云南省昆明市第一中学2022届高三第八次考前适应性训练数学（理）试题

昆明市第一中学2022届高中新课标高三第八次考前适应性训练

理科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，若，则由实数a组成的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由题设可知集合是集合的子集，集合可能为空集，故需分类讨论

【详解】解析：由题意，当时，的值为；

当时，的值为；

当时，的值为，

故选：D

2. 若，其中为虚数单位，则实数m的值为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】由复数乘法可得，根据复数的性质列不等式组，即可求m值.

【详解】由题意得：，则，可得.

故选：B.

3. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对数函数的性质判断a、b、c的大小.

【详解】由，

所以.

故选：A

4. 在“绿水青山就是金山银山”发展理念的指导下，治沙防沙的科技实力不断提升，并为沙漠治理提供了有力的资金和技术支持.现在要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量，将该地区分成面积相近的150个地块，用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得，则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为（    ）

A. 600，1200 B. 600，12000 C. 60，1200 D. 60，12000

【4题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据样区的数据，可得到该地区的的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均数估计值，从而可得答案.

【详解】该地区的的植物覆盖面积的平均数估计值为公顷

所以该地区的的植物覆盖面积估计值为，

这种野生动物数量的估计值为，

故选：B

5. 函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数值的符号判断排除可得选项.

【详解】解：因为函数的定义域为R，且，

所以函数是奇函数，故排除C、D，

又，故排除B选项.

故选：A.

6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经知道地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量大约是2022年1月2日在云南丽江市宁蒗县发生5.5级地震所释放能量的倍数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知直接求出相应能量，然后可得.

【详解】设日本地震释放的能量为，云南地震释放的能量为，则，，所以.

故选：A

7. 已知为所在平面上一点，若,则为的

A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心

【7题答案】

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：，所以，同理：，所以为的垂心．

考点：1．向量垂直的充要条件；2．向量与平面几何．

8. 已知圆周率满足等式，如图是计算的近似值的程序框图，图中空白框中应填入（    ）

A  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】观察选项模拟程序运行，即可得出答案.

【详解】模拟程序的运行过程知，，，满足条件；

，，满足条件；

，，满足条件；

……

，

根据以上分析判断空白处应填写，

故选：C

9. 已知数列，满足，若对任意恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】依题意，小于的最小值，分为奇数和偶数讨论可得.

【详解】当为奇数时，，，由对任意恒成立得，即；当为偶数时，，，由对任意恒成立得，所以.

故选：D.

10. 已知分别是椭圆的左､右焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称点，且，，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的定义和勾股定理即可求出离心率的值．

【详解】由题意，，根据椭圆的对称性知线段与互相平分，

且可得四边形为矩形，得，在△中，

得，得，，

故选：D.

11. 已知函数，有下述四个结论

①的最小正周期为；

②的图象关于直线对称；

③的最大值为；

④在上单调递减

其中所有正确结论的编号为（    ）

A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④

【11题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】利用平方关系、诱导公式和二倍角公式变形为，由周期公式可判断①；根据对称性求得函数的对称轴，可判断②④；当，得函数的最大值，可判断③.

【详解】

，所以的最小正周期为，①错误；令，，所以，，令，得，②正确；当，，的最大值为，③正确；由，，当时，得函数的一条对称轴，因为，所以在上不单调，④错误.

故选：C.

12. 在三棱锥中，，点P到三角形三边的距离相等，且点P在平面上的射影落在三角形内，则与平面所成角的正切值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据点P到三角形三边的距离相等，可知点P在底面的射影为三角形的内心，然后利用三角形面积公式可得.

【详解】设点在平面内的射影为点，作，

则，易知，

又点在平面上的射影落在三角形内，

所以，所以点为三角形的内心，

设三角形的内切圆的半径为，三角形的内切圆与边切于点，

因为，，，

所以，

又，

所以，在直角三角形中，，，

所以，因为平面，

所以为与平面所成的角，

因为，所以，

所以与平面所成角的正切值为.

故选：C.

【点睛】

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若则函数的最小值为________．

【13题答案】

【答案】1

【解析】

【分析】结合图象可得答案.

【详解】

如图，函数在同一坐标系中，

且，所以在时有最小值，即.

故答案为：1.

14. 已知数列满足，则___________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据和的关系可得.

【详解】记数列的前n项和为，则由题知，当时，；当时，，所以.

故答案为：

15. 计算机从区间内产生1000个均匀随机数，记为，构成500个数对，其中满足的数对有349个，根据随机模拟实验估计的值为___________.

【15题答案】

【答案】##

【解析】

【分析】根据数对个数比与面积比的关系可得.

【详解】如图，记阴影部分面积为，则，而，所以.

故答案为：

16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右支分别交于A，B两点，，向量与向量的夹角为，则双曲线的离心率为___________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】设，利用双曲线定义得，，然后在和中使用余弦定理可解.

【详解】设，由，则，由双曲线定义知，，因为向量与向量的夹角为，所以有，在三角形中，，即

解得，在三角形中，，即

，把代入，化简得，即，所以椭圆的离心率为.

故答案为：

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 在中，角，，所对边分别为，，，且.

（1）求的值；

（2）已知的平分线交于点，若的面积是面积的倍，且，求的面积.

【17~18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）用正弦定理边化角得到，

合并化简即可求解；

（2）由题意得到，再分别用余弦定理解和，

通过解方程求出和即可求解.

【小问1详解】

因为，

所以，由正弦定理得：，

所以，又因为，且

所以，所以.

【小问2详解】

和中，由余弦定理得：

，

，

因为，且，

所以，

因为，

又因为平分，所以，

所以，，

所以解得：，，，，

因为，所以，

所以.

即 的面积为

18. 某科技公司为制订下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，对近10年研发资金投入量和销售额数据作了初步处理，得到下面的散点图.

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售额y关于年研发资金投入量x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）①根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（精确到0.001）；

②若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x约为多少亿元？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.参考数据：其中.

【18~19题答案】

【答案】（1）   

（2）①；②40亿元

【解析】

【分析】（1）根据散点图可得答案；

（2）根据所给数据和公式计算即可.

【小问1详解】

适宜作为年销售量额关于年研发资金投入量的回归方程类型.

【小问2详解】

①由，得，即

，

则关于的回归方程为

所以，即

②若下一年销售额需达到90亿元，则由，得，

，所以预测下一年的研发资金投入量约为40亿元.

19. 如图所示，直三棱柱的所有棱长均为2，点D为的中点，点E为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，利用三角形中位线可证；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法可得.

【小问1详解】

连结，，

因为侧面为矩形，所以点为的中点，

又因为点为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以，平面.

【小问2详解】

设的中点为，因为为正三角形，所以，过点O作的平行线为z轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，,,,

由中点坐标公式可得，，

设是平面的一个法向量，

则因为，，

所以，，令，

所以，，因为，所以，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

20. 设O为坐标原点，已知的重心恰为抛物线的焦点F，若A，B，C三点均在E上，且.

（1）求抛物线E的方程；

（2）若，求.

【20~21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）：根据重心坐标公式与抛物线焦半径公式即可求解，从而得抛物线方程；

（2）：由解得点坐标，根据A，B，C三点坐标关系列方程分别求解A，B的坐标，从而求得．

【小问1详解】

设，，，，

因为为△的重心，所以，即，

由抛物线的定义可知，

故v，所以抛物线的方程为；

【小问2详解】

因为，所以，所以（舍）或，

当时，，由（1）可知，即，

由得，即，由得，

若，则，，则，则，

若，则，，则，则，

当时，，同理可知．

21. 设函数．

（1）已知在点处的切线方程是，求实数，的值；

（2）在第（1）问的条件下，若方程有唯一实数解，求实数的值．

【21题答案】

【答案】（1），；（2）．

【解析】

【分析】（1）当时，求得，得到，再由，联立方程组即可求解；

（2）根据题意转化为有唯一实数解，设，求得，令，利用二次函数的性质，得到函数单调性与最值，进而得到，结合的单调性，求得方程的解为，代入，即可求解.

【详解】（1）当时，可得，所以，即，

因为，即，即

联立方程组，解得，．

（2）由方程有唯一实数解，即有唯一实数解，

设，则，

令，

因为，所以，且，所以方程有两异号根，

设，，因为，所以应舍去，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

当时，，取最小值，

因为有唯一解，所以，则，即，

因为，所以．（*）

设函数，

因为当时，是增函数，所以至多有一解，

因为，所以方程（*）的解为，

将代入，可得．

【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

22. 在直角坐标系中，曲线E的参数方程为（t为参数），过点的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且满足.

（1）求E的普通方程；

（2）求直线的斜率与直线的斜率之和，

【22~23题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先确定y的范围，再根据x,y的表达式特点，消去参数，得普通方程；

（2）设直线的参数方程，联立方程组，根据参数的几何意义分别得到的表达式，结合三角函数知识，可得两直线的倾斜角的关系，即得答案.

【小问1详解】

因为，所以，

因为，

所以的普通方程为.

【小问2详解】

由题意可知，直线的斜率与直线的斜率存在,

设直线的参数方程为，t为参数，即为直线AB的倾斜角，

代入的方程并化简得，所以，

，

设直线的倾斜角为，同理可得，

因为，所以，

由 ，所以，

因为，所以，所以直线的斜率与直线的斜率之和为.

23. 已知a，b，c为正数.

（1）求的最小值；

（2）求证：

【23~24题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1），然后利用均值不等式可得答案；

（2）由， ，可证明.

【小问1详解】

因为，当且仅当“”时等号成立，

所以当时，最小值为.

【小问2详解】

因为，同理，，

所以三式相加得，

所以，当且仅当“”时等号成立