2.3.1-2.3.4 直线的交点坐标与距离公式-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

直线的交点坐标与距离公式要点一、直线的交点求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点二、过两条直线交点的直线系方程过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．要点三、距离公式两点间的距离公式为：. 要点四、点到直线的距离公式点到直线的距离为：. 要点五、两平行线间的距离两平行线间的距离为：. 【典型例题】类型一、判断两直线的位置关系例1．是否存在实数a，使三条直线，，能围成一个三角形？请说明理由．    举一反三：【变式1】直线5x+4y―2m―1=0与直线2x+3y―m=0的交点在第四象限，求m的取值范围．     类型二、过两条直线交点的直线系方程例2．求经过两直线2x―3y―3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y―1=0平行的直线方程．      举一反三：【变式1】求证：无论m取什么实数，直线(2m―1)x+(m+3)y―(m―11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．           类型三、对称问题例3．已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．      举一反三：【变式1】点P（―1，1）关于直线ax―y+b=0的对称点是Q（3，―1），则a、b的值依次是（    ）A．―2，2      B．2，―2      C．      D．   例4．在直线：3x―y―1=0上求一点P，使得：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．               举一反三：【变式1】已知点M（3，5），在直线：x―2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ周长最小．     类型四、两点间的距离例5．已知直线过点P（3，1），且被两平行直线1：x+y+1=0，2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线的方程．         举一反三：【变式1】如图，直线上有两点A、B，A点和B点的横坐标分别为x1，x2，直线方程为y=kx+b，求A、B两点的距离．    例6．已知函数，求的最小值，并求取得最小值时x的值．   举一反三：【变式1】试求的最小值．          类型五、点到直线的距离例7．已知直线：和直线：相交于点P（m∈R）．（1）用m表示直线与的交点P的坐标；（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．   举一反三：【变式1】过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．            【变式2】已知动点P（x，y）满足方程xy=1（x＞0）．（1）求动点P到直线距离的最小值；（2）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为，求满足条件的实数a的取值．  【解析】（1）由点到直线的距离公式可得：，当且仅当时距离取得最小值．（2）设点，则，设，则，设f（t）=(t―a)2+a2―2（t≥2），对称轴为t=a分两种情况：（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t=2时，f（t）取最小值∴，∴a2―2a―3=0，∴a=―1（a=3舍）．（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，∴t=a时，f（t）取最小值，∴，∴（舍）．    综上所述，a=―1或．   类型六、两平行直线间的距离例8．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．（1）求d的变化范围；（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．    举一反三：【变式1】已知直线1：2x―y+a=0（a＞0），直线2：―4x+2y+1=0和直线3：x+y―1=0，且1与2的距离是．（1）求a的值；（2）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到1的距离是P点到2的距离的；③P点到1的距离与P点到3的距离之比是．若能，求P点坐标；若不能，请说明理由．