专题2.3 透过二模看高考（函数、三角函数）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题2.3 透过二模看高考—函数、三角函数

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1．（2021崇明二模）已知函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若f（x0）＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．

2．（2021崇明二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x件，需另投入成本为C（x）当年产量不足80件时，（万元）；当年产量不小于80件时.（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完．

（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：

（2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

3、（2021奉贤二模）设函数，

   （1）、讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）、设，解关于的不等式．

4、（2021奉贤二模）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为．上午10时07分测得飞行机器人在处,并对飞行机器人发出指令:以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动．机器人近似看成一个点．

（1）、求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；

（2）、求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离（精确到米）．

5．（2021嘉定二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设常数，函数．

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．

6．（2021嘉定二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

7.（2021普陀二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设函数（）的反函数为.

（1）解方程：；

（2）设是定义在上且以为周期的奇函数.当时，，试求的值.

8.（2021普陀二模）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，，为对角线和的交点.他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于.设.

（1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）；

（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为.对于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.

9．（2021松江二模）已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x（a为常数，a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的奇偶性；

（2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）﹣k•f（x）＝3在x∈[0，1]上有实根，求实数k的取值范围．

10．（2021松江二模）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为π，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA．

（1）当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）

（2）已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．（精确到元）

11．（2021徐汇二模）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

已知函数.

（1）         若，求函数的零点；

（2）         针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性.

12. （2021徐汇二模）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

元宵节是中国的传统节日之一. 要将一个上底为正方形的长方体状花灯挂起，将两根等长(长度大于两点距离)的绳子两头分别拴住；，再用一根绳子与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图. 花灯上底面到天花板的距离设计为米，上底面边长为米，设，所有绳子总长为米. (打结处的绳长忽略不计)

(1)将表示成的函数，并指出定义域；

(2)要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长. (精确到米)

13．（2021虹口二模）（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）

设且，，已知函数．

（1）当时，求不等式的解；

（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围．

14．．（2021虹口二模）（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）

如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设.

（1）若，求的边长；

    （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值.

15.（2021黄埔二模）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

    已知中，内角、、所对边长分别为、、，且，．

(1)求正实数的值；

(2)若函数()，求函数的最小正周期、单调递增区间．

16..（2021黄埔二模）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.

（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)

（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.

17.（2021闵行二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

    已知函数．

(1) 证明在区间上是增函数；

(2) 若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

18．（2021闵行二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

    某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为米，顶角为，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线表示（两点分别在腰上，以下结果精确到）．

(1) 如果曲线是以为圆心的一段圆弧（如图1），求的长；

(2) 如果曲线是直道（如图2），求的最小值，并求此时直道的长度．

19．（2021长宁二模）（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

设.

（1）若，求的值；

（2）设，若方程有两个解，求的取值范围.   

20．（2021长宁二模）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：

（其中（为自然对数的底2.71828…），该生物出生时）.

（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；

（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）.

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21．（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

22．（2017·上海高考真题）设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.

（1）若，求的取值范围；

（2）若为周期函数，证明：是常值函数；

（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.

函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.

23．（2017·上海高考真题）已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．

24．（2018·上海高考真题）设常数，函数．

（1）若为偶函数，求的值；

（2）若，求方程在区间上的解．