广东省深圳市罗湖区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷

绝密★启用前                                                 试卷类型：A

2021-2022学年上学期期末高三学业质量检测试卷

      数学试题答案及评分参考     2022.1

一、单项选择题：

二、多项选择题：

12. 在△中，，且，，若将△沿边上的中线折起，使得平面平面. 点在由此得到的四面体的棱上运动，则下列结论正确的为

A． B．四面体的体积为 

C．存在点使得△的面积为     D．四面体的外接球表面积为

解析：（1）考查选项A：设为中点，易知平面，故，若，则，∴平面，从而，显然不可能，故选项A错误；

（2）考查选项B：考查三棱锥的体积，易知△的面积为，

在平面中，过作的垂线，交的延长线于点，易知，

∵平面平面，∴到平面，即三棱锥的高为，

∴三棱锥的体积为，

∴四面体的体积亦为，故选项B正确；

（3）考查选项C：显然当平面时，△的面积取得最小值，

易知，且，∴，

又四面体的体积为，∴，∴，

且△的面积为，∴存在点使得△的面积为，故选项C正确；

（4）考查选项D：设△与△的外心依次为，，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，

则四面体的外接球球心为直线与的交点，

易知四边形为矩形，且，，

∴四面体的外接球半径，

∴外接球表面积为，故选项D正确；

综上所述，应选BCD.

三、填空题：

13. （或者，均可）；    14. ；     15. ；     16. .

16. 已知存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为          .

解析：∵，

显然可取等号，∴的最小值为，

∴只需存在实数，使得成立即可，即，

易知当时，，∴，

∴，∴实数的取值范围为，故应填.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

设△的内角，，的对边分别为，，，且．

(1)  求角的大小；

(2) 若边上的高为，求.

解：(1) （解法一）由余弦定理，得，…………………………1分

∴，

∴，…………………………………………………………………3分

又∵，

∴，∴， ………………………………………………………………4分

∵为△的内角，∴，∴.  …………………………………………5分

（解法二）由正弦定理，得，……………………………………1分

∴，

∵，，为△的内角，∴，

∴，

∴， …………………………………………………………………3分

∵，，∴，， ………………………………………4分

∴. ………………………………………………………………………………………5分

 (2)∵△的面积，∴， …………………………………7分

由余弦定理，得，

∴， …………………………………………………………………………………9分

∴.  ……………………………………………10分

或者亦可.   …………………………10分   

18．（12分）

已知数列满足，，且 ().

(1) 证明：数列是等比数列；

(2) 记的前项和为，且任意，均有，求实数的最小值.

解：(1)∵，∴，…………………………………2分

又∵，     …………………………………………………………………………3分

∴是以为首项，为公比的等比数列，     …………………………………4分

(2)（解法一）由(1)易知，  …………………………………………………5分

∴，，…，（），    …………………6分

∴（），

∴（），  ………………………………………………………………………8分

经检验当时，，亦满足，

∴()，    ……………………………………………………………………9分

∴，      …………………………………………………………10分

∵任意，均有，

∴()     …………………………………………………11分

显然()，∴,即实数的最小值为.    ………………………12分

（解法二）由()得，()，…………6分

又，∴数列为常数列，即()，………………7分

∴()，即数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴()，    ……………………………………………………………………9分

∴，      …………………………………………………………10分

∵任意，均有，

∴()     …………………………………………………11分

显然()，∴,即实数的最小值为.    ………………………12分

19．（12分）

已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为，，. 现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查.

(1) 应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？

(2) 若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的访谈调研. 若用随机变量表示抽取的人中睡眠充足的成员人数，求的分布列与数学期望.

解：(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为， ……2分

∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为，，，

∴，解得，

∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取人，人，人.  …………………4分

(2)随机变量的所有可能取值为， …………………………………………………5分

则，，

，， …………………………9分

∴随机变量的分布列为

………………………………………………………………………11分

随机变量的数学期望.  …………………12分

20．（12分）

如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形.

(1) 证明：；

(2) 若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小.

解：(1) 证明：如图，取的中点，连接，，  ………………………………1分

∵，∴，  ………………………………………………………………2分

∵△为等边三角形，∴，  …………………………3分

又∵，平面，

∴平面，     ……………………………………4分

又∵平面，

∴.  …………………………………………………………………5分

(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，

∴为直线与平面所成的角，即，……………………………6分

不放设，∵，为的中点，∴，

∵△为等边三角形，∴，

在△中，由正弦定理得，∴，∴，即，

由(1)知，，且，…………………………………………………………7分

以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，     

则有，，………………………………………………………8分

易知为平面的一个法向量，…………………………………………………9分

设为平面的一个法向量，

则 即∴   

则平面的一个法向量为，…10分

，…………11分

由图可知，二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分

（解法二）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，

由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，

∴为直线与平面所成的角，即，……………………………6分

不放设，∵，为的中点，∴，

∵△为等边三角形，∴，

在△中，由正弦定理得，∴，

∴，即.

结合(1)可知，二面角为直二面角，…………7分

∴平面，又平面，∴,

又，平面，∴平面，又平面，

∴，∴为二面角的平面角.   ………………………………8分

∵，，∴，，， ……………………9分

取的中点，连接，则，，

∴，…………………………………………………………………10分

∴， …………………………………………………………………11分

∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分

21．（12分）

在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线与交于异于点的，两点，记直线，的斜率分别为，，当时，.

(1) 求椭圆的方程；

 (2) 证明：为定值.

解：(1) ∵在上，∴，………………………………………………………1分

当时，直线的方程为：，

将代入，并整理得，

解得，或，………………2分

∴，解得，

∴椭圆的方程为：.  ………………………………………………………4分

 (2)由题意知，直线的斜率存在，

不妨设直线的方程为，，，  ………………………5分

联立得， ………………………7分

∴，且， …………………………………………………8分

∴

， ……………11分

∴，即为定值. ………………………………………………………12分

22．（12分）

已知定义在上的函数().

(1) 求的单调递增区间；

(2) ，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

解：(1) ，   ………………………………………………………………1分

①当时，，

∴在上单调递减，即无单调递增区间；………………………………………2分

②当时，令，则，

∴在上单调递增， ……………………………………………………………………3分

令，解得，

∴当时，；当时，，………………4分

∴在上单调递减；在上单调递增，

∴的单调递增区间为，

综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，无单调递增区间.     ……………………………………………………………………………………5分

(2)由(1)可知，当时，有最小值，且最小值为，

即，，当且仅当时等号成立，  ………………………………………6分

易知不等式等价于，

∴当时，须有成立， ………………………………………………………7分

令，则，

∴在上单调递增，

又，

∴等价于，    …………………………………………………………………8分

下证当时，，有不等式恒成立.

（证法一）一方面，∵，，

∴，，即， …………………………………………9分

∴，，

∴，， ……………………………………………………10分

∴只需证当时，，有不等式恒成立即可，

另一方面，由，，可得，∴，

又当时，，显然有， …………………………………………11分

∴当时，，显然有不等式恒成立，

∴当时，，显然不等式恒成立，

综上所述，实数的取值范围为.    ………………………………………………12分

（证法二）令，，则，

∴为单调递增函数，

∴的最小值为， ………………………………………………9分

下证，∵，，∴只需证，

∴只需证，即证，…………………………………………10分

令，则，

易知的最小值为，∴，即，

∴当时，，显然有不等式恒成立，

∴当时，，显然不等式恒成立，

综上所述，实数的取值范围为.    ………………………………………………12分