专题03 一元二次方程-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题03 一元二次方程-初升高数学衔接必备教材（解析版），共14页。试卷主要包含了于是，关于x的方程，关于x的一元二次方程x2﹣等内容，欢迎下载使用。

专题03一元二次方程

高中必备知识点1：根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
．①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

典型考题

【典型例题】
关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．
【答案】．
【解析】
由题意得，
，
整理得，，
解得：．

【变式训练】
已知关于的一元二次方程
若方程的一个根为，求的值及另一个根；
若该方程根的判别式的值等于，求的值．
【答案】(1)；即原方程的另一根是．
【解析】
（1）设方程的另一根是x2．
∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，
∴x=3是原方程的解，
∴9m﹣（m+2）×3+2=0，
解得m=；
又由韦达定理，得3×x2=，
∴x2=1，即原方程的另一根是1；
（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1
∴m=1，m=3．
【能力提升】
方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ．
【答案】105
【解析】
先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．
方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，
故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．


高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

典型考题

【典型例题】
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；
（2）当方程根为1，2时， b＝﹣3，c＝2；当方程根为2，4时b＝﹣6，c＝8．
【解析】
（1）该方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
当方程根为1，2时，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；
当方程根为2，4时﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．

【变式训练】
求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．
【答案】6
【解析】
方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，
，
∴

【能力提升】
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有两根α，β
(1)求m的取值范围；
(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．
【答案】(1)m≥﹣；(2)m的值为3．
【解析】
(1)由题意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；
(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝0，
∴﹣(2m+3)+m2＝0，
解得：m1＝﹣1，m1＝3，
由(1)知m≥﹣，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为3．
专题验收测试题

1．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1≠x2 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【答案】B
【解析】
解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+4＞0，
∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2．
故选：B．
2．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】C
【解析】
设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1•x1＝﹣，
解得x1＝．
故选：C．
3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【答案】A
【解析】
解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故选：A．
4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90
【答案】C
【解析】
解：由题意可得，
x（x﹣1）＝90，
故选：C．
5．关于x的一元二次方程x2﹣2 x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
【答案】C
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜3．
故选：C．
6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有实数根，则m的取值范围（　　）
A．m≤且m≠2 B．m＞ C．m≤ D．m≤3且m≠2
【答案】C
【解析】
当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有一个实数根，
当m﹣2≠0时，
∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有实数根，
∴△＝3﹣m﹣4（m﹣2）•≥0，
解得：m≤，
∴m的取值范围是m≤，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
由关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，
得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，
△＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，
则方程有两个不相等的实数根，
故选A．
8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
【答案】A
【解析】
A、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；
B、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，
故选：A．
9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【解析】
欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax＝b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
10．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3
【答案】B
【解析】
试题分析：当x=0时，y=－5；当x=1时，y=a－3，函数与x轴在0和1之间有一个交点，则a－3＞0，解得：a＞3．
考点：一元二次方程与函数
11．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．
【答案】x1＝﹣5，x2＝1
【解析】
解：方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）＝0，
分解因式得：（x+5）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣5，x2＝1
12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．
【答案】7
【解析】
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，
∴x12＝3x1+2，x1x2＝﹣2，x1+x2＝3，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1+2＝3（x1+x2）+x1x2＝7，
故答案为：7．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m）＜0，
解得m＞．
故答案为m＞．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（）x﹣（x12+x22）不经过第_____象限．
【答案】二
【解析】
∵x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣6，
∴，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣6）＝21，
∴y═，
∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____.
【答案】0或－1
【解析】
由题意可知：将代入方程可得 整理可得：
，即
故答案为：
16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．
【答案】1
【解析】
∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，
∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+＝1．
故答案为：1．
17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．
（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．
【答案】（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．
【解析】
（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．
当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．
所以x1＝，x2＝．
根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．
18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．
【解析】
(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得
10000(1+x)2＝12100，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．
则x＝0.1＝10%．
答：捐款增长率为10%；
(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．
答：第四天该单位能收到13310元捐款．
19．解方程或不等式：
（1）解方程：；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）解：


（2）解：由①得，
由②得，
故
20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【答案】(1)k＜﹣；(2)-2．
【解析】
解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，
解得k＜﹣；
(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．
【答案】（1）k>；（2）2.
【解析】
（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
解得：k＞，
即实数k的取值范围是k＞；
（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，
∴-（2k+1）=-（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞，
∴k只能是2．
22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为负整数，求此时方程的根．
【答案】（；（时，．
【解析】
(1)由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.