专题01 数与式的运算-初升高数学衔接必备教材（解析版）

这是一份专题01 数与式的运算-初升高数学衔接必备教材（解析版），共19页。

专题01数与式的运算

高中必备知识点1：绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

典型考题
【典型例题】
阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；
例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．
例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．

例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|+2|=3的解为　 ；
（2）解不等式：|－2|＜6；
（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；
（4）解方程: |-2|+|+2|+|-5|=15.

【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或 .
【解析】
（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3
解得或x=－5．
（2）在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，
∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．
（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．
∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．
若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，
∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，
∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．
（4）在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．
若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，
∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或 .
【变式训练】
实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .
【答案】a-2b
【解析】
解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，
所以b-a>0，a-b＜0
原式=|a|-（b-a）-(b-a)
=-a-b+a-b+a
=a-2b
【能力提升】
已知方程组的解的值的符号相同.
(1)求的取值范围；
(2)化简：.
【答案】(1) −1 【解析】
(1)
①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，
代入①得：y=2+2a，
根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，
解得−1 (2)∵−1 ∴当−1 高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；
（2）完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三数和平方公式；
（4）两数和立方公式；
（5）两数差立方公式．

典型考题

【典型例题】
（1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）3
（2）4ab-8b2
【解析】
解：（1）原式=4+1+（-8）÷4
=5-2
=3
（2）原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)
=a2-4b2-a2+4ab-4b2
=4ab-8b2
【变式训练】
计算：
（1）
（2）
【答案】（1）8 （2）－6x+13
【解析】
(1)原式=1+16-9=8；
(2)原式=x2-6x+9-(x2-4)
=x2-6x+9-x2+4
=-6x+13.
【能力提升】
已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
【答案】(1)ab;(2);(3).
【解析】
解：（1）50x＝10x×5x＝ab；
（2）2x＝；
（3）20x＝．

高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义


典型考题

【典型例题】
计算下面各题．（1）;
（2）
【答案】(1) ;(2)
【解析】
（1）（）×﹣6
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）+2﹣﹣4
＝2+2﹣﹣4
＝﹣2．
【变式训练】
小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：
解：原式＝
＝
＝．
她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．
【答案】不正确，见解析
【解析】
解：不正确，正确解答过程为：
原式＝÷
＝
═.
【能力提升】
先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．
【答案】；．
【解析】
解：(-)÷
=
=
=
=，
当a=+，b=-时，
原式===．

高中必备知识点4：分式

1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

典型考题

【典型例题】
先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．
【答案】,1.
【解析】
解：原式＝


∴原式＝1.
【变式训练】
化简：÷（4x－y）
【答案】
【解析】
÷（4x－y）
=
=.
【能力提升】
已知：，则的值等于多少？
【答案】.
【解析】
解：∵，
∴a-b=-2ab，
则
专题验收测试题

1．下列计算结果为a2的是（　　）
A．a8÷a4（a≠0） B．a2•a
C．﹣3a2+（﹣2a）2 D．a4﹣a2
【答案】C
【解析】
A、a8÷a4＝a4，故此选项错误；
B、a2•a＝a3，故此选项错误；
C、﹣3a2+(﹣2a)2＝a2，故此选项正确；
D、a4与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，
故选C．
2．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）

A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【答案】B
【解析】
∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选B．
3．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
【答案】B
【解析】
A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、 正确；
C、 故此选项错误；
D、 故此选项错误；
故选：B．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a4＝a7 B．a4•a5＝a9 C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a6
【答案】B
【解析】
解：A、a3+a4，无法计算，故此选项错误；
B、a4•a5＝a9，正确；
C、4m•5m＝20m，故此选项错误；
D、a3+a3＝2a3，故此选项错误．
故选：B．
5．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（　　）
①a3÷a﹣1＝a2②（2a3）2＝4a5③（ab2）3＝a3b6④2﹣5＝⑤（a+b）2＝a2+b2
A．2道 B．3道 C．4道 D．5道
【答案】C
【解析】
①a3÷a﹣1＝a4，故此选项错误；
②（2a3）2＝4a6，故此选项错误；
③（ab2）3＝a3b6，故此选项错误；
④2﹣5＝，正确；
⑤（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
则错误的一共有4道．
故选：C．
6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
设第n次跳到的点为an（n为自然数），
观察，发现规律：a0=1，a1=3，a2=5，a3=2，a4=1，a5=3，a6=5，a7=2，…，
∴a4n=1，a4n+1=3，a4+2=5，a4n+3=2．
∵2019=504×4+3，
∴经2019次跳后它停的点所对应的数为2．
故答案为：2．
7．下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：A. ，故A错误；
B. ，正确；
C. ，故C错误；
D. ，故D错误；
故选：B．
8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（　　）
A．
B．2（x﹣y）＝2x﹣2y
C．
D．a（b﹣1）＝ab﹣a
【答案】C
【解析】
解：A、，单项式乘多项式；
B、2（x﹣y）＝2x﹣2y，单项式乘多项式；
C、，根据分式的性质；
D、a（b﹣1）＝ab﹣a，单项式乘多项式；
则变形依据与其它三项不同的是C，
故选：C．
9．下列运算正确的是（　　）
A．a5﹣a3＝a2 B．6x3y2÷（﹣3x）2＝2xy2
C． D．（﹣2a）3＝﹣8a3
【答案】D
【解析】
A、a5﹣a3，无法计算，故此选项错误；
B、6x3y2÷（﹣3x）2＝6x3y2÷9x2＝xy2，故此选项错误；
C、2a﹣2＝，故此选项错误；
D、（﹣2a）3＝﹣8a3，正确．
故选D．
10．下列运算：其中结果正确的个数为（　　）
①a2•a3＝a6 ②（a3）2＝a6 ③（ab）3＝a3b3 ④a5÷a5＝a
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
解：①a2•a3＝a5，错误；
②（a3）2＝a6，正确；
③（ab）3＝a3b3，正确；
④a5÷a5＝1，错误．
故选：B．
11．当a，b互为相反数，则代数式a2+ab﹣2的值为_____．
【答案】﹣2．
【解析】
∵a与b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2.
故答案为：-2.
12．已知a2+2a=-2，则的值为________．
【答案】6
【解析】
解：，
∵a2+2a=-2，
∴原式=，
故答案为：6.
13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．
【答案】-2
【解析】
解：（﹣2）2019×0.52018＝（﹣2×0.5）2018×（﹣2）＝﹣2
故答案为：﹣2
14．已知是方程组的解，则a2﹣b2＝_____．
【答案】1
【解析】
解：∵是方程组的解，
∴，
解得，①﹣②，得
a﹣b＝，
①+②，得
a+b＝﹣5，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣5）×（）＝1，
故答案为：1．
15．已知关于x、y的方程组，则代数式32x•9y＝___．
【答案】.
【解析】
解：将两方程相加可得2x+2y＝﹣2，
则32x•9y＝32x•32y
＝32x+2y
＝3﹣2
＝，
故答案为：．
16．计算：（x﹣y）2•（y﹣x）3+（y﹣x）4•（x﹣y）＝_____．
【答案】0
【解析】
原式＝﹣（x﹣y）5+（x﹣y）5＝0，
故答案为：0
17．张老师在黑板上布置了一道题：
化简：2(x＋1)2－(4x－5)，并分别求出当x＝和x＝－时代数式的值．
小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．

【答案】小亮说的对,理由见解析
【解析】
2（x+1）2﹣（4x﹣5）
=2x2+4x+2﹣4x+5，
=2x2+7，
当x=时，原式=+7=7；
当x=﹣时，原式=+7=7．
故小亮说的对．
18．先化简，再求值：(x+2)(x﹣2)+(2x﹣1)2﹣4x(x﹣1)，其中x＝2．
【答案】x2﹣3，9.
【解析】
(x+2)(x﹣2)+(2x﹣1)2﹣4x(x﹣1)，
＝x2﹣4+4x2﹣4x+1﹣4x2+4x，
＝x2﹣3，
当时，原式
19．已知a+＝3（a＞1），求的值．
【答案】1645
【解析】
解：
∵（a＞1），
∴＝9，
化简得＝7，
两边平方，可得＝49﹣2＝47，
∵＝﹣2＝7﹣2＝5，且a＞1，
∴，
∴
＝×7×47×5
＝1645．
20．请你将下式化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）2+（x﹣4）（x﹣1），其中x2﹣3x＝1．
【答案】3x2﹣9x+4，7
【解析】
(x+2)(x﹣2)+(x﹣2)2+(x﹣4)(x﹣1)，
＝x2﹣4+x2﹣4x+x2﹣5x+4，
＝3x2﹣9x+4，
当x2﹣3x＝1时，
原式＝3x2﹣9x+4，
＝3(x2﹣3x)+4，
＝3×1+4，
＝7．
21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：+4，…，
（1）写出第5个等式；
（2）写出第n个等式，并证明该等式成立．
【答案】（1）第5个等式为：；
（2）第n个等式为：．
【解析】
解：（1）∵第1个等式为：+2，
第2个等式为：+3，
第3个等式为：+4，
∴第4个等式为：×5＝+5，
第5个等式为：×6＝+6；
（2）第n个等式为：×（n+1）＝+（n+1）．
证明如下：
∵×（n+1）＝＝+＝+（n+1），
∴×（n+1）＝+（n+1）．
化类，通过观察得出第n个等式为：×（n+1）＝+（n+1）是解题的关键．
22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。李刚接着也写了两个具有同样规律的算式:112-32=8×14，152-112=8×13，
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式
(2)用文字写出反映上述算式的规律
(3)证明这个规律的正确性
【答案】（1）112-92=8×5，132-112=8×6；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）见解析.
【解析】
解：(1)112-92=8×5，132-112=8×6．（答案不唯一）
(2)规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，
则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)．
当m，n同是奇数或偶数时，(m-n)一定为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数，
当m，n一奇一偶时，则(m+n+1)一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数，
所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．
故答案为：(1)112-92=8×5，132-112=8×6；(2)规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；(3)证明见解析.