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热点10 概率与统计-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版）
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这是一份热点10 概率与统计-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（解析版），共46页。试卷主要包含了与排列等内容，欢迎下载使用。
热点10 概率与统计
从新高考考查情况来看，统计类：统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想；概率类：常以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列，均值与方差、正态分布等，主要命题点有：（1）相互独立事件的概率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现；（2）二项分布的概念、特征和相关计算，主要以解答题的形式呈现，解题时要熟悉相关公式的应用．查考生的数据分析、数学运算、数学建模等核心素养．
1、离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
2、求离散型随机变量X的分布列的步骤：
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列.
3、（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
4、求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.
1）E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数) ； 2）D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数) ；
3）若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p).；4）若X~B(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p).。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
A卷（建议用时80分钟）
一、单选题
1．（2021·江苏徐州·模拟预测）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：
3
4
5
6
2.5
3
4
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点处的残差为－0.15，则表中的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【分析】由称为相应于点的残差，得，，
线性方程过样本中心点（，），求出 .
【详解】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即，
解得，即，又，且线性方程过样本中心点（，），
则，则，解得.故答案为：B
【点睛】理解残差的定义，实际值减去估计值；线性方程过样本中心（，）；要求对基本知识点比较熟练，计算才准确.
2．（2022·广东省·高三专题练习）近年来，随着消费者习惯的变化，吸引了更多的资本进入生鲜电商领域，下表统计了2013~2020年中国生鲜电商交易规模增长情况与渗透率增长情况，据此判断，下列说法不正确的是（ ）
A．2019年中国生鲜电商交易规模较2018年同比增长31.00%，同比增速较2018年进一步下滑
B．2020年生鲜电商交易规模同比增长的增速迎来回升
C．2013-2020年中国生鲜电商渗透率同比增长逐年上升
D．可能受疫情催化的影响，2020年中国生鲜电商渗透率增速加快
【答案】C
【分析】根据图像分析2013~2020年中国生鲜电商交易规模增长情况与渗透率增长情况，从而判断每个选项的正误.
【详解】解：对于A，由图知：2019年中国生鲜电商交易规模较2018年同比增长31.00%，
2018年中国生鲜电商交易规模较2017年同比增长39.01%，故A正确；
对于B，2020年、2019年生鲜电商交易规模同比增长分别为42.54%、31.00%，故B正确；
对于C，2014-2015年，2019-2020年中国生鲜电商渗透率同比增长上升，
2015-2019年中国生鲜电商渗透率同比增长下降，故C错误；
对于D，2019、2020年，中国生鲜电商渗透率增速依次为22.89%、63.38%，故增速加快，D正确 选：C.
3．（2021·山东·模拟预测）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数为r＝-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
【答案】C
【分析】理解回归分析中样本中心、残差、相关指数R2、相关系数的含义，即可判断各选项的正误.
【详解】A：样本中心点在回归直线上，正确；B：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，
C：R2越大拟合效果越好，不正确，D：当的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确.
故选：C.
4．（2021·辽宁丹东·高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】设男同学为人，女同学为人，根据平均数公式及方差公式计算可得；
【详解】解：设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，
设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为
即
故选：D
5．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】可得样本中优秀的频率为0.28，即可求出优秀的学生人数.
【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.故选：C.
6．（2021·重庆市长寿中学校模拟预测）甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（ ）
A．50% B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以故选：C
7．（2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了个这类工程，得到如下数据（单位：天）：，，，，，，，，，．若该类工程的工期（其中和分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再利用正态分布的性质求解.
【详解】由题得，
，所以.
所以
所以.故选：A
8．（2021·江苏盐城·一模）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知（ ）
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
参考公式：独立性检验统计量，其中 .
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】A
【分析】根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】，
根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选：A
9．（2021·江苏镇江·模拟预测）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】基本事件总数，其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，由此能求出高一年级3人不相邻的概率．
【详解】解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，
采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数，
其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，
高一年级3人不相邻的概率．故选：D．
【点睛】关键点点睛：排列组合中“相邻问题”用捆绑法解决，“不相邻问题”用插空法解决.
10．（2021·江苏淮安·二模）如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【答案】C
【分析】由题意分析，列举出系统能正常工作的基本事件，应用概率的加法公式求概率即可.
【详解】由题意知：系统能正常工作的基本事件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，∴A、B和C正常工作的概率为：；
A、B正常工作而C不正常工作的概率为；
A、C正常工作而B不正常工作的概率为；
∴系统正常工作的概率.故选：C.
11．（2021·山东聊城·三模）在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为，则受表彰人员中男性人数为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．15或21
【答案】C
【分析】首先根据总人数分别设出男性人数与女性人数，然后根据古典概型列出概率表达式，解方程即可求出结果.
【详解】设男性有人，则女性有人∵男性多于女性，∴，即
∵选出的两人性别相同的概率为∴，即
∴或（舍）所以男性有21人故选：C.
二、多选题
12．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则下列各选项正确的是（ ）
A．变量与具有正相关关系 B．去除后的估计值增加速度变快
C．去除后的方程为 D．去除后相应于样本点的残差平方为0.0625
【答案】AC
【分析】重新求解的回归方程的斜率大于0，故具有正相关关系；且，所以去除后的估计值增加速度变慢；根据线性回归方程一定过样本中心点求解去除后重新求得的回归直线；利用新的线性回归方程求解残差平方.
【详解】因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项A正确；因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故选项B错误；将代入回归直线方程，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，样本中心还是，又去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故选项C正确；因为，所以，则残差的平方为0.0025，故选项D错误．
故选：AC
13．（2021·河北邯郸·高三期末）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）
A． B．得分在的人数为4人
C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5 D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85
【答案】ACD
【分析】A：根据频率分布直方图小矩形面积表示频率，总频率为1进行计算；
B：算出得分在之间的频率，用该频率乘以200即可；
C：频率分布直方图众数为最高的矩形的中间值；
D：根据中位数左右两边的矩形面积面积均为0.5进行计算.
【详解】，得，A正确；
得分在的人数为，B错误；
200名党员员工测试分数的众数约为87.5，C正确；
∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D正确．
14．（2021·河北石家庄·模拟预测）“一带一路”（，缩写）是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2013年9月和10月由中国国家主席习近平分别提出建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的合作倡议.依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的､行之有效的区域合作平台，积极发展与沿线国家的经济合作伙伴关系，共同打造政治互信､经济融合､文化包容的利益共同体､命运共同体和责任共同体.2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与一带一路沿线国家的贸易成果现状报告.注：贸易总额=贸易进口额+贸易出口额，贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额由数据分析可知，在2011到2016这六年中（ ）
A．中国与沿线国家贸易总额逐年递增 B．2014年中国与沿线国家贸易出口额最大
C．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增 D．2016年中国与沿线国家贸易顺差额首次下降
【答案】BD
【分析】由所给数据直接判断B，根据所给数据计算各年的贸易总额和贸易顺差额后判断ACD．
【详解】由所给数据，B正确；又2011至2016年的贸易总额依次为（单位：亿美元）：8941.1，9598.4，10405，11204，10029.2，9535.9贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，
所以AC错，D正确．故选：BD．
15．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【分析】用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，故选项C正确；
若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，故选项D正确．故选：ACD．
三、填空题
16．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______.
【答案】
【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.
【详解】取得红球数为可能为0,1,2，则，,
,所以，
.故答案为：；
17．（2021·北京·清华附中模拟预测）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．
说明：（1）在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较．
（2）同比增长率环比增长率．
给出下列四个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；
②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格；
④2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格．其中所正确结论的序号是____________．
【答案】①④
【分析】根据国居民消费价格涨跌幅折线图，结合题中说明和计算公式逐一判断即可.
【详解】①：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确；
②：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，所以本结论不正确；
③：设2020年3月的消费价格为，2020年4月的消费价格为，
根据题中所给的环比增长率公式可得：，
所以，因此本结论不正确；
④：设2020年5月的消费价格为，2020年6月的消费价格为，2020年7月的消费价格为，
根据题中所给的环比增长率公式可得：
，，
，所以，因此本结论正确；故答案为：①④
【点睛】理解同比增长率、环比增长率的定义，运用同比增长率、环比增长率的公式进行解题是关键.
18．（2022·重庆·高三专题练习）2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数
300
400
500
600
700
感染人数
3
3
6
6
7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
【答案】
【分析】先求出线性回归方程中的值，从而可求，再根据题设中的计算方法可求疫苗的有效率.
【详解】由题设表格中的数据可得，故，
故，而，
故疫苗有效率为，故答案为：.
19．（2022·河北·高三专题练习）现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________.
【答案】
【分析】事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出.
【详解】解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，.
“队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则.
故答案为：
四、解答题
20．（2021·河北衡水中学模拟预测）某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（1）求选手甲在射击中得0分的概率；（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）分布列见解析，
【分析】（1）先由在100m处击中目标的概率为求出，进而求出，，再利用相互独立事件同时发生的概率进行求解；（2）先写出的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解.
（1）解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为
事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．
设选手甲在m处击中目标的概率为，则．
由m时，得，所以，，所以，．
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为．
（2）解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．
，，，．
则的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望为．
21．（2021·山东潍坊·三模）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
（1）求甲通过测试的概率；（2）设为本次测试中乙的得分，求的分布列；
（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？
【答案】（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲.
【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；
（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；
（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论.
【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分为4或，
，，
所以．
（2）的可能取值为0，2，3，4，5．
，，
，，．
0
2
3
4
5
0.288
0.384
0.072
0.128
0.128
（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率
甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．
【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定格式件会同时发生；（3）求出每个事件发生的概率，再求积.
22．（2021·山东烟台·二模）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩
人数
5
10
25
30
20
10
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．
（参考数据：；若，则，，．）
【答案】（1）；（2）人；（3）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）有表格数据知样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，成绩优秀10人，利用古典概型的概率求法求概率即可.（2）由表格数据求，又，易知，依据正态分布的三段区间概率值即可求概率，进而估算该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数.（3）由题意知，甲的总得分的可能取值为0，3，4，6，7，10，应用独立事件的乘法公式求各取值的概率，列出分布列，根据分布列求期望即可.
【详解】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人．
∴．
（2）有表格数据知，，又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于85.9分的人数为人．
（3）考生甲的总得分的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．
，，
，，
，，
的分布列为：
0
3
4
6
7
10
．
【点睛】（1）利用古典概型求概率的方法求概率.（2）利用正态分布的三段区间概率值求.
（3）确定甲的总得分的可能值，应用独立事件乘法公式求概率，进而可得分布列并求期望.
23．（2021·江苏如皋·高三期中）为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生､大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月-5月获得“运动达人”称号的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
“运动达人”员工数
120
105
100
95
80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；
（2）为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人
参与者
合计
男员工
60
80
女员工
20
60
合计
100
40
140
请补充上表中的数据（直接写出，的值），并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
参考公式：，，（其中）.
0.10
0.05
0.025
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1），6月份获得“运动达人”称号的有（人）
（2）表格答案见解析，没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关
【分析】（1）利用公式可求线性回归方程，并据此可得预测该运动品牌公司获得“运动达人”称号的员工数；
（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表可判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.
（1），，
，，∴，
由过，故，∴，
∴6月份获得“运动达人”称号的有（人）.
（2），，，
∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.
24．（2021·江苏盐城·二模）某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目A投资金额x（单位：百万元）
1
2
3
4
5
所获利润y（单位：百万元）
0.3
0.3
0.5
0.9
1
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附．①对于一组数据、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
②线性相关系数．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中．
【答案】（1），用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；（2）对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
【分析】(1)根据给定数表，计算出，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；
(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.
【详解】（1）对项目A投资的统计数据进行计算得：，，，
于是得，，
所以回归直线方程为：，
线性相关系数，这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；
（2）设对B项目投资百万元，则对A项目投资百万元，
所获总利润，
当且仅当，即时取等号，
所以对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
25．（2021·山东肥城·三模）俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．”肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味儿美，营养丰富，被誉为“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍”上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商．
山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍”中随机抽检个，利用等级分类标准得到数据如下：
等级
级
级
级
个数
40
40
20
（1）以表中抽检的样本估计全市“大红袍”等级，现从全市上市的“大红袍”中随机抽取个，若取到个级品的可能性最大，求值；
（2）一北京连锁超市采购商每年采购级“大红袍”，前 20年“大红袍”在此超市的实际销量统计如下表：
销量（吨）
15
16
17
18
19
20
年数
2
4
5
6
2
1
今年级“大红袍”的采购价为万元/吨，超市以万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市计划今年购进吨或吨“大红袍”，你认为应该购进吨还是吨？请说明理由．
【答案】（1）；（2）吨；理由见解析.
【分析】（1）取到A级品的概率，随机抽取10个，取到A级品的个数根据二项分布的概率计算公式列出不等式即可求解.（2）超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为，列出分布列，求出数学期望，再设的可能取值为， 的可能取值为，列出分布列，求出数学期望，根据数学期望得出决策.
【详解】解：（1）由题意可知，从全市上市的“大红袍”中随机抽取1个，取到A级品的概率
从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个，取到A级品的个数
由得所以当时概率最大，所以．
（2）超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为
的可能取值为，的可能取值为
的分布列为
10.4
12
13.6
P
超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为
的可能取值为， 的可能取值为
利润的分布列为
9.6
11.2
12.8
14.4
P
所以超市应该购进吨“大红袍”．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2022·湖北·高三专题练习）如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】B
【分析】根据图中的点，计算去掉前后的相关系数、残差平方和、，即可判断各选项的正误.
【详解】由图，，，则，，，∴相关系数.令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，，∴残差平方和，故，去掉后，
，，则，，，∴相关系数.∴，A、D正确；
令回归方程，则，∴，即回归方程为，可得为，，，，
∴残差平方和，故，∴，B错误，C正确；选：B
2．（2021·山东临沂·模拟预测）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是（ ）
A．这天中指数值的中位数略大于 B．这天中的空气质量为优的天数占
C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
【答案】B
【分析】通过表格可知，数值越大，说明空气污染越严重，质量不好，数值越小空气质量越好.体现在图标上就是点的位置越高空气污染越严重，点的位置越低空气质量越好.可以通过将点计数来确定中位数的大概位置，以及空气质量为优的天数.
【详解】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点，因此两者均值大于但小于150,A错; 空气质量为优的有天，占，B正确;
10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错; 10月上旬的空气质量指数值在以下的多，
中旬的空气质量指数值在以上的多，上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错.故选：B.
【点睛】对表格和图表的解读是做题的关键，通过对A,B,C,D的逐项判断来选出正确答案.
3．（2021·福建·三模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据：
茶叶量克
1
2
3
4
5
4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给四个选项，分别取对数化简变形，由线性回归方程经过样本中心点，将表中数据求得代入即可检验.
【详解】由表中数据可知，，
对于A，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，因而A正确；
对于B，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，所以B错误；
对于C，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以C错误；对于D，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以D错误；综上可知，正确的为A，故选：A.
【点睛】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，注意利用回归方程经过样本中心点的性质，可代入回归方程检验，属于基础题.
4．（2021·广东佛山·二模）A、B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如下表：
-0.93
-0.82
-0.77
-0.61
-0.55
-0.33
-0.27
0.10
0.42
0.58
0.64
0.67
0.76
-0.26
-0.41
-0.45
0.45
-0.60
-0.67
-0.68
-0.71
0.64
0.55
0.55
0.53
0.46
A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到：回归方程为，相关指数；B小组先将数据依变换，进行整理，再对，u作线性回归分析，得到：回归方程为，相关指数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得拟合效果好的回归方程，然后整理变换可得答案.
【详解】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好.
又A小组的相关指数，B小组相关指数
所以B小组拟合效果好，拟合效果越好越能反映该粒子运动轨迹，其回归方程为
又，，则，即故选：C
5．（2021·四川·树德中学高三期中）已知直线：将圆：分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线与圆的两个交点为，根据题意可分析出，从而求出；然后利用几何概型的概率公式即可求出答案.
【详解】把圆：，化为标准方程为，
所以圆的圆心，半径.点到直线的距离为，
设直线与圆的两个交点为，则，所以，
所以，所以该点落在部分的概率为.故选：D.
6．（2021·山东肥城·模拟预测）某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：
1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；
再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.
【详解】设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；
由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，
∴麒麟部获胜的概率分别是：，故选：D．
7．（2021·山东枣庄·二模）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的特点判断A，B，C；先计算出一只口罩过滤率小于等于的概率，然后根据即可计算出的值并进行判断.
【详解】由题意可知，正态分布的；
甲．因为，所以，故正确；
乙．因为，所以，故正确；
丙．因为，且，
所以，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故错误；故选：D.
【点睛】思路点睛：解决正态分布问题的三个关键点：（1）对称轴；（2）标准差；（3）分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值；由分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为的特殊区间，从而求出所求概率.
8．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.故选：D.
9．（2021·辽宁大连·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为 故答案为：C.
【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
二、多选题
10．（2021·辽宁丹东·高三期中）假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，，，
因为，所以，，故正确的有ABD；故选：ABD
11．（2021·福建·三模）某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作年人均消费支出条形图（单位：元）和年人均消费支出饼图（如图）.已知年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是（ ）
A．年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高
B．年除医疗以外的人均消费支出金额等于年的人均消费总支出金额
C．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高
D．年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低
【答案】ACD
【分析】利用条形图和饼状图的性质逐项分析，可得出正确的选项.
【详解】年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，
年居民人均消费总支出为（元），
对于A，年的人均衣食支出金额为元，
年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高，故A正确；
对于B，年除医疗以外的人均消费支出金额为，
年的人均消费总支出金额为元，
年除医疗以外的人均消费支出金额不等于年的人均消费总支出金额，故B错误；
对于C，年的人均文教支出比例为，年的人均文教支出比例为，
年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高，故C正确；
对于D，其他支出元，年其他支出（元），
“其他”消费支出的年增长率为，
衣食支出的年增长率为：，
住支出的年增长率为：，
文教支出的年增长率为：，
医疗支出的年增长率为：，
年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低，故D正确.故选：ACD.
12．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
【答案】ABC
【分析】对于A：由，解之可判断；
对于B，根据二项分布可判断；对于C，根据两点分布计算可判断；对于D：根据正态分布的对称性可判断；
【详解】对于A：对于，故A正确；
对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；
对于C，因为且，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，D错误；故选：ABC.
三、填空题
13．（2021·湖南·高三专题练习）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③④
【分析】根据分类直线的定义判断.
【详解】由图象知：，
①当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，所以直线分类效果好，故错误；
②由图知定位L的位置由确定，所以直线L过点的外心，设直线方程为 则 ，解得，故正确；
③当到L的距离与到L的距离相等时为L的临界值，此时点在L的右侧，故正确；
④去掉点后，，解得，故正确；故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题L的位置由确定.
14．（2021·北京昌平·二模）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；则给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是________.
说明：1.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与年3月相比较.
2.同比增长率=，环比增长率=.
【答案】①③
【分析】根据题中数据，根据环比、同比增长率的概念，即可判断①②的正误；设2020年3月居民消费价格为，4月消费价格为，5月消费价格为，6月消费价格为，7月消费价格为，根据环比增长率的公式，即可求得与的关系，同理可求得与的关系，即可判断③的正误，即可得答案.
【详解】对于①：由图可知2020年11月同比增长率为-0.5，由同比增长率的计算公式可得，2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故①正确；对于②：由图可知，2020年3月至6月的环比增长率为负，由环比增长率的计算公式可得消费价格下降，故②错误；对于③：设2020年3月居民消费价格为，4月消费价格为，5月消费价格为，6月消费价格为，7月消费价格为，
由题意得：，解得，
，解得，
，解得，
，解得，所以，
所以2020年7月消费价格低于2020年3月消费价格，故③正确.故答案为：①③
15．（2021·江苏如皋·高三期中）某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.
【答案】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，
该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，
由得，，，即，解得或，
又，，，，
该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．故答案为：，．
四、解答题
16．（2021·山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
（2）在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】（1），中位数68.（2）分布列见解析；期望.
（3），当k=40时，最大
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.（2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.
（3）先求得等级B的概率，代入公式，可得的表达式，计算分析，即可得答案.
（1）由题意得：，解得，
因为，
所以中位数在内，设中位数为x， 则，解得，
所以这名学生成绩的中位数为68.
（2），，三组数据频率比为，
所以从，，三组中分别抽取7人，3人，1人，则可取0,1,2,3，
，，，，
则的分布列
0
1
2
3
P
期望
（3）B等级的概率为，则B等级有40人，
所以，所以，
即，解得，
所以当k=40时，有最大值.
17．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100
根据列联表得
.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
18．（2021·山东肥城·模拟预测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，定义：，，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系．
（1）给定一组变量，对于函数与函数，试利用定义求，的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数；
（2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求与的回归方程，并预测当时，的值为多少．
表中的，
附：对于一组数据，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）；；函数更适合；（2）；．
【分析】（1）由分别取时对应的函数值，再根据变量，分别求得，比较下结论；
（2）在中，令，得到，然后利用最小二乘法求得，写出关于的线性回归方程，进而得到关于的回归方程即可.
【详解】（1）对于函数，当分别取时对应的函数值为，
此时
对于函数，当分别取时对应的函数值为，
此时从而有，
因此由定义得选用函数更适合作为点中的与之间的拟合函数．
（2）在中，令，所以有，于是可建立关于的线性回归方程为，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为，
当时，，即可预测当时，的值为．
19．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，，．
∴X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴，
∴，，•••，，各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：．
【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
20．（2021·江苏连云港·模拟预测）2020年以来，新冠病毒疫情肆虐全球我国在抗击新冠肺炎疫情中取得了世界瞩目的成绩，为其他国家提供了大量的医疗经验和防控措施.根据疫情防控需要现在要对某地区的份样本进行核酸检验，检测过程中每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验次；②混合检验，将其中（且）份样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的样本全为阴性，因而这份样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检验，此时这份样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有10份样本，其中只有2份样本为阳性，现采用逐份检验方式对每一份样本进行检测，求经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份样本，每份样本是阳性结果的概率.记采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，求的概率分布列及数学期望；并说明采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少的的最大值是多少?
（参考数据：，，，.）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，，的最大值是8.
【分析】（1）10份样本只有2份样本为阳性，经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来，则最后一次检验出的是阳性，前两次一阴一阳，检验的可能组合有种，而所有检验的可能组合有种，即可求概率.（2）由混合检验的方式知，而每份为阳性的概率为，即可写出分布列，进而求期望；由混合检验方式的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少则，即有，构造应用导数研究单调性，找到的自变量区间，进而确定的最大值.
【详解】（1）设恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，
∴P(A)＝＝，即恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知，的所有可能取值为，．∴，，
故分布列为
∴，
若采用混合检验方式检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值少，则，得，
∵，∴，即，设，则，
∴当时，，即在上单调递减，
∵，又，∴的最大值为8．
【点睛】第二问，由题设确定，利用独立事件乘法公式求可能值的概率，写出分布列并求期望，由期望值的大小关系，确定不等式关系，由此构造函数并应用导数研究单调性求参数的最值.
21．（2021·江苏·常州市新桥高级中学三模）一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single算法在部署基站时可以把原来的、基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．
（1）现抽样调查英市所轴的地和地基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：
已覆盖
未覆盖
A地
20
80
B地
25
75
视样本的频率为总体的概率，假设从地和地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中地已覆盖的村比地多的概率；
（2）该市2020年已建成的基站数与月份的数据如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
283
340
428
547
701
905
1151
1423
1721
2109
2601
3381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求基站数关于月份的回归方程．（的值精确到0.01）．附：设，则，，，，，，，对于样本，的线性回归方程有，．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二项分布和互斥事件的概率计算，即可得到答案；（2）利用换元，设，则，可得与是线性相关关系，再根据最小二乘法求回归直线方程．
【详解】（1）用样本估计总体，抽到地覆盖的村概率为，抽到地覆盖的村概率为，
地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布
，
地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布
，，
从地和地各随机抽取2个村，这4个村中地覆盖的村比地覆盖的村多的概率为
．
（2）由指数模型，设，则，则与是线性相关关系．
因为，，，，
所以，，
即，即．
【点睛】本题考查回归分析、随机变量分布列、二项分布等基础知识，求解时注意概率模型的应用，特别是第一问，在抽取时总体是未知的，不能误以为是在样本中抽导致求解出错.
22．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）15
【分析】（1）根据可求得；（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）得
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，所以，则，
当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，因为为正整数，所以至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
【点睛】解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.
热点10 概率与统计
从新高考考查情况来看，统计类：统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想；概率类：常以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列，均值与方差、正态分布等，主要命题点有：（1）相互独立事件的概率、条件概率，常以选择题、填空题的形式出现；（2）二项分布的概念、特征和相关计算，主要以解答题的形式呈现，解题时要熟悉相关公式的应用．查考生的数据分析、数学运算、数学建模等核心素养．
1、离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
2、求离散型随机变量X的分布列的步骤：
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；（2）求X取每个值的概率；（3）写出X的分布列.
3、（1）与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列．
（2）与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列．
（3）与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列．
（4）与独立事件(或独立重复试验)有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列．
4、求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求即可.
1）E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数) ； 2）D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数) ；
3）若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p).；4）若X~B(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p).。
新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。
试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为新高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。
A卷（建议用时80分钟）
一、单选题
1．（2021·江苏徐州·模拟预测）对于数据组，如果由线性回归方程得到的对应于自变量的估计值是，那么将称为相应于点的残差．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据如下表所示：
3
4
5
6
2.5
3
4
根据表中数据，得出关于的线性回归方程为，据此计算出样本点处的残差为－0.15，则表中的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【分析】由称为相应于点的残差，得，，
线性方程过样本中心点（，），求出 .
【详解】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则，即，
解得，即，又，且线性方程过样本中心点（，），
则，则，解得.故答案为：B
【点睛】理解残差的定义，实际值减去估计值；线性方程过样本中心（，）；要求对基本知识点比较熟练，计算才准确.
2．（2022·广东省·高三专题练习）近年来，随着消费者习惯的变化，吸引了更多的资本进入生鲜电商领域，下表统计了2013~2020年中国生鲜电商交易规模增长情况与渗透率增长情况，据此判断，下列说法不正确的是（ ）
A．2019年中国生鲜电商交易规模较2018年同比增长31.00%，同比增速较2018年进一步下滑
B．2020年生鲜电商交易规模同比增长的增速迎来回升
C．2013-2020年中国生鲜电商渗透率同比增长逐年上升
D．可能受疫情催化的影响，2020年中国生鲜电商渗透率增速加快
【答案】C
【分析】根据图像分析2013~2020年中国生鲜电商交易规模增长情况与渗透率增长情况，从而判断每个选项的正误.
【详解】解：对于A，由图知：2019年中国生鲜电商交易规模较2018年同比增长31.00%，
2018年中国生鲜电商交易规模较2017年同比增长39.01%，故A正确；
对于B，2020年、2019年生鲜电商交易规模同比增长分别为42.54%、31.00%，故B正确；
对于C，2014-2015年，2019-2020年中国生鲜电商渗透率同比增长上升，
2015-2019年中国生鲜电商渗透率同比增长下降，故C错误；
对于D，2019、2020年，中国生鲜电商渗透率增速依次为22.89%、63.38%，故增速加快，D正确 选：C.
3．（2021·山东·模拟预测）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数为r＝-0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
【答案】C
【分析】理解回归分析中样本中心、残差、相关指数R2、相关系数的含义，即可判断各选项的正误.
【详解】A：样本中心点在回归直线上，正确；B：残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确，
C：R2越大拟合效果越好，不正确，D：当的值大于0.8时，表示两个变量具有高度线性相关关系，正确.
故选：C.
4．（2021·辽宁丹东·高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】设男同学为人，女同学为人，根据平均数公式及方差公式计算可得；
【详解】解：设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，
设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为
即
故选：D
5．（2021·天津市武清区大良中学高三期中）天津中学为了调查该校学生对于新冠肺炎防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎防控知识竞赛，并从该学校1500名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中80分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图（如图），根据频率分布直方图推测，这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（ ）
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】可得样本中优秀的频率为0.28，即可求出优秀的学生人数.
【详解】由频率分布直方图可得样本中优秀的频率为，
则这1500名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为.故选：C.
6．（2021·重庆市长寿中学校模拟预测）甲乙两个两位同学同时看了天气预报，甲说明天下雨的概率是80%，乙说如果明天下雨则后天下雨的概率是40%，如果甲乙说的都是对的，那么明天和后天都会下雨的概率是（ ）
A．50% B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件概率的概率公式计算可得；
【详解】解：记明天下雨为事件，后天下雨为事件，依题意可得，，所以故选：C
7．（2021·江苏省前黄高级中学模拟预测）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了个这类工程，得到如下数据（单位：天）：，，，，，，，，，．若该类工程的工期（其中和分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再利用正态分布的性质求解.
【详解】由题得，
，所以.
所以
所以.故选：A
8．（2021·江苏盐城·一模）某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的列联表.则根据列联表可知（ ）
年轻人
非年轻人
总计
经常用流行语
125
25
150
不常用流行用语
35
15
50
总计
160
40
200
参考公式：独立性检验统计量，其中 .
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B．没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
【答案】A
【分析】根据列联表求出观测值，对照临界值表，利用独立性检验的基本思想即可求解.
【详解】，
根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选：A
9．（2021·江苏镇江·模拟预测）清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，现采用抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级3人不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】基本事件总数，其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，由此能求出高一年级3人不相邻的概率．
【详解】解：共有10人进入决赛，其中高一年级3人，高二年级3人，高三年级4人，
采用抽签方式决定演讲顺序，高二年级3人相邻，基本事件总数，
其中高一3人不相邻包含的基本事件个数，
高一年级3人不相邻的概率．故选：D．
【点睛】关键点点睛：排列组合中“相邻问题”用捆绑法解决，“不相邻问题”用插空法解决.
10．（2021·江苏淮安·二模）如图，某系统使用，，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【答案】C
【分析】由题意分析，列举出系统能正常工作的基本事件，应用概率的加法公式求概率即可.
【详解】由题意知：系统能正常工作的基本事件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，∴A、B和C正常工作的概率为：；
A、B正常工作而C不正常工作的概率为；
A、C正常工作而B不正常工作的概率为；
∴系统正常工作的概率.故选：C.
11．（2021·山东聊城·三模）在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为，则受表彰人员中男性人数为（ ）
A．15 B．18 C．21 D．15或21
【答案】C
【分析】首先根据总人数分别设出男性人数与女性人数，然后根据古典概型列出概率表达式，解方程即可求出结果.
【详解】设男性有人，则女性有人∵男性多于女性，∴，即
∵选出的两人性别相同的概率为∴，即
∴或（舍）所以男性有21人故选：C.
二、多选题
12．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则下列各选项正确的是（ ）
A．变量与具有正相关关系 B．去除后的估计值增加速度变快
C．去除后的方程为 D．去除后相应于样本点的残差平方为0.0625
【答案】AC
【分析】重新求解的回归方程的斜率大于0，故具有正相关关系；且，所以去除后的估计值增加速度变慢；根据线性回归方程一定过样本中心点求解去除后重新求得的回归直线；利用新的线性回归方程求解残差平方.
【详解】因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项A正确；因为，所以去除后的估计值增加速度变慢，故选项B错误；将代入回归直线方程，解得，则样本中心为，去掉两个数据点和后，样本中心还是，又去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故选项C正确；因为，所以，则残差的平方为0.0025，故选项D错误．
故选：AC
13．（2021·河北邯郸·高三期末）2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）
A． B．得分在的人数为4人
C．200名党员员工测试分数的众数约为87.5 D．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为85
【答案】ACD
【分析】A：根据频率分布直方图小矩形面积表示频率，总频率为1进行计算；
B：算出得分在之间的频率，用该频率乘以200即可；
C：频率分布直方图众数为最高的矩形的中间值；
D：根据中位数左右两边的矩形面积面积均为0.5进行计算.
【详解】，得，A正确；
得分在的人数为，B错误；
200名党员员工测试分数的众数约为87.5，C正确；
∵(0.025+0.035+0.040)×5=0.1×5=0.5，所以估计200名党员员工测试分数的中位数为85，D正确．
14．（2021·河北石家庄·模拟预测）“一带一路”（，缩写）是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，2013年9月和10月由中国国家主席习近平分别提出建设“新丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的合作倡议.依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的､行之有效的区域合作平台，积极发展与沿线国家的经济合作伙伴关系，共同打造政治互信､经济融合､文化包容的利益共同体､命运共同体和责任共同体.2017年3月，由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》发布，呈现了我国与一带一路沿线国家的贸易成果现状报告.注：贸易总额=贸易进口额+贸易出口额，贸易顺差额=贸易出口额-贸易进口额由数据分析可知，在2011到2016这六年中（ ）
A．中国与沿线国家贸易总额逐年递增 B．2014年中国与沿线国家贸易出口额最大
C．中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增 D．2016年中国与沿线国家贸易顺差额首次下降
【答案】BD
【分析】由所给数据直接判断B，根据所给数据计算各年的贸易总额和贸易顺差额后判断ACD．
【详解】由所给数据，B正确；又2011至2016年的贸易总额依次为（单位：亿美元）：8941.1，9598.4，10405，11204，10029.2，9535.9贸易顺差额依次为：142.9，428.6，976.8，1536.8，2262.4，2213.7，
所以AC错，D正确．故选：BD．
15．（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【分析】用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，故选项C正确；
若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，故选项D正确．故选：ACD．
三、填空题
16．（2021·浙江省杭州第二中学高三期中）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则____；_______.
【答案】
【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望、方差即可.
【详解】取得红球数为可能为0,1,2，则，,
,所以，
.故答案为：；
17．（2021·北京·清华附中模拟预测）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．
说明：（1）在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较．
（2）同比增长率环比增长率．
给出下列四个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；
②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格；
④2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格．其中所正确结论的序号是____________．
【答案】①④
【分析】根据国居民消费价格涨跌幅折线图，结合题中说明和计算公式逐一判断即可.
【详解】①：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：同比增长率为，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故本结论正确；
②：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月至6月环比增长率为负值，由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，所以本结论不正确；
③：设2020年3月的消费价格为，2020年4月的消费价格为，
根据题中所给的环比增长率公式可得：，
所以，因此本结论不正确；
④：设2020年5月的消费价格为，2020年6月的消费价格为，2020年7月的消费价格为，
根据题中所给的环比增长率公式可得：
，，
，所以，因此本结论正确；故答案为：①④
【点睛】理解同比增长率、环比增长率的定义，运用同比增长率、环比增长率的公式进行解题是关键.
18．（2022·重庆·高三专题练习）2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我为处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：
调查人数
300
400
500
600
700
感染人数
3
3
6
6
7
并求得与的回归方程为，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，则估计该疫苗的有效率为__________． （疫苗的有效率为；参考数据：；结果保留3位有效数字）
【答案】
【分析】先求出线性回归方程中的值，从而可求，再根据题设中的计算方法可求疫苗的有效率.
【详解】由题设表格中的数据可得，故，
故，而，
故疫苗有效率为，故答案为：.
19．（2022·河北·高三专题练习）现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________.
【答案】
【分析】事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出.
【详解】解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，.
“队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对，
.
表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则.
故答案为：
四、解答题
20．（2021·河北衡水中学模拟预测）某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（1）求选手甲在射击中得0分的概率；（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）分布列见解析，
【分析】（1）先由在100m处击中目标的概率为求出，进而求出，，再利用相互独立事件同时发生的概率进行求解；（2）先写出的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解.
（1）解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为
事件、、，三次都没有击中目标为事件，则．
设选手甲在m处击中目标的概率为，则．
由m时，得，所以，，所以，．
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为．
（2）解：由题设知，的可能取值为0，1，2，3．
，，，．
则的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望为．
21．（2021·山东潍坊·三模）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．
（1）求甲通过测试的概率；（2）设为本次测试中乙的得分，求的分布列；
（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？
【答案】（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲.
【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可；
（2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；
（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论.
【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分为4或，
，，
所以．
（2）的可能取值为0，2，3，4，5．
，，
，，．
0
2
3
4
5
0.288
0.384
0.072
0.128
0.128
（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率
甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．
【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定格式件会同时发生；（3）求出每个事件发生的概率，再求积.
22．（2021·山东烟台·二模）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2020年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩
人数
5
10
25
30
20
10
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数（结果四舍五入精确到个位）（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．
（参考数据：；若，则，，．）
【答案】（1）；（2）人；（3）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）有表格数据知样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，成绩优秀10人，利用古典概型的概率求法求概率即可.（2）由表格数据求，又，易知，依据正态分布的三段区间概率值即可求概率，进而估算该市全体考生中笔试成绩不低于85.9的人数.（3）由题意知，甲的总得分的可能取值为0，3，4，6，7，10，应用独立事件的乘法公式求各取值的概率，列出分布列，根据分布列求期望即可.
【详解】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共30人，其中成绩优秀10人．
∴．
（2）有表格数据知，，又，即，
∴，
由此可估计该市全体考生笔试成绩不低于85.9分的人数为人．
（3）考生甲的总得分的所有可能取值为0，3，4，6，7，10．
，，
，，
，，
的分布列为：
0
3
4
6
7
10
．
【点睛】（1）利用古典概型求概率的方法求概率.（2）利用正态分布的三段区间概率值求.
（3）确定甲的总得分的可能值，应用独立事件乘法公式求概率，进而可得分布列并求期望.
23．（2021·江苏如皋·高三期中）为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生､大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月-5月获得“运动达人”称号的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
“运动达人”员工数
120
105
100
95
80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；
（2）为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人
参与者
合计
男员工
60
80
女员工
20
60
合计
100
40
140
请补充上表中的数据（直接写出，的值），并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
参考公式：，，（其中）.
0.10
0.05
0.025
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1），6月份获得“运动达人”称号的有（人）
（2）表格答案见解析，没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关
【分析】（1）利用公式可求线性回归方程，并据此可得预测该运动品牌公司获得“运动达人”称号的员工数；
（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表可判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.
（1），，
，，∴，
由过，故，∴，
∴6月份获得“运动达人”称号的有（人）.
（2），，，
∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.
24．（2021·江苏盐城·二模）某公司对项目A进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目A投资金额x（单位：百万元）
1
2
3
4
5
所获利润y（单位：百万元）
0.3
0.3
0.5
0.9
1
（1）请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；
（2）该公司计划用7百万元对A、B两个项目进行投资．若公司对项目B投资百万元所获得的利润y近似满足：，求A、B两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附．①对于一组数据、、……、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
②线性相关系数．一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A投资的统计数据表中．
【答案】（1），用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；（2）对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
【分析】(1)根据给定数表，计算出，再代入最小二乘法公式及线性相关系数公式计算即得；
(2)由题设条件列出获得的总利润的函数关系，再借助均值不等式求解即得.
【详解】（1）对项目A投资的统计数据进行计算得：，，，
于是得，，
所以回归直线方程为：，
线性相关系数，这说明投资金额x与所获利润y之间的线性相关关系较强，用线性回归方程对该组数据进行拟合合理；
（2）设对B项目投资百万元，则对A项目投资百万元，
所获总利润，
当且仅当，即时取等号，
所以对A、B项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
25．（2021·山东肥城·三模）俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．”肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味儿美，营养丰富，被誉为“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍”上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商．
山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍”中随机抽检个，利用等级分类标准得到数据如下：
等级
级
级
级
个数
40
40
20
（1）以表中抽检的样本估计全市“大红袍”等级，现从全市上市的“大红袍”中随机抽取个，若取到个级品的可能性最大，求值；
（2）一北京连锁超市采购商每年采购级“大红袍”，前 20年“大红袍”在此超市的实际销量统计如下表：
销量（吨）
15
16
17
18
19
20
年数
2
4
5
6
2
1
今年级“大红袍”的采购价为万元/吨，超市以万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市计划今年购进吨或吨“大红袍”，你认为应该购进吨还是吨？请说明理由．
【答案】（1）；（2）吨；理由见解析.
【分析】（1）取到A级品的概率，随机抽取10个，取到A级品的个数根据二项分布的概率计算公式列出不等式即可求解.（2）超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为，列出分布列，求出数学期望，再设的可能取值为， 的可能取值为，列出分布列，求出数学期望，根据数学期望得出决策.
【详解】解：（1）由题意可知，从全市上市的“大红袍”中随机抽取1个，取到A级品的概率
从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个，取到A级品的个数
由得所以当时概率最大，所以．
（2）超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为
的可能取值为，的可能取值为
的分布列为
10.4
12
13.6
P
超市购进吨“大红袍”时，利润为，卖出的吨数为
的可能取值为， 的可能取值为
利润的分布列为
9.6
11.2
12.8
14.4
P
所以超市应该购进吨“大红袍”．
B卷（建议用时90分钟）
一、单选题
1．（2022·湖北·高三专题练习）如图，5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．R2变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
【答案】B
【分析】根据图中的点，计算去掉前后的相关系数、残差平方和、，即可判断各选项的正误.
【详解】由图，，，则，，，∴相关系数.令回归方程，则，
∴，即回归方程为，可得为，，，，，∴残差平方和，故，去掉后，
，，则，，，∴相关系数.∴，A、D正确；
令回归方程，则，∴，即回归方程为，可得为，，，，
∴残差平方和，故，∴，B错误，C正确；选：B
2．（2021·山东临沂·模拟预测）空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在校内测得10月1日—20日指数的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是（ ）
A．这天中指数值的中位数略大于 B．这天中的空气质量为优的天数占
C．10月4日到10月11日，空气质量越来越好 D．总体来说，10月中旬的空气质量比上旬的空气质量好
【答案】B
【分析】通过表格可知，数值越大，说明空气污染越严重，质量不好，数值越小空气质量越好.体现在图标上就是点的位置越高空气污染越严重，点的位置越低空气质量越好.可以通过将点计数来确定中位数的大概位置，以及空气质量为优的天数.
【详解】由折线图知以上有个，以下有个，中位数是两边两个数的均值，观察比的数离远点，因此两者均值大于但小于150,A错; 空气质量为优的有天，占，B正确;
10月4日到10月11日，空气质量越来越差，C错; 10月上旬的空气质量指数值在以下的多，
中旬的空气质量指数值在以上的多，上旬的空气质量比中旬的空气质量好，D错.故选：B.
【点睛】对表格和图表的解读是做题的关键，通过对A,B,C,D的逐项判断来选出正确答案.
3．（2021·福建·三模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据：
茶叶量克
1
2
3
4
5
4.34
4.36
4.44
4.45
4.51
可求得y关于x的回归方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给四个选项，分别取对数化简变形，由线性回归方程经过样本中心点，将表中数据求得代入即可检验.
【详解】由表中数据可知，，
对于A，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，因而A正确；
对于B，化简变形可得，同取对数可知，将代入可得，而，所以B错误；
对于C，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以C错误；对于D，，两边同取对数可知，而表中所给为的相关量，所以D错误；综上可知，正确的为A，故选：A.
【点睛】本题考查了线性回归方程的性质及简单应用，注意利用回归方程经过样本中心点的性质，可代入回归方程检验，属于基础题.
4．（2021·广东佛山·二模）A、B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的坐标信息如下表：
-0.93
-0.82
-0.77
-0.61
-0.55
-0.33
-0.27
0.10
0.42
0.58
0.64
0.67
0.76
-0.26
-0.41
-0.45
0.45
-0.60
-0.67
-0.68
-0.71
0.64
0.55
0.55
0.53
0.46
A小组根据表中数据，直接对y，x作线性回归分析，得到：回归方程为，相关指数；B小组先将数据依变换，进行整理，再对，u作线性回归分析，得到：回归方程为，相关指数根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好，由此可得拟合效果好的回归方程，然后整理变换可得答案.
【详解】由统计学知识可知，越大，拟合效果越好.
又A小组的相关指数，B小组相关指数
所以B小组拟合效果好，拟合效果越好越能反映该粒子运动轨迹，其回归方程为
又，，则，即故选：C
5．（2021·四川·树德中学高三期中）已知直线：将圆：分为，两部分，且部分的面积小于部分的面积，若在圆内任取一点，则该点落在部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线与圆的两个交点为，根据题意可分析出，从而求出；然后利用几何概型的概率公式即可求出答案.
【详解】把圆：，化为标准方程为，
所以圆的圆心，半径.点到直线的距离为，
设直线与圆的两个交点为，则，所以，
所以，所以该点落在部分的概率为.故选：D.
6．（2021·山东肥城·模拟预测）某公司为了促进技术部门之间良好的竞争风气，公司决定进行一次信息化技术比赛，三个技术部门分别为麒麟部，龙吟部，鹰隼部，比赛规则如下：①每场比赛有两个部门参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的部门与未参加此场比赛的部门进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个部门首先获胜两场，则本次比赛结束，该部门就获得此次信息化比赛的“优胜部门”．已知在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为．当麒麟部与龙吟部进行首场比赛时，麒麟部获得“优胜部门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设，麒麟部与龙吟部进行首场比赛且麒麟部获得“优胜部门”的情况有：
1、首场麒麟部胜，第二场麒麟部胜；2、首场麒麟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场龙吟部胜，第四场麒麟部胜；3、首场龙吟部胜，第二场鹰隼部胜，第三场麒麟部胜，第四场麒麟部胜；
再由独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.
【详解】设事件：麒麟部与龙吟部先比赛麒麟部获胜；
由于在每场比赛中，麒麟部胜龙吟部的概率为，麒麟部胜鹰隼部的概率为，龙吟部胜鹰隼部的概率为，
∴麒麟部获胜的概率分别是：，故选：D．
7．（2021·山东枣庄·二模）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率.若，则，，.有如下命题：甲：；乙：；丙：；丁：假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.其中假命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的特点判断A，B，C；先计算出一只口罩过滤率小于等于的概率，然后根据即可计算出的值并进行判断.
【详解】由题意可知，正态分布的；
甲．因为，所以，故正确；
乙．因为，所以，故正确；
丙．因为，且，
所以，故正确；
丁．因为一只口罩过滤率小于等于的概率为，
又因为，故错误；故选：D.
【点睛】思路点睛：解决正态分布问题的三个关键点：（1）对称轴；（2）标准差；（3）分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值；由分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为的特殊区间，从而求出所求概率.
8．（2021·湖北·襄阳四中模拟预测）电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.故选：D.
9．（2021·辽宁大连·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要秒，而目前世界最快的超级计算机要用亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解.
【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为 故答案为：C.
【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.
二、多选题
10．（2021·辽宁丹东·高三期中）假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下
品牌
甲
乙
其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，，，
因为，所以，，故正确的有ABD；故选：ABD
11．（2021·福建·三模）某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作年人均消费支出条形图（单位：元）和年人均消费支出饼图（如图）.已知年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是（ ）
A．年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高
B．年除医疗以外的人均消费支出金额等于年的人均消费总支出金额
C．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高
D．年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低
【答案】ACD
【分析】利用条形图和饼状图的性质逐项分析，可得出正确的选项.
【详解】年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，
年居民人均消费总支出为（元），
对于A，年的人均衣食支出金额为元，
年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高，故A正确；
对于B，年除医疗以外的人均消费支出金额为，
年的人均消费总支出金额为元，
年除医疗以外的人均消费支出金额不等于年的人均消费总支出金额，故B错误；
对于C，年的人均文教支出比例为，年的人均文教支出比例为，
年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高，故C正确；
对于D，其他支出元，年其他支出（元），
“其他”消费支出的年增长率为，
衣食支出的年增长率为：，
住支出的年增长率为：，
文教支出的年增长率为：，
医疗支出的年增长率为：，
年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低，故D正确.故选：ACD.
12．（2021·福建·厦门外国语学校模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则
B．设随机变量X服从二项分布，则
C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则
D．已知随机变量X服从正态分布且，则
【答案】ABC
【分析】对于A：由，解之可判断；
对于B，根据二项分布可判断；对于C，根据两点分布计算可判断；对于D：根据正态分布的对称性可判断；
【详解】对于A：对于，故A正确；
对于B，设随机变量X服从二项分布，则，故B正确；
对于C，因为且，故C正确；
对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.
，D错误；故选：ABC.
三、填空题
13．（2021·湖南·高三专题练习）对平面直角坐标系中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好.某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用(单位：百元)和网购图书的费用(单位：百元)的情况如图所示，现将，，和为第Ⅰ组点.将，和归为第Ⅱ点.在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为.给出下列四个结论：
①直线比直线的分类效果好；②分类直线的斜率为2；
③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于的同侧；④如果从第Ⅰ组点中去掉点，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是.其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③④
【分析】根据分类直线的定义判断.
【详解】由图象知：，
①当直线为分类直线时，，当直线为分类直线时，所以直线分类效果好，故错误；
②由图知定位L的位置由确定，所以直线L过点的外心，设直线方程为 则 ，解得，故正确；
③当到L的距离与到L的距离相等时为L的临界值，此时点在L的右侧，故正确；
④去掉点后，，解得，故正确；故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解分类直线的定义，如本题L的位置由确定.
14．（2021·北京昌平·二模）下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；则给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是________.
说明：1.在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与年3月相比较.
2.同比增长率=，环比增长率=.
【答案】①③
【分析】根据题中数据，根据环比、同比增长率的概念，即可判断①②的正误；设2020年3月居民消费价格为，4月消费价格为，5月消费价格为，6月消费价格为，7月消费价格为，根据环比增长率的公式，即可求得与的关系，同理可求得与的关系，即可判断③的正误，即可得答案.
【详解】对于①：由图可知2020年11月同比增长率为-0.5，由同比增长率的计算公式可得，2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故①正确；对于②：由图可知，2020年3月至6月的环比增长率为负，由环比增长率的计算公式可得消费价格下降，故②错误；对于③：设2020年3月居民消费价格为，4月消费价格为，5月消费价格为，6月消费价格为，7月消费价格为，
由题意得：，解得，
，解得，
，解得，
，解得，所以，
所以2020年7月消费价格低于2020年3月消费价格，故③正确.故答案为：①③
15．（2021·江苏如皋·高三期中）某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.
【答案】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．
【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，
该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，
由得，，，即，解得或，
又，，，，
该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．故答案为：，．
四、解答题
16．（2021·山东潍坊·高三期中）2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
（2）在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；
（3）转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】（1），中位数68.（2）分布列见解析；期望.
（3），当k=40时，最大
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.（2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.
（3）先求得等级B的概率，代入公式，可得的表达式，计算分析，即可得答案.
（1）由题意得：，解得，
因为，
所以中位数在内，设中位数为x， 则，解得，
所以这名学生成绩的中位数为68.
（2），，三组数据频率比为，
所以从，，三组中分别抽取7人，3人，1人，则可取0,1,2,3，
，，，，
则的分布列
0
1
2
3
P
期望
（3）B等级的概率为，则B等级有40人，
所以，所以，
即，解得，
所以当k=40时，有最大值.
17．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人.求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：.
【答案】（1）①；②；（2），有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【分析】（1）①利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式求得所求的次品率.
②根据条件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）先求得的表达式，利用导数求得，填写列联表，计算，由此作出判断.
【详解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为.
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.所以的最大值点为.
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100
根据列联表得
.
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关.
【点睛】求解最值点有关的题目，是利用导数研究函数的单调性，由此来求得最值点.
18．（2021·山东肥城·模拟预测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，定义：，，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系．
（1）给定一组变量，对于函数与函数，试利用定义求，的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数；
（2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求与的回归方程，并预测当时，的值为多少．
表中的，
附：对于一组数据，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）；；函数更适合；（2）；．
【分析】（1）由分别取时对应的函数值，再根据变量，分别求得，比较下结论；
（2）在中，令，得到，然后利用最小二乘法求得，写出关于的线性回归方程，进而得到关于的回归方程即可.
【详解】（1）对于函数，当分别取时对应的函数值为，
此时
对于函数，当分别取时对应的函数值为，
此时从而有，
因此由定义得选用函数更适合作为点中的与之间的拟合函数．
（2）在中，令，所以有，于是可建立关于的线性回归方程为，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为，
当时，，即可预测当时，的值为．
19．（2021·山东·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；（2）若累计得分为i的概率为，（初始得分为0分，）．①证明数列，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；②．
【分析】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，而每轮游戏的结果互相独立，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，即可求出X的期望；
（2）①根据累计得分为i的概率为，分两种情形讨论得分情况，从而得到递推式，再根据构造法即可证出数列是等比数列；
②根据①可求出，再根据累加法即可求出，然后由从而解出．
【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为，获得2分的概率为，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为，所以，，而，即随机变量X可能取值为3，4，5，6，
，，，．
∴X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
E（X）＝＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，，则，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为，
∴，∴，（i＝2，3，•••，19），∴数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列．
②∵数列，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴，
∴，，•••，，各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：．
【点睛】本题第一问解题关键是明确得1分的次数为服从二项分布，从而找到所求变量与的关系，列出分布列，求得期望；第二问①主要是递推式的建立，分析判断如何得到分的情况，进而得到，利用数列知识即可证出，②借由①的结论，求出，分析可知，从而解出．
20．（2021·江苏连云港·模拟预测）2020年以来，新冠病毒疫情肆虐全球我国在抗击新冠肺炎疫情中取得了世界瞩目的成绩，为其他国家提供了大量的医疗经验和防控措施.根据疫情防控需要现在要对某地区的份样本进行核酸检验，检测过程中每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验次；②混合检验，将其中（且）份样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这份的样本全为阴性，因而这份样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份样本究竟哪几份为阳性，就要对这份样本再逐份检验，此时这份样本的检验次数总共为次.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.（1）假设有10份样本，其中只有2份样本为阳性，现采用逐份检验方式对每一份样本进行检测，求经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中（且）份样本，每份样本是阳性结果的概率.记采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，求的概率分布列及数学期望；并说明采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少的的最大值是多少?
（参考数据：，，，.）
【答案】（1）；（2）分布列见解析，，的最大值是8.
【分析】（1）10份样本只有2份样本为阳性，经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来，则最后一次检验出的是阳性，前两次一阴一阳，检验的可能组合有种，而所有检验的可能组合有种，即可求概率.（2）由混合检验的方式知，而每份为阳性的概率为，即可写出分布列，进而求期望；由混合检验方式的总次数的期望比逐份检验的总次数期望少则，即有，构造应用导数研究单调性，找到的自变量区间，进而确定的最大值.
【详解】（1）设恰好经过3次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，
∴P(A)＝＝，即恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为．
（2）由已知，的所有可能取值为，．∴，，
故分布列为
∴，
若采用混合检验方式检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值少，则，得，
∵，∴，即，设，则，
∴当时，，即在上单调递减，
∵，又，∴的最大值为8．
【点睛】第二问，由题设确定，利用独立事件乘法公式求可能值的概率，写出分布列并求期望，由期望值的大小关系，确定不等式关系，由此构造函数并应用导数研究单调性求参数的最值.
21．（2021·江苏·常州市新桥高级中学三模）一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single算法在部署基站时可以把原来的、基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．
（1）现抽样调查英市所轴的地和地基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：
已覆盖
未覆盖
A地
20
80
B地
25
75
视样本的频率为总体的概率，假设从地和地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中地已覆盖的村比地多的概率；
（2）该市2020年已建成的基站数与月份的数据如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
283
340
428
547
701
905
1151
1423
1721
2109
2601
3381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型拟合比较合理，请结合参考数据，求基站数关于月份的回归方程．（的值精确到0.01）．附：设，则，，，，，，，对于样本，的线性回归方程有，．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用二项分布和互斥事件的概率计算，即可得到答案；（2）利用换元，设，则，可得与是线性相关关系，再根据最小二乘法求回归直线方程．
【详解】（1）用样本估计总体，抽到地覆盖的村概率为，抽到地覆盖的村概率为，
地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布
，
地抽到的2个村中基站覆盖的村个数为，则满足二项分布
，，
从地和地各随机抽取2个村，这4个村中地覆盖的村比地覆盖的村多的概率为
．
（2）由指数模型，设，则，则与是线性相关关系．
因为，，，，
所以，，
即，即．
【点睛】本题考查回归分析、随机变量分布列、二项分布等基础知识，求解时注意概率模型的应用，特别是第一问，在抽取时总体是未知的，不能误以为是在样本中抽导致求解出错.
22．（2021·山东·烟台二中三模）为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．（1）若，，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；（2）15
【分析】（1）根据可求得；（2）得出获得一个积分的，由已知可得，进而求得，根据甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，根据即可解得.
【详解】（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为和，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为；
（2）由（1）得
，
整理得，
因为且，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，
令，则，所以，则，
当时，，则当时，，
甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数满足，
所以由，即解得，因为为正整数，所以至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.
【点睛】解决本题的关键是先求得获得一个积分的，且根据求得其最大值，再由甲乙两同学在轮比赛中获得的积分数服从二项分布求解.
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