数学八年级下册7.2 勾股定理同步训练题

这是一份数学八年级下册7.2 勾股定理同步训练题，共20页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】B，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
在平面直角坐标系中，点P(1,3)到原点的距离是( )
A. 1B. 3C. 10D. ±10
如图，正方形ABCD的面积是( )
A. 5
B. 25
C. 7
D. 1
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是( )
A. 1
B. 74
C. 2
D. 125
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于点E，F，EF=6，则AE2+BF2的值为( )
A. 9
B. 16
C. 18
D. 36
如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为( )
A. 42B. 4C. 33D. 22
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=21，则S2的值是( )
A. 9.5
B. 9
C. 7.5
D. 7
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°，则AB的长是( )
A. 5B. 2C. 1D. 3
等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则该三角形的面积是( )
A. 163cm2B. 24cm2C. 323cm2D. 12cm2
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为( )
A. 485
B. 325
C. 245
D. 125
如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=2，AD=6，则两个三角形重叠部分的面积为( )
A. 2
B. 3−2
C. 3−1
D. 3−3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，在直角坐标系中，点A(1,1)，B(3,3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA=CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为______．
点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是______．
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为______．
如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图(2)操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图(3)操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c
(1)已知a=12，b=5，求c；
(2)已知a=3，c=4，求b；
(3)已知c=10，b=9，求a．
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AC=34，CD=5，BC=13，求△ABC的面积．
如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
(1)求证△ACD≌△BFD
(2)求证：BF=2AE；
(3)若CD=2，求AD的长．
如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
(1)求CD的长；
(2)当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
(3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为15cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
(1)已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE，连接CE.求证：①BD=CE，②∠DCE=120°；
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE，类比题(1)请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE；
①则题(2)的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结BE，若BE=10，BC=6，直接写出AE的长。
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：点P(1,3)到原点的距离=12+32=10．
2.【答案】B
【解析】解：设正方形的边长为c，
由勾股定理可知：c2=32+42，
∴c2=25，
故选：B．
根据勾股定理以及正方形的面积公式即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
连接CE，由矩形的性质得出∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，设DE=x，则CE=AE=8−x，在Rt△CDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】
解：连接CE，如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=6，AD=BC=8，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
设DE=x，则CE=AE=8−x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62=(8−x)2，
解得：x=74，
即DE=74；
故选B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，知道过对角线交点的线段被这个点平分，还考查了三角形全等和勾股定理等知识点，设未知数表示线段的长是本题的关键．
作辅助线，构建矩形EGOH，先说明△AEG和△DEH是等腰直角三角形，设EG=x，EH=y，则AE=2x，DE=2y，证明△DEO≌△BFO，得DE=BF=2y，根据勾股定理得：OE2=EG2+OG2，列式可得AE2+BF2=2x2+2y2=18．
【解答】
解：过E作EG⊥OA于点G，EH⊥OD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAD=∠ADO=45°，
∴△AEG和△DEH是等腰直角三角形，
设EG=x，EH=y，则AE=2x，DE=2y，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，AD//BC，
∴∠ADO=∠CBD，
∵∠EOD=∠FOB，
∴△DEO≌△BFO，
∴DE=BF=2y，OE=OF=12EF=3，
Rt△EGO中，由勾股定理得：OE2=EG2+OG2，
∴32=x2+y2=9，
∴AE2+BF2=(2x)2+(2y)2=2x2+2y2=2×9=18，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】【试题解析】
解：如图，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OD=OB，
由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，
∵AE=25，
∴x2+(2x)2=(25)2，
解得x=2或−2(不合题意舍弃)，
∴OA=OD=4，
∴AB=AD=42，
故选：A．
连接AE，由题意DE=OE，设DE=OE=x，则OA=OD=2x，AE=25，在Rt△AEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．
6.【答案】D
【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a>b，
由题意可知：
S1=(a+b)2，S2=a2+b2，S3=(a−b)2，
因为S1+S2+S3=21，即
(a+b)2+a2+b2+(a−b)2=21
3(a2+b2)=21，
所以3S2=21，
S2的值是7．
故选：D．
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
7.【答案】D
【解析】解：∵在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°，
∴AB=AC2−BC2=22−12=4−1=3，
故选：D．
根据在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，∠B=90°和勾股定理，可以求得AB的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作底边BC上的高AD，
则AB=5cm，BD=12×6=3cm，
∴AD=AB2−BD2=4，
∴三角形的面积为：12×6×4=12cm2．
故选：D．
作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
考查了勾股定理，等腰三角形的性质，本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC=62+82=10
∴AO=DO=12AC=5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为矩形ABCD面积的14，
∴△AOD的面积=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，
∴5(EO+EF)=24，
∴EO+EF=245，
故选：C．
依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
10.【答案】D
【解析】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
∵CE=CD，CA=CB，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=2，
∵∠EDC=45°，
∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，
在Rt△ADB中，AB=AD2+DB2=22，
∴AC=BC=2，
∴S△ABC=12×2×2=2，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM=ON，
，
∴S△AOC=2×33+1=3−3，
故选：D．
如图，设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N.想办法求出△ABC的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】4+25
【解析】解：∵点A(1,1)，点C的纵坐标为1，
∴AC//x轴，
∴∠BAC=45°，
∵CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠C=90°，
∵B(3,3)
∴C(3,1)，
∴AC=BC=2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF=BC=2，AF=6−2=4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值=AC+BC+AE=4+25，
故答案为：4+25．
根据平行线的性质得到∠BAC=45°，得到∠C=90°，求得AC=BC=2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值=AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12.【答案】355
【解析】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC=3×3−12×2×1−12×2×1−12×3×3−1=9−1−1−92−1=32，AB=12+22=5，
∴12×5h=32，
∴h=355．
故答案为：355．
连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13.【答案】3，2.5或185
【解析】解：
若△PAC是等腰三角形，①PA=AC=3，
②AP=PC时，P为AB的中点，AP=12AB=1232+42=2.5，
③PC=AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP=2AD=2AC⋅csA=2×3×35=185，
综上所述，AP的长为3，2.5或185，
故答案为：3，2.5或185．
根据等腰三角形的性质分三种情况解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
14.【答案】10
【解析】
【分析】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
如图3中，连接AH.由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF−HF=3−2=1，根据AH=AE2+EH2，计算即可．
【解答】
解：如图3中，连接AH．
由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF−HF=3−2=1，
∴AH=AE2+EH2=32+12=10，
故答案为10．
15.【答案】解：(1)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=12，b=5，
∴c=a2+b2=122+52=13；
(2)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，a=3，c=4，
∴b=c2−a2=42−32=7；
(3)∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，c=10，b=9，
∴a=c2−b2=102−92=19．
【解析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
(1)根据c=a2+b2即可得出结论；
(2)根据b=c2−a2即可得出结论；
(3)根据a=c2−b2即可得出结论．
16.【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，AD2=AC2−CD2，
在Rt△BCD中，BD2=BC2−CD2，
∵AC=34，CD=5，BC=13，
∴AD=34−25=3，BD=132−52=12，
∴AB=15，
∴S△ABC=12AB⋅CD=752．
【解析】由于CD⊥AB，CD为Rt△ADC和Rt△BCD的公共边，在这两个三角形中利用勾股定理可求出AD和BD的长，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理求得AB的长是解题的关键．
17.【答案】(1)∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBEAD=BD∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ACD≌△BFD(ASA)；
(2)证明：∵△ACD≌△BFD，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
(3)解：∵△ACD≌△BFD，
∴DF=CD=2，
在Rt△CDF中，CF=CD2+DF2=2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+2．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ACD≌△BFD即可；
(2)根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
(3)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
18.【答案】解：(1)如图1，过点A作AM⊥CD于M，
∵AM⊥CD，∠BCD=Rt∠，
∴AM//CB，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CM=AB=10，
在Rt△ADM中，AD=10，AM=BC=8，
根据勾股定理得，DM=6，
∴CD=DM+CQ=16；
(2)当四边形PBQD是平行四边形，
当点P在AB上，点Q在DC上，
如图3，由运动知，BF=10−3t，DQ=2t，
∴10−3t=2t，
∴t=2，
此时，BP=DQ=4，CQ=12，根据勾股定理得，BQ=413；
∴四边形PBQD的周长为2(BP+BQ)=8+813；
(3)①当点P在线段AB上时，即：0≤t≤103时，
如图2，S△BPQ=12PB⋅BC=12(10−3t)×8=15，
∴t=2512；
②当点P在线段BC上时，即：103如图4，BP=3t−10，CQ=16−2t，
∴S△BPQ=12PB⋅BC=12(3t−10)(16−2t)=15，∴t=5或t=193(舍)，
即：满足条件的t的值为2512秒或5秒．
【解析】(1)先构造直角三角形，求出AM，DM，进而得出结论；
(2)利用平行四边形的对边相等，建立方程求解即可得出结论；
(3)分两种情况利用三角形面积为15建立方程求解即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，分类讨论的思想，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19.【答案】证明：(1)①如图1，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
②∵△ABD≌△ACE
∴∠ACE=∠B=60°
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°
(2)∠DCE=90°；BD2+CD2=DE2
证明：如图2，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
(3)①(2)中的结论还成立。
理由：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠ABC=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°=∠ECD
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6
∴CE=BE2−BC2=102−62=8
∴BD=CE=8
∴CD=8−6=2
∴Rt△DCE中，DE=CE2+CD2=82+22=68
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=682=34
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由△ABD≌△ACE以及等边三角形的性质，得出∠ACE=∠B=60°，则∠DCE=∠ACE+∠ACB=120°；
(2)先判定△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ACE=∠B=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
(3)①运用(2)中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=8，进而得出CD=8−6=2，在Rt△DCE中，求得DE=68，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长。