云南省昆明市第一中学2021-2022学年高三第十次考前适应性训练理科数学试题及答案

昆明一中2022届高三第十次联考

理数参考答案

一、选择题 

1. 解析：由题意，，则，选B．

2. 解析：由图可知选D.

3. 解析：因为，所以，，，选C．

4. 解析：由题意：将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵，依次构成首项为且公比为的等比数列，所以该问题中先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有人，选D .

5. 解析：当过曲线上某点的切线与平行时，切点到直线的距离最小，设切点为，则，得，此时圆心坐标为，半径，所求圆的方程为，选C．

6. 解析：当时，由得，两式相除得，所以数列的奇数项构成等比数列，偶数项也构成等比数列，由得，当为偶数时，，所以，选B .

7. 解析：因为角终边上点，

所以，，，选C .  

8. 解析：由题意，，，，

由，得，，

又，得，则，选B．

9. 解析：因为，即，解得，

又，所以是奇函数，所以，A错误，，当时，单调递增，又，所以，B错误，根据奇偶性可知为上的单调递增函数，所以，C错误，

，D正确，选D．

10. 解析：当球与四棱锥表面相切时，球的半径最大，设，由四棱锥的体积解得，球直径，球的表面积为，选A.

11. 解析：因为函数有两个零点，，所以函数与函数的图象有两个交点，所以两个交点的横坐标分别为，，设，

则，则有

①；②，②①得，得，所以得，选A .

12. 解析：因为，所以，所以

所以，当时，，又适合上式，所以，，所以，所以，因为，所以函数

单调递增，所以当，有最小值为，选B .

二、填空题

13.解析：与的夹角为，.

14. 解析：摸出的个球恰有两种颜色，其中一种颜色的球有两个，另一种颜色的球有一个，故.

15. 解析：设复数，则，得，所以在以点为圆心，为半径的圆周上，则可以为点与点的距离，其最大值为．

16. 解析：如图，取的中点，的中点为，易得平面，所以，同理平面，所以，所以平面，又动点在四边形内及其边界上运动，所以动点的轨迹是线段，且，所以①错误；②正确；对于③取的中点，连结，，，则三角形为直角三角形，因为，，所以，又动点在四边形内及其边界上运动，所以动点的轨迹是以点为圆心，半径为的半圆，动点到点的距离有最小值为，所以③错误；④正确，所以所有正确结论的编号为②④ .

三、解答题

（一）必考题

17. 解：（1）△同时满足①，③，④．因为：

若△同时满足①，②，则在锐角△中，

因为，所以，又因为，所以，

所以，与△是锐角三角形矛盾，所以△不能同时满足①，②.                      

由已知得：△一定同时满足③，④ .                            

因为，所以，若△满足②，则 ，所以，则，与△是锐角三角形矛盾，所以△不满足②.                                     

所以△满足①，③，④．                       ………6分

（2）因为，所以 ，

解得或．                                            

当时，，所以为钝角，与已知矛盾，

所以，所以△的面积为：．    ………12分

18. 解析：（1）

所以有99%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．   ………6分

（2）从被调查人群中随机选出3人，打算购买冰墩墩的人数可能取值为，

可得,

,

则随机变量的分布列为：

所以期望为：．          ………12分

19. （1）证明：连结，因为，为的中点，

所以，

又因为，所以，

所以平面，

又因为，

所以四点共面，即平面，

所以.   ………6分

（2）不妨设，如图所示，为△的外接圆圆心，为的中点，

则四边形为矩形，所以，

以为原点建立空间直角坐标系如图，依题意得，

，，，，，

是平面的一个法向量，

则因为，，

所以，，令 ，

所以，， 因为，

所以，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.………12分

20.（1）解：由题意可知，则，故抛物线的方程为：，

不妨设点在第一象限，则为锐角，故，又，

故，故，，则点的坐标为，

又因为点在椭圆上，即有，即，即，

即解得或(舍)；………6分

（也可由椭圆的定义得，得.）

（2）证明：设点，，，，，，

i.当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，

则直线的方程为，，

由消整理得：，故，

由消整理得：，故，

，

，设存在实数使得为定值，

即为定值，

则需，即，即

由(1)可知：，故，

即，又

故为定值   ………11分

ii.当直线的斜率为零时，，，

此时，

故也成立.   ………12分

21. 解：（1）由得：，

当时，恒成立，

当，即时，恒成立；

当，即时，，解得：

综上所述：

当时，由恒成立得：恒成立

设，则，令得：

当时，；当时，

所以 ，即.

综上所述：的取值范围为：                        ………6分

（2），因为在上存在零点，

所以在上有解，即在上有解

又，即，在上有解；

设，则，令得：

当时，；当时，

所以，即，所以；

设，则；

同理可证：，即，则在上单调递减，在上单调递增

所以，即.                          ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）设点是双纽线上的一动点，则由得

，化简得，

因为点关于轴的对称点的坐标满足方程，

所以双纽线关于轴对称. ………5分

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则双纽线的极坐标方程为

，化简得

所以的最大值为，所以的最大值为.………10分

23. 解：（1）设点，则，

当时，，

因为，所以，

当时，，

因为，所以，综上所述.………5分

（2）由柯西不等式得，

所以，所以当时，取得最大值，

所以当，使得成立.………10分