清单02 常用逻辑用语（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单02 常用逻辑用语（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单02 常用逻辑用语
一、知识与方法清单
1. “⇒”及“⇔”的含义
“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,
“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.
【对点训练1】给出下列结论：①；②；③,其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D .3
【答案】 C
【解析】①②正确,③错误,故选C.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
【对点训练2】（2021江西南昌二中、河南实验中学高三5月冲刺联考）已知,,则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于在R上的最大值为2,最小值,且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期,即,所以若存在使得,则必有,但反之不成立,比如时,,但在上的最大值为2,最小值为,时的最大值为3,不可能等于4,∴“存在使得”是“”的充分不必要条件,
故选A.
3.充分条件与必要条件的理解
充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”
【对点训练3】若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设f(x)＝x＋lnx,显然f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∵a>b,∴f(a)>f(b),
∴a＋lna>b＋lnb,故充分性成立；
∵a＋lna>b＋lnb,
∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立,
故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要条件,故选C.
4.从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
【对点训练4】（2021湖北省武汉市华中师大一附中高三上学期期中）“”是“,是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意,命题“,是假命题”可得命题“,是真命题”,当时,即时,不等式恒成立；
当时,即时,则满足,解得,
综上可得,实数,即命题“,是假命题”时,实数的取值范围是,又由“”是“”的必要不充分条件,
所以“”是“,是假命题”的必要不充分条件,
故选B.
5.判断充分条件、必要条件的注意点
(1)明确条件与结论.
(2)判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
(3)可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.
【对点训练5】设a,b为正数,则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】∵a－b>1,即a>b＋1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1,即a2－b2>1成立；反之,当a＝,b＝1时,满足a2－b2>1,但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
6.充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
①p是q的充分条件；②p的充分条件是q.
【对点训练6】已知,命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,为真命题,所以,,因为函数在上单调递增,所以,所以
又因为,所以命题“,”是真命题的一个充分不必要条件为,故选C
7. 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【对点训练7】设命题,命题,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意得,,解得,所以,由
,解得,即,要使得是的充分不必要条件,则,解得,所以实数的取值范围是.
8.充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
【对点训练8】证明数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1
证明：充分性:当q=-1时,a1=p-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时,上式也成立.
于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p,即数列{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1,
所以an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p.
因为{an}为等比数列,
所以a2a1=an+1an=p=p(p-1)p+q,所以q=-1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
9.求充要条件的方法
求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.
【对点训练9】已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5 (2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5 (3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5 【解析】由M∩P={x|5
(1)M∩P={x|5 (2)M∩P={x|5 (3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是M∩P={x|5 故a<-3时为必要不充分条件.
10.全称量词与全称命题
(1)全称量词:在指定范围内,表示整体或全部的含义的短语,如“所有的”“任意一个”,符号: .
常见的全称量词:一切、任意、任给、每一个、都是(有)、全体、全部、…,
(2)全称命题:含有全称量词的命题叫做全称命题.符号表示: .
全称命题∀x∈M,p(x)为真的含义是:对M中的每一个个体x,都具有或满足性质p(x),毫无例外.
【对点训练10】设非空集合P,Q满足P⊆Q,则表述正确的是(　　)
A.∀x∈Q,有x∈P B.∀x∈P,有x∈Q
C.∃x0Q,使得x0∈P D.∃x0∈P,使得x0Q
【答案】B
【解析】因为P⊆Q,则由子集的定义,P集合中的任何一个元素都在Q中,所以选B.
11.存在量词与特称命题
(1)存在量词:表示个别或一部分的含义的短语,如“存在一个”,“至少有一个”.符号: .
常见的存在量词:有一个、有一些、有的、对某个、不都是、个别的、部分、….
(2)特称命题:含有特称量词的命题叫做特称命题.符号表示:
特称命题∃x0∈M,p(x0)为真的含义:在M的个体中,至少有一个x0具有或满足性质p(x0),而不是所有的个体都不具有性质p(x).
【对点训练11】下列语句不是特称命题的是　(　　)
A.有的无理数的平方是有理数
B.有的无理数的平方不是有理数
C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数
D.存在x0∈R,2x0+1是奇数
【答案】C.
【解析】因为“有的”“存在”为存在量词,“任意”为全称量词,所以选项A,B,D均为特称命题,选项C为全称命题.
12.理解全称命题及特称命题时应关注的三点
(1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“一切”“每一个”等,相应的词语是“都”.
(2)有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
(3)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“存在”等
【对点训练11】下列命题中为假命题的是(　　)
A．∀x∈,x＞sinx
B．∃x0∈R,sinx0＋cosx0＝2
C．∀x∈R,3x＞0
D．∃x0∈R,lgx0＝0
【答案】B
【解析】对于A,令f(x)＝x－sin x,则f′(x)＝1－cos x,当x∈时,f′(x)＞0.从而f(x)在上是增函数,则f(x)＞f(0)＝0,即x＞sin x,故A正确；对于B,由sin x＋cos x＝sin≤＜2知,不存在x0∈R,使得sin x0＋cos x0＝2,故B错误；对于C,易知3x＞0,故C正确；对于D,由lg 1＝0知,D正确．故选B.
13.全称命题与特称命题真假的判定
要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x＝x0,使p(x0)成立即可．
【对点训练13】（2021江苏省扬州市高三上学期调研）有四个关于三角函数的命题：
；
；
；
；
其中真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以的最大值为,
可得不存在,使成立,得命题是假命题.
因为存在,使成立,故命题是真命题.
因为,所以,结合得
由此可得,得命题是真命题.
因为当时,,不满足,
所以存在,使不成立,故命题是假命题．故选B.
14.对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
【对点训练7】（2021四川省泸州市泸县高三一诊）已知命题,或,则为　　
A．,且 B．,或
C．,或 D．,且
【答案】D
【解析】命题,或,为全称命题,则为：,且,故选．
15．含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．
(1)恒成立问题
①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；
②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)max ③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,则 F(x)min >0；
④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,则 F(x) max <0；
⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)max；
⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) (2)存在性问题
①. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) max >A；
②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min ③. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),则F(x) max >0；
④. ∃x0∈D,使得f(x0) ⑤. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) max > g(x) min；
⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) 【对点训练15】已知函数,若命题“,”为假命题,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知且,命题“,”为真命题,
当时,,易知在上单调递减,其最小值为,
则由恒成立得,即；
当时,恒成立,则,此时函数为增函数,
故,得．
综上,,即实数的取值范围是．故选A
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021黑龙江省大庆高三第四次模拟）命题“,”的否定是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题“,”的否定是“,”.故选B.
2.（陕西省安徽省合肥市高三6月最后一卷）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由直线与圆相交,得圆心到直线的距离为,解得,而Ü,由集合的关系可知,是直线与圆相交的必要不充分条件.故选B
3.（2021浙江省宁波市高三下学期高考模拟） “”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】,
,
因为推不出,能推出,
所以“”是“”成立的必要不充分条件.故选B
4.（2021百师联盟高三冲刺卷）已知直线,,,平面,,则的一个充分条件可以是（ ）
A．,,, B．,
C．, D．,
【答案】C
【解析】对于A选项：平面内两条直线a,b平行时,在内可作直线l使,则,此时不能推得,即A错误；
对于B选项：因,,则l可与,的交线平行,此时不能推得；
对于C选项：直线l必与平面,都相交,过l的平面交于直线m,交于直线,
因,则,而,则,即,过l的平面交于直线n,交于直线,n与m相交,同理,
所以,即C正确；
对于D选项：因,则平面内存在直线c//a,在内作直线l⊥c,则l⊥a,此时不能推得,即D错误.故选C
5.（2021学科网高三5月大联考）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：因为恒成立,所以是假命题；对于B：当时,,所以是假命题；
对于C：当时,,所以是真命题；
对于D：因为,所以是假命题.故选C
6.（2021四川省内江市高三月考）已知函数,命题：,,若为假命题,则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为命题：,,且为假命题,所以,恒成立,即函数与轴无交点,所以或,解得或,
故选C
7.（2021安徽省池州市高三上学期12月月考）已知,命题,则（ ）
A．p是假命题；
B．p是假命题；
C．p是真命题；
D．p是真命题；
【答案】D
【解析】当时,令,则,即在上单调递减,且,所以在恒成立,即在上恒成立,,
即命题,为真命题
根据全称命题的否定为特称命题可知,
8.（2021. 浙江省丽水、湖州、衢州三地市高三4月教学质量检测）“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于的方程有解,等价于函数与的图象有公共点,函数的图象是以原点为圆心,1为半径的上半圆,y=|x-m|的图象是以点(m,0)为端点,斜率为且在x轴上方的两条射线,如图：

y=x-m与半圆相切时,点(m,0)在B处,,y=-x+m与半圆相切时,点(m,0)在A处,,当y=|x-m|的图象的顶点(m,0)在线段AB上移动时,两个函数图象均有公共点,所以“关于的方程有解”的充要条件是,B不正确；因,,
即是的必要不充分条件,A正确；
,,
即是的充分不必要条件,C不正确；
,,
即是的不充分不必要条件,C不正确.故选A.
9．已知复数满足,则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

．分析选项可知只有A正确．故选A．
10.（2021八省名校2021届高三新高考冲刺大联考）已知命题,命题,,若是成立的必要不充分条件,则区间可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】命题,,则,
所以,解得或,
又是成立的必要不充分条件,所以Ü,
所以区间可以为,故选B.
11.定义,设、、是某集合的三个子集,且满足,则是的（ ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】如图,由于,
故两个阴影部分均为,
于是,
（1）若,则,,
而,
成立；
（2）反之,若,
则由于,,
,
,
,
故选：A

12．（2021江苏省苏州市高三下学期三模）角是△的两个内角.下列六个条件中,“”的充分必要条件的个数是
①； ②； ③；
④； ⑤； ⑥.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理可知,,所以,；
在△ABC中,故；
函数在区间上单调递减,故；
因为,
所以；
当时,无意义,则③⑥均不是“”的充分必要条件.
综上可得：“”的充分必要条件的个数是4．故选D．
13．（2021陕西省西安高三下学期八校联考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数,那么“”是“成立”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“”,设 其中
即“”成立能推出“”成立
反之,例如 满足但,即成立,推不出,故“”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件,故选A
14.（2021北京市清华附中高三考前热身）已知．则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,,
则或,
由得,
由得,
显然,,
所以“”是“”的充分不必要条件.故选A
15．（2021北京市北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测）已知无穷数列满足(为常数),为的前项和,则“”是“和都有最小项”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】数列满足(为常数),即(为常数).
所以数列是以为公差的等差数列.当,时,,此时无最小值.所以由,不能得出和都有最小项.
若有最小值,则为常数列和单调递增数列,则.
若有最小值,
若时,,当时,满足有最小值.
若时,是关于的二次函数,要使得有最小值,则开口向上,;
所以和都有最小项,则
所以“”是“和都有最小项”的必要不充分条件.故选B
16.（2021重庆市第八中学高三下学期第五次模拟）已知都是q的充分条件,p是q的必要条件,r是p的必要条件,则（ ）
A．s是r的既不充分也不必要条件 B．s是p的必要条件
C．q是r的必要不充分条件 D．p是r的充要条件
【答案】D
【解析】由题意,都是q的充分条件,p是q的必要条件,r是p的必要条件,可得,所以,所以,所以s是r的充分条件,故A错误；s是p的充分条件,故B错误；q是r的充要条件,故C错误；p是r的充要条件,故D正确；故选D.
二、多选题
17．（2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟）已知命题,,,则（ ）
A．是真命题 B．是真命题
C．是真命题 D．的否定为“,”
【答案】ACD
【解析】对于命题,,所以为真命题,
对于命题,在上递减,所以为假命题.
则为真命题,
的否定为“”,正确.故选ACD.
18．（2021湖南省郴州市高三3月第三次教学质量监测）已知函数的最大值为2．则使函数在区间上至少取得两次最大值的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】的最大值为2,
∴,解得或（舍去）,
,
当时,函数取得最大值,
当时,取得前两个最大值时,分别为0和1,当时,由,
得,所以,故选BCD．
19．（2021山东省临沂市高三 二轮复习联考）下列四个条件中,能成为的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对于选项：若 ,则,则,
反之,当时得不出,
所以是的充分不必要条件,故正确；
对于B选项：由可得,即能推出；
但不能推出因为的正负不确定) ,
所以是的充分不必要条件,故B正确；
对于C选项：由可得,则,不能推出；
由也不能推出(如) ,
所以是的既不充分也不必要条件,故C错误；
对于D选项:若,则,反之得不出,
所以是的充分不必要条件,故选项D正确．故选ABD．
三、填空题
20．（2021青海省西宁市高三一模）若“”是真命题,则实数的最小值为_____________.
【答案】1
【解析】若“ ”是真命题,则大于或等于函数在的最大值,因为函数在上为增函数,所以函数在上的最大值为1,所以 ,即实数 的最小值为1.
21．（2021江苏省南通学科基地高三全真模拟）墨子·经说上》上说：“小故,有之不必然,无之必不然,体也,若有端,大故,有之必然,若见之成见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想,那么文中的“小故”指的是逻辑中的___________(选“充分条件”.必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空)
【答案】必要条件
【解析】由“小故,有之不必然,无之必不然也”,知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件,故“小故”指的是逻辑中的必要条件.
22．已知命题：,命题：,若是的充分不必要条件,则的取值范围为______．
【答案】
【解析】,
,故,是的充分不必要条件,则 , ,即.
四、解答题
23．已知函数.
（1）若,求证：函数在区间内是增函数；
（2）求证：“”是“在区间内存在唯一实数,使”的必要不充分条件.
【解析】（1）证明：,
当时,令,
则在区间内,
,
所以在区间上单调递增.
所以,
所以.
所以函数在区间内是增函数.
（2）当时,由（1）可知,
函数在区间内是增函数,
而,
所以当时,
,
即“在区间内存在唯一实数,使”不成立,
所以充分性不成立,下面证明必要性：
令,
问题等价于“函数在内有唯一零点”,
设,
则.
由,,
所以在和上均存在零点,
即在上至少有两个零点.
令,得,
所以.
此时在上递减,在上递增.
所以在上有最小值.
因为
,
设,
则,
令,
得.
当时,,递增,
当时,,递减,
所以,
所以恒成立.
若有两个零点,
则有,
,.
由,,
得.
当时,
设的两个零点为,,
则在递增,在递减,在递增.
所以,.
所以在内有唯一零点.
所以在内有唯一零点
即在区间内存在唯一实数,
使.
所以实数a的取值范围是,
可知成立.
综上,“”是“在区间存在唯一实数,
使”的必要不充分条件.