2022年江苏省淮安市淮安区中考数学调研试卷（word版含答案）

2022年江苏省淮安市淮安区中考数学调研试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 已知点是线段的黄金分割点，且，则下列比例式能成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 两个相似多边形的相似比是：，则这两个多边形的周长比是

A. ： B.  C. ： D. ：

4. 如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、、、、，，，，

A.     B.
C.    D.

5. 在中，，，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有

A. 个   B. 个
C. 个     D. 个

7. 如图，在▱中，点在上，与相交于点若：：，则：

A. ：   B. ：
C. ：   D. ：

8. 如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于

A.     B.
C.     D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 在比例尺为：的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长，它的实际长度约为______．
10. 若，则锐角______
11. 若各边的比为：：，与其相似的最长边的长为，则最短边的长为______．
12. 如图，在边长为的正方形网格中，、、、为格点，连接、相交于点，则的长为______．
    
    
     

13. 若两个相似三角形的面积比是：，则对应边上的中线的比为______．
14. 如图，小明在时测得直立于地面的某树的影长为米，时又测得该树的影长为米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．
     

15. 如图，是的直径，是的切线，为切点．若，，则的长为______．
    
    
     

16. 如图，点在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______．
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共10分）

17. 如图，某无人机于空中处探测到目标、，其俯角分别为、，此时无人机的飞行高度为，随后无人机从处继续平行飞行到达处．
    直接写出______，______结果保留根号；
    求从无人机上看目标的俯角的值．
    
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共10小题，共72分）

18. 计算：
    ；．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知求锐角的度数．
    已知求锐角的度数．
    
    
    
    
     
20. 已知，且，求值．
    
    
    
     
21. 已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，求线段的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，点，点．
    画出；
    以为位似中心，在第一象限内把按相似比：放大，画出所得，并写出点的坐标为______；
    直接写出放大后的面积为______．

23. 如图，在中，，，，求的长和的值．
    
    
     

24. 如图，在中，点在边上，．
    求证：∽；
    若，，求的长．

25. 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区如图所示，已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高．

26. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图，在中，，底角的邻对记作，这时容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
    ______，若，则______
    如图，在中，，，，求的周长．

27. 探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”如图：
    请就图证明上述“模块”的合理性已知：，求证：∽；
    请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
    如图，已知点，点在直线上运动，若，求此时点的坐标；
    如图，过点作轴与轴的平行线，交直线于点、，求点关于直线的对称点的坐标．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
设，，
．
故选：．
根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解．
本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更简便．
 

2.【答案】
 

【解析】解：根据黄金分割定义可知：
是和的比例中项，
即，
，
故选：．
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
 

3.【答案】
 

【解析】解：两个相似多边形的相似比是：，
这两个多边形的周长为：．
故选：．
利用相似多边形的性质即可解决问题．
本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】
 

【解析】解：直线，
，即，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，即，然后利用比例性质求的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 

5.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
设，，
，
，
故选：．
根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，
，
又，
∽，
，，
∽，
故选：．
利用相似三角形的判定方法可得∽，∽，∽，可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，
，
又，
∽，
，
：：，
：：，
：：，
故选：．
先由平行四边形的性质得，，从而，结合对顶角相等，可证∽，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，，
的面积，
，
，
，
在中，，
故选：．
过点作，垂足为，根据勾股定理可求出，的长，再利用面积法求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握面积法进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：设它的实际长度是，根据题意得：
：：，
解得：，
．
故它的实际长度约为．
故答案为：．
根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．
本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：各边的比为：：，
与其相似的的各边的比也为：：，
设的三边长分别为：、、，
最长边的长为，
，
解得：，
最短边的长为：，
故答案为：．
利用相似三角形的性质得出的各边的比也为：：，设的三边长分别为：、、，由最长边的长为，得出，求出，进而即可得出答案．
本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质得出关于的方程是解决问题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意可知：，，，，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．
根据题意可得，，所以∽，进而可以解决问题．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

13.【答案】：
 

【解析】【试题解析】

解：两个相似三角形的面积比是：，
两个相似三角形的相似比是：，
对应边上的中线的比为：，
故答案为：：．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意，作，
则树高为，，米，米，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
答：树的高度为米．
故答案为：．
根据题意，画出示意图，易得：∽，进而可得，代入数据可得答案．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：是的直径，是的切线，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，然后利用正切的定义求出的长．
本题考查了切线的性质及解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解决问题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接，如图：

四边形、是正方形，
，
，
由，设，则，
，，
，
，
故答案为：．
连接，由四边形、是正方形，可得，即知，设，则，可得，，即有，故．
本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，证明．
 

17.【答案】 
 

【解析】解：根据题意可知：，，，
，，
，
，
，
．
故答案为：，；
，
．
答：从无人机上看目标的俯角为．
根据题意可得，，，然后利用特殊角三角函数值即可解决问题；
根据平行线的性质即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用俯角仰角问题，解决本题的关键是掌握俯角仰角定义．
 

18.【答案】解：原式

；
原式

．
 

【解析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案；
将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
锐角的度数为；
，
，
，
锐角的度数为．
 

【解析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答；
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】解：设，
，，，
，
，
，
，
的值为．
 

【解析】利用设法进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设法进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：线段是线段，的比例中项，
，
，，，
．
故线段的长为．
 

【解析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．
本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：如图，为所作；
如图，为所作；点的坐标为；

故答案为；
面积．
故答案为：．
利用点、、的坐标描点即可；
把、、的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
根据三角形的面积公式计算．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

23.【答案】解：，
，
，
；
，
．
 

【解析】利用锐角三角函数的定义可得，再代入的值可得的值；再利用勾股定理计算出的长，然后再利用正切定义计算即可．
此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦、余弦、正切定义．
 

24.【答案】证明：，，
∽；
∽，
，
，
，
舍去负值，
的长为．
 

【解析】根据两角相等的两个三角形相似即可解答；
利用的结论，根据相似三角形的性质列出比例式，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
∽，
．
，，
．
，
，
，
解得：，即窗口底边离地面的高为．
 

【解析】因为光线、是一组平行光线，即，所以∽，则有，从而算出的长．
此题主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．难度不大，
 

26.【答案】 
 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，

，，
，
，
，
，
，
若，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：，；
过点作，垂足为，

，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
负值舍去，
，
，，
的周长为，
答：的周长为．
根据定义，要求的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，根据，可得：，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出即可解答，
根据定义，，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得；
根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点作，垂足为，，所以设，，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用，列出关于的方程即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：，
．
，
，
．
，
∽；

解：作轴于点，轴于点
∽，
．
，
，．
点在直线上，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
；
过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，
，
点的纵坐标为，点的横坐标为，
，，
，，
，，
，．
设，
，，，，
由对称可知：，
，
∽，
，
，
解得：
 

【解析】根据余角的性质就可以求出，再由，就可以得出结论；
作轴于点，轴于点，可以得出∽，可以得出，设点的坐标为，建立方程求出其解就可以得出结论；
过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，设，先可以求出、的坐标，进而可以求出，，，，，再由条件可以求出∽，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论．
本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，方程组的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质是关键．