专题1.3 回归基础篇（复数与平面向量）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

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专题1.3 复数与平面向量
——上海最新真题模拟题50题精选
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设是复数，则“是虚数”是“是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．
【详解】充分性：取，故是实数，故充分性不成立；
必要性：假设是实数，则也是实数，与是虚数矛盾，∴是虚数，故必要性成立．
故选：B．.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．
2．（2020·上海奉贤区·高三一模）设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用直线方程确定直线的方向向量，以及直线的法向量，利用向量夹角公式求解.
【详解】由题意，是直线的一个方向向量，则，
是直线的一个法向量，，
则，
故，
故选：C.
3．（2020·上海崇明区·高三一模）设，则是为纯虚数的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】设，则，，分充分性和必要性进行讨论即可.
【详解】解：设，则，
若，则，，当，则，不是纯虚数
若为纯虚数，则，，此时成立
所以是为纯虚数的必要不充分条件
故选B.
【点睛】本题考查了复数的有关概念，充分必要条件的判断，属于基础题.
4．（2020·上海静安区·高三一模）设，若复数是纯虚数，则点一定满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【详解】由是纯虚数，
∴，得x≠0，y．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（2020·上海奉贤区·高三一模）复数满足（为虚数单位），则复数模的取值范围是
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求出复数模的取值范围.
【详解】它表示复平面上到距离为2的点的集合，显然是以为圆心，2为半径的圆，模的几何意义是以为圆心，2为半径的圆上的点到点的距离，
显然复数模的最大值为：，最小值为：.
故选：A
【点睛】本题考查了复数模的几何意义，考查了圆的几何性质.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）若是关于的实系数方程的一根，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入方程，根据复数为零可得出关于实数、的方程组，可解出、的值，由此可得出的值.
【详解】由题意可得，即，
所以，解得，因此，.
故选：A.
7．（2020·上海长宁区·高三一模）对任意向量､，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的平方即为模的平方．即可判断A；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断 B；运用向量数量积的定义，即可判断C； 运用向量模的性质，即可判断D.
【详解】A，由模的平方等于向量的平方知恒成立，故正确；
B，由平方差公式知恒成立，故正确；
C，恒成立，故正确；
D，当不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，，故不恒成立，故D错误.
故选：D
8．（2020·上海高三一模）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：
①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；
②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．
其中正确的是（ ）．
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【答案】A
【分析】取可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.
【详解】解：令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，故①正确；
若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；若为虚数，则设， 有，等价于，所以，又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解.
只需即可，如，方程有四个实根，有 两个虚根.故②正确；
故选：A.
【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.
易错点睛：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；
（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.
9．（2020·上海杨浦区·高三二模）设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
【答案】B
【分析】设，然后由向量数量积的坐标表示求出为的函数后，根据函数性质可得结论．
【详解】设，由椭圆方程知，
，随的减小而变小，
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．
10．（2020·上海长宁区·高三二模）已知向量，，，则“”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，若时，则，，得出，得出，反之，则，列式求出，结合充要条件的判定，即可得出结论.
【详解】解：已知，，
若，则，，
可得，则有，
所以充分条件成立，
反之，若，则，即：
即：，解得：，
所以必要条件成立，
综合可得：“”是“ ”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充要条件的判断，以及空间向量共线的运算，考查运算能力.
11．（2020·上海闵行区·高三二模）已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，由，，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案.
【详解】解：根据条件可得F（1，0），
则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝1，
因为，，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，
即有λ1＝，λ2＝，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题.
12．（2021·上海金山区·高三一模）已知的外接圆圆心为，，若(，Î)，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】设与 交点为，则其中，由于，得，因为 故的最小值可得.
【详解】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示：

则，设，因为三点共线，则
所以，故
因为，则所以
则 ，故 所以的最小值为2
故选：D
【点睛】设，因为三点共线，则，得是解题的关键.

二、填空题
13．（2020·上海嘉定区·高三二模）设，则________．
【答案】5.
【分析】先由，求出，再代入式子求模.
【详解】由，则．
故答案为：5
【点睛】本题考查了在复数范围内解一元二次方程，及求复数的模，属于容易题.
14．（2020·上海高三一模）已知复数满足（是虚数单位），则________
【答案】
【分析】根据复数的运算法则进行化简，即可求解.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
15．（2020·上海杨浦区·高三一模）设复数，(是虚数单位)，则__________.
【答案】
【分析】由复数的模的计算公式即可求出．
【详解】解：因为复数，
所以．
故答案为：．
16．（2020·上海奉贤区·高三一模）设，，且，则__________．
【答案】0
【分析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出的值，最后计算出它的余弦值即可.
【详解】因为，所以，
因此.
故答案为：0
【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.
17．（2020·上海普陀区·高三三模）已知向量与的夹角为，，，则__________.
【答案】6.
【分析】求出即得解.
【详解】由题意，向量的夹角为，
所以，
所以.
故答案为：6
【点睛】本题主要考查向量模的计算，考查向量的数量积运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知，，若∥，则＝_________________．
【答案】－1或3
【分析】根据向量平行的坐标表示，列式求解.
【详解】，，即，
解得：或.
故答案为：或
19．（2020·上海徐汇区·高三二模）若（是虚数单位）是关于的实系数方程的根，则=______
【答案】
【分析】由是关于的实系数方程的根,则另一根为,可得方程为,进而对应系数求解即可.
【详解】由题,关于的实系数方程的另一根为,
则方程为,即,
所以,,
则,
故答案为:
【点睛】本题考查实系数方程的应用,考查复数的运算.
20．（2020·上海金山区·高三二模）是虚数单位，则的值为__________
【答案】
【分析】由题意，根据复数模的计算即可得解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复数的运算及模的求解，属于基础题.
21．（2020·上海普陀区·高三一模）设是虚数单位，若是实数，则实数
【答案】
【分析】将化简为的形式，根据为实数，求得的值.
【详解】依题意，由于为实数，故.
【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.
22．（2020·上海奉贤区·高三一模）复数的虚部是_________.
【答案】1
【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后可得其虚部．
【详解】，虚部为1．
故答案为：1．
23．（2020·上海静安区·高三一模）如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.

【答案】
【分析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．
【详解】∵AB＝2，AD＝1，
∴


＝1﹣4
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
24．（2020·上海青浦区·高三二模）已知平面向量满足，，，则与的夹角为________.
【答案】
【分析】将两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得与的夹角的余弦值,进而求得与的夹角即可.
【详解】因为,则
因为,等式两边同时平方可得

代入,可得

设夹角为,则
由平面向量数量积的定义可得
因为
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.
25．（2020·上海崇明区·高三一模）正方形的边长为,是正方形的中心,过中心的直线与边交于点,与边交于点,为平面上一点,满足,则的最小值为________.
【答案】
【分析】建立坐标系,根据,求出点坐标,设出,坐标分别为,,将转化为关于,的函数,即可得到其最小值.
【详解】以为坐标原点,以过且平行于的直线为轴,
以过且垂直于的直线为轴建立坐标系,则,,
∴=,
∴
即点坐标为,
设,则,,
∴,
∴=,
当=且时,有最小值.
故答案为：
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积的坐标运算，同时考查了二次函数配方求最值，属于中档题.
26．（2020·上海黄浦区·高三一模）已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ••••••，则σ的取值范围是_____.
【答案】[30，36].
【详解】建立直角坐标系，如图所示：，
∴，
设点P（x，y），
∴，，
∴σ••••••


＝6[（x﹣1）2+（y）2+2]，
∵正六边形的中心Q（1，），所以S＝（x﹣1）2+（y）2表示点P（x，y）与点Q（1，）之间距离的平方，
∴由图可知S的最大值为4，最小值为3，
∴σ的最大值为36，最小值为30，
∴σ的取值范围是[30，36].
故答案为：[30，36].

【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，向量运算优先使用坐标运算，建立合适的坐标系能简化运算过程，侧重考查数学运算的核心素养.
27．（2020·上海闵行区·高三一模）在中，已知，，为的重心，用向量表示向量___________
【答案】
【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.
【详解】由重心的性质可知，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.
28．（2020·上海崇明区·高三一模）已知点为圆的弦的中点，点的坐标为，且，则的最大值为________
【答案】
【分析】设点，得到，根据向量的数量积的运算，求得点的轨迹方程，再由，即可求得的最大值.
【详解】设点，则
，
因为，所以，
整理得，即为点的轨迹方程为，
所以，故的最大值为.
故答案为：.
29．（2020·上海长宁区·高三一模）在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.
【答案】
【分析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值.
【详解】设，故，
即，
故，
，
所以 ，
两式相加可得，此式代入（1）式可得
或（舍去），
代入（1）式可得
故答案为：.
30．（2020·上海嘉定区·高三一模）在中，，，，则___________.
【答案】
【分析】利用，作为基底表示，，即可求出.
【详解】解：，
，
，
即，
又，
.
故答案为：.
31．（2019·上海高考真题）设为虚数单位，，则的值为__________
【答案】
【分析】把已知等式变形得，再由，结合复数模的计算公式求解即可．
【详解】由，得，即

本题正确结果：
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
32．（2021·上海静安区·高三一模）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为________________
【答案】2
【分析】把复数化为代数形式，再由复数的分类求解．
【详解】，
它为纯虚数，则且，解得．
故答案为：2．
33．（2021·上海静安区·高三一模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则＝____________.
【答案】
试题分析：
考点：向量数量积
34．（2020·上海徐汇区·高三二模）在中，，，为的三等分点，则______ .
【答案】
试题分析：即,
如图建立平面直角坐标系，为边的三等分点，

考点：向量的数量积
35．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是_____．
【答案】2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

则x+y，
设z＝﹣x+y，则y＝x+z，
平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，
由得，得A（0，2），
此时z＝﹣0+2＝2，
故的最大值是2，
故答案是：2.
【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.
36．（2020·上海奉贤区·高三一模）已知直线上有两个点、，已知满足，若，，则这样的点有__________个.
【答案】3
【分析】根据，联想平面向量数量积的夹角坐标运算公式，可以求出向量的夹角，然后分类讨论求出点的个数.
【详解】，因此有
或，

当关于直线对称时，,则，这是一个临界状态，此时只有一个点；
根据对称性，在上下移动过程中，要保持和，这样的点上下各一个，综上所述：点的个数为3个.
故答案为：3
【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了数形结合思想.
37．（2020·上海高三其他模拟）如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则________.

【答案】
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，，，求出直线的方程，可设，，可得，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．
【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，
直线的方程为，
可设，，可得，
即有
，
则．
故答案为：180．

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
38．（2020·上海闵行区·高三一模）若是正六边形的中心，，且互不相同，要使得，则有序向量组的个数为 ____________
【答案】48
【分析】按照，的夹角为和两种情况讨论，再求和即可得解.
【详解】

①如左图，这样的，有对，且，可交换，此时有种情况，
有序向量组个数为个；
②如右图，这样的，有对，且，可交换，此时有种情况，
有序向量组个数为个.
综上所述，总数为个.
故答案为：.
【点睛】本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
39．（2020·上海杨浦区·高三一模）在直角坐标平面中，，动点在圆上，则的取值范围为_______.
【答案】
【分析】因为动点在圆上,故可设,求出和,即可求得答案.
【详解】动点在圆上
令

,





的取值范围:
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积取值范围,解题关键是掌握圆的参数方程和正弦函数两角和公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
40．（2020·上海徐汇区·位育中学）已知点在以为直径的圆上，若，，，则______.
【答案】12
【分析】连接、、，根据圆的圆周角性质，可得，从而得出，利用平面向量的线性运算求得，最后结合平面向量的数量积公式，即可求出结果.
【详解】解：连接、、，如图所示，
由于为圆的直径，，，，
则，，
由于


，
即：.
故答案为：12.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量数量积公式，考查转化思想和计算能力.
41．（2020·上海闵行区·高三二模）已知A、B、C是边长为1的正方形边上的任意三点，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】建系，设A（a，0），B（p，q），C（r，s），利用不等式，考虑极限情况求范围.
【详解】解：建系如图，
M（1，0），N（1，1），P（0，1），
设A（a，0），B（p，q），C（r，s），其中a，p，q，r，s∈[0，1]，
，
当且仅当或时,等号成立；
，
当且仅当，即或时，等号成立.
故答案为：.

【点睛】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
42．（2020·上海徐汇区·高三一模）在中，，是的中点，若，在线段上运动，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】先判断是等腰直角三角形，，以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，写出点的坐标，设且，求出和的坐标，计算再求最值即可.
【详解】

在中，，，所以，，
是等腰直角三角形，，
如图以所在的直线为轴，以的中点为坐标原点建立直角坐标系，
则，设
则 ，
所以
，
所以时，取得最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断是等腰直角三角形，易于建坐标系，设出动点坐标且，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积，再计算最值.
43．（2020·上海青浦区·高三一模）已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】不妨设，，则根据条件可得：， ，根据柯西不等式得到，令，利用二次函数的单调性可得.
【详解】由题意知：不妨设，，
则根据条件可得：
，，
根据柯西不等式得：

因为，
， ，
当且仅当时取等号；
令，则，又，则，
所以，当时，，即；
，而，所以当时，，即，故的取值范围是.
【点睛】关键点睛：设，，则根据条件可得：，
，利用柯西不等式和换元法把问题转化为求二次函数的最值问题是解决本题的关键.
44．（2020·上海杨浦区·高三一模）如图所示矩形中，，，分别将边与等分成份，并将等分点自下而上依次记作、、、，自左到右依次记作、、、，满足（其中、，）的有序数对共有_______对.

【答案】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，易得，，由可得出，然后列举出符合条件的有序实数对即可得解.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

易知点，，
则，，所以，，可得，
所以符合条件的有序数对有：、、、、、、、、、、、、、、、、、，
共对.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
45．（2019·上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________
【答案】
【分析】通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围.
【详解】由题意：，
设，，因为，则
与结合 ，又

与结合，消去，可得：

所以
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.
46．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知的二项展开式中的常数项的值是，若(其中是虚数单位)，则复数的模___________.(结果用数值表示)
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出的值，再根据复数相等，求出，进而求得复数的模.
【详解】的二项展开式的通项为：
令，得，可得常数项为

，则复数的模
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：本题考查二项展开式的通项，及复数的四则运算及复数的模长，熟记的二项展开式的通项是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.
47．（2021·上海金山区·高三一模）在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是___________.
【答案】45
【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值．
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：

，，，
外接圆，
设，，
则，，
，，当且仅当时取等号．
所以的最大值是45．
故答案为：45．
48．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知平面向量满足，向量()，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】利用向量数量积的运算律，将不等式化为，即该不等式在任意成立，根据判别式即可求k的范围.
【详解】由题设，，
∴，
由已知条件，得：，
整理得：对任意成立，即，
∴，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律，结合一元二次不等式在实数域上恒成立，由判别式求参数范围.
三、解答题
49．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知向量，（，），令（）.
（1）化简，并求当时方程的解集；
（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.
【答案】（1），或，；
（2）时，，时，
【分析】（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；
（2）由化简变形可得结果.
【详解】解：（1）因为，，
所以

，
当时，，
由得，
解得或，
所以方程的解集为或
（2）当时，，
化简得，
解得，
所以当时，，当时，
【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.
50．（2020·上海奉贤区·高三一模）如图，曲线的方程是，其中、为曲线与轴的交点，点在点的左边，曲线与轴的交点为.已知，，，的面积为.

（1）过点作斜率为的直线交曲线于、两点（异于点），点在第一象限，设点的横坐标为、的横坐标为，求证：是定值；
（2）过点的直线与曲线有且仅有一个公共点，求直线的倾斜角范围；
（3）过点作斜率为的直线交曲线于、两点（异于点），点在第一象限，当时，求成立时的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3．
【分析】（1）直线方程为，分类讨论，和，求出的坐标，计算即证；
（2）由三角形面积求出，得是双曲线的焦点，求出直线与下半圆相切时的斜率，然后结合双曲线的性质可得直线与曲线只有一个交点时倾斜角的范围；
（3）由数量积的坐标运算求得，计算，后可得．
【详解】解：（1）证明：直线方程为
时，由，解得，或，∴，
，由，解得，或，∴，
∴；
（2）由题意，，，解得，
设过的直线的方程为，则只有一个解，
只有一解，
，，由图知，易知直线的方程为也符合题意，双曲线的渐近线为，是此双曲线的右焦点，由双曲线性质知直线的倾斜角的取值范围是；
（3），由（1）有，
则，解得，
，，，
∴，，
∴．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与曲线（半圆与半双曲线）的位置关系，解题方法是解析几何的基本方法：解方程组求得交点的坐标，然后由的坐标解决问题．对于直线曲线只有一个交点问题可结合图形，利用数形结合思想得出直线倾斜角范围．