趣味性，增强学生对数学的感受性，也可以化抽象的概念为形象可见的数学知识，增强学的形式，同时又可让学生感受数学来源于生活，生活中处处包含中数学．学生亲自体验转角的过程，不仅可以得到一个周角，还可以体悟一种思想方法，在运动中把握不变的规律．在实际操作中发现图钉有一定的位置，笔杆有一定的宽度，所画外角的顶点不在一个点上，提醒学生不能忽略这样一种现象，培养学生的数学严谨性．

最后通过缩放的方法，化静态为动态，图形连续缩放形成的众多画面变换，给学生在大脑中形成图形空间变化的印象．在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰富的几何经验背景，这有助于学生的理解和证明，在操作过程中也能充分发挥学生的主动性、积极性和探索欲．

4. 课后小结

从知识、尤其是方法两方面进行总结

5.作业布置

课后思考题，继续通过动手操作，思考在多边形中最多有几个钝角？几个直角？几个外角？

著名特级教师马明曾说过：不把教学做为“结果”进行，而做为“思维过程”来进行，这才是“数学教学”的本质．因此本节课提供一个开放的课堂，让学生自主与合作、通过直观感知与抽象概括验证多边形外角和为360°，把数学的本质特征通过形象具体的方式，让学生有所顿悟．