第九章 第二节 磁场对运动电荷的作用-2022高考物理【导学教程】新编大一轮总复习（word）人教版学案

第二节　磁场对运动电荷的作用　

一、洛伦兹力

1．定义

__运动__电荷在磁场中所受的力。

2．大小

(1)v∥B时，F＝__0__。

(2)v⊥B时，F＝__qvB__。

(3)v与B夹角为θ时，F＝__qvBsin_θ__。

3．方向

(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向。

(2)方向特点：F⊥B，F⊥v。即F垂直于__B、v__决定的平面。(注意B和v可以有任意夹角)。

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．洛伦兹力的特点

洛伦兹力不改变带电粒子速度的__大小__，或者说，洛伦兹力对带电粒子__不做功__。

2．粒子的运动性质

(1)若v0∥B，则粒子__不受洛伦兹力__，在磁场中做__匀速直线__运动。

(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做__匀速圆周运动__。

3．基本公式

(1)向心力公式：qvB＝　m　。

(2)轨道半径公式：r＝　　。

(3)周期公式：T＝＝；f＝＝　　；

ω＝＝2πf＝　　。

◆特别提醒

T的大小与轨道半径r和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷有关。

[自我诊断]

判断下列说法的正误。

(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。(×)

(2)洛伦兹力的方向、粒子运动方向、磁场方向两两相互垂直。 (×)

(3)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动。(√)

(4)洛伦兹力可以做正功、做负功或不做功。(×)

(5)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度的大小无关。(√)

(6)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与粒子的比荷无关。(×)

(7)带电粒子在电场越强的地方受电场力越大，同理，带电粒子在磁场越强的地方受磁场力越大。(×)

考点一　对洛伦兹力的理解

1．洛伦兹力方向的特点

(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分正、负电荷。

2．洛伦兹力与电场力的比较

[题组突破]

[洛伦兹力的特点]

1．下列关于洛伦兹力的说法中，正确的是(　　)

A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同

B．如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变

C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直

D．粒子在只受到洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变

[解析]　因为洛伦兹力的大小不但与粒子速度大小有关，而且与粒子速度的方向有关，如当粒子速度与磁场垂直时F＝qvB，当粒子速度与磁场平行时F＝0。又由于洛伦兹力的方向永远与粒子的速度方向垂直，因而速度方向不同时，洛伦兹力的方向也不同，所以A选项错误。因为＋q改为－q且速度反向，由左手定则可知洛伦兹力方向不变，再由F＝qvB知大小也不变，所以B选项正确。因为电荷进入磁场时的速度方向可以与磁场方向成任意夹角，所以C选项错误。因为洛伦兹力总与速度方向垂直，因此，洛伦兹力不做功，粒子动能不变，但洛伦兹力可改变粒子的运动方向，使粒子速度的方向不断改变，所以D选项错误。

[答案]　B

[洛伦兹力对运动的影响]

2．(多选)一个带正电的小球沿光滑绝缘的桌面向右运动，速度方向垂直于位于桌子右侧方向水平向里的匀强磁场，如图所示，小球飞离桌面后落到地板上，设飞行时间为t1，水平射程为x1，着地速度为v1。撤去磁场，其余的条件不变，小球飞行时间为t2，水平射程为x2，着地速度为v2，则下列论述正确的是(　　)

A．x1＞x2　　　　　　　 B．t1＞t2

C．v1和v2大小相等  D．v1和v2方向相同

[解析]　当桌面右边存在磁场时，由左手定则可知，带正电的小球在飞行过程中受到斜向右上方的洛伦兹力作用，此力在水平方向上的分量向右，竖直分量向上，因此小球水平方向上存在加速度，竖直方向上的加速度a＜g，桌面高度一定，所以t1＞t2，x1＞x2，A、B对；又因为洛伦兹力不做功，故C对；两次小球着地时速度方向不同，D错。

[答案]　ABC

[洛伦兹力作用下物体运动情况分析]

3．(多选)如图所示，a为带正电的小物块，b是一不带电的绝缘物块(设a、b间无电荷转移)，a、b叠放于粗糙的水平地面上，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力F拉b物块，使a、b一起无相对滑动地向左加速运动，在加速运动阶段(　　)

A．a对b的压力不变

B．a对b的压力变大

C．a、b物块间的摩擦力变小

D．a、b物块间的摩擦力不变

[解析]　a向左加速时受到的竖直向下的洛伦兹力变大，故对b的压力变大，选项A错误，B正确；从a、b整体看，由于a受到的洛伦兹力变大，会引起b对地面的压力变大，滑动摩擦力变大，整体的加速度变小，再隔离a，b对a的静摩擦力Fba提供其加速度，由Fba＝maa知，a、b间的摩擦力变小，选项C正确，D错误。

[答案]　BC

考点二　带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动分析

(1)圆心的确定方法

方法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处速度的垂线，其交点即为圆心，如图(a)。

方法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图(b)。

(2)半径的计算方法

方法一　由物理方法求：半径R＝。

方法二　由几何方法求：一般由数学知识(勾股定理、三角函数等)计算来确定。

(3)时间的计算方法

方法一　由圆心角求：t＝·T。

方法二　由弧长求：t＝。

2．带电粒子在不同边界磁场中的运动

(1)直线边界(进、出磁场具有对称性，如图所示)

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

[例1]　(多选)(2020·成都联考)如图所示，在x＞0，y＞0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从x轴上的某点P沿着与x轴成30°角的方向射入磁场。不计重力的影响，则下列说法正确的是(　　)

A．只要粒子的速率合适，粒子就可能通过坐标原点

B．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

C．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

D．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为

[审题指导]　本题考查了带电粒子在磁场中的运动，意在考查考生结合几何关系处理问题的能力。带电粒子以一定速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，画出正确的粒子运动轨迹是求解本题的关键。

[解析]　带正电粒子由P点与x轴成30°角入射，则粒子运动轨迹的圆心在过P点与速度方向垂直的方向上，粒子在磁场中要想到达坐标原点，转过的圆心角肯定大于180°，如图所示，而因磁场有边界，故粒子不可能通过坐标原点，A错误；由于P点的位置不定，所以粒子在磁场中的轨迹圆弧对应的圆心角也不同，最大的圆心角为圆弧与y轴相切时，偏转角度为300°，运动的时间t＝T＝，根据粒子运动的对称性，可知粒子的运动半径无限大时，对应的最小圆心角也一定大于120°，所以运动时间t′＞T＝，故粒子在磁场中运动的时间范围是＜t″≤，B、C正确，D错误。

[答案]　BC

◆规律总结

带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路

[跟踪训练]

[带电粒子在圆形磁场中的运动]

1．(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　)

A.∶2　　　　　　　 B.∶1

C.∶1  D．3∶

[解析]　相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1＝R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内。

同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知r2＝＝R，

可得r2∶r1＝∶1。

因为m、q、B均相同，由公式r＝可得v∝r，

所以v2∶v1＝∶1。故选C。

[答案]　C

[带电粒子在正方形磁场中的运动]

2．(2019·全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)

A.kBl，kBl  B.kBl，kBl

C.kBl，kBl  D.kBl，kBl

[解析]　从a点射出的电子运动轨迹的半径R1＝，由Bqv1＝m得v1＝＝kBl；从d点射出的电子运动轨迹的半径R2满足关系2＋l2＝R，得R2＝l，由Bqv2＝m得v2＝＝kBl，故正确选项为B。

[答案]　B

[磁聚焦现象]

3．(2020·衡水调研)如图所示，纸面内有宽为L，水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量均为m、电荷量均为－q、速率均为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种(其中B0＝，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆)(　　)

[解析]　若带电粒子水平向右射入选项A所示的匀强磁场中，根据洛伦兹力提供向心力，qv0B0＝，解得粒子运动的轨迹半径R＝L，恰好等于磁场圆形边界的半径，所以可以使粒子都会聚到一点(梭形磁场区域的最下方点)，选项A正确；对于选项B中的图象，粒子运动的轨迹半径是磁场圆半径的2倍，所以带电粒子流无法从磁场区域的同一点离开，选项B错误；同理可知，选项D的图象也不符合题意，选项D错误；对选项C的图象分析，可知粒子都从磁场区域的下边界离开，但不能会聚到同一点，选项C错误。

[答案]　A

◆规律总结

当圆形磁场的半径与带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径相等时，存在两条特殊规律：

1．相同带电粒子从圆形有界磁场边界上某点以不同方向射入磁场时，如果圆形磁场的半径与带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向平行，如图甲所示。

2．平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与带电粒子运动的轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，如图乙所示。

巧用动态圆解磁场中的临界、极值问题

一、临界条件的挖掘

1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2．当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

3．当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。

4．当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。

二、“动态圆”模型在求解临界、极值问题中的应用

1．“放缩圆”模型的应用

[典例1]　(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　)

A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场

B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场

C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场

D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场

[解析]　如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。由图及周期可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。

[答案]　AC

2．“旋转圆”模型的应用

[典例2]　如图所示，在足够大的屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，P为屏上一小孔，PC与MN垂直，一束质量为m、电荷量为q的负粒子(不计重力)以相同的速率v从P处射入磁场区域，粒子入射方向在与磁场垂直的平面里，且分散在与PC夹角为θ的范围内，则在屏MN上被粒子打中区域的长度为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

[解析]　如图所示，ST之间的距离为在屏MN上被粒子打中区域的长度。粒子在磁场中运动的轨道半径R＝，

则PS＝2Rcos θ＝，PT＝2R＝，所以ST＝。

[答案]　D

◆方法技巧

1．临界问题的分析重点是临界状态：临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。

2．极值问题：所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。

[跟踪训练]

[直线边界磁场中的临界极值问题]

1．(2016·全国卷Ⅲ)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m、电荷量为q(q＞0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)

A.　　 B. 

C.　　 D.

[解析]　带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝。轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于＝2rsin 30°＝r，故△AO′D为等边三角形，∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OCD＝90°，故CO′D为一直线，＝＝2＝4r＝，故D正确。

[答案]　D

[三角形磁场的临界、极值问题]

2．(2020·南昌调研)边长为L的等边三角形OAB区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。从O点同时向磁场区域各个方向均匀射入质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，如图所示，所有粒子的速率均为v，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，不计重力，求：

(1)匀强磁场的磁感应强度大小；

(2)带电粒子在磁场中运动的最长时间。(已知sin 36°＝)

甲

[解析]　(1)如图甲所示，沿OB方向射入的粒子从AB边的中点C射出，由几何知识可得粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角为60°。

半径r＝OC＝L

洛伦兹力提供向心力，qvB＝m

解得B＝＝

乙

(2)从A点射出的粒子在磁场中运动的时间最长，如图乙所示，设OA对应的圆心角为α，由几何关系可知：sin θ＝＝，

其中θ＝，则α＝72°。

最长时间tm＝·＝

[答案]　(1)　(2)