专题2.2 透过二模看高考（平面解析几何）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题2.2 透过二模看高考—平面解析几何

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1．（2021崇明二模）（16分）双曲线C：x2﹣＝1（b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B是双曲线C上一点．

（1）当b＝2时，求双曲线两条渐近线的夹角；

（2）若直线BF的倾斜角为，与双曲线C的另一交点为D，且|BD|＝8，求b的值；

（3）若＝0，且||＝||，点E是双曲线C上位于第一象限的动点，求证：∠EFA＝2∠EAF．

2、（2021奉贤二模）曲线与曲线在第一象限的交点为．曲线是（）和（）组成的封闭图形．曲线与轴的左交点为、右交点为．

（1）、设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段 的方程；

（2）、在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由．

（3）、设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为．直线与曲线在第一象限的两个交点为、．当 对任意直线恒成立，求的值．

3．（2021嘉定二模）（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求点的坐标；

（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值

4.（2021普陀二模）（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知曲线:的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点.

（1）求△的周长；

（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；

（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

5．（2021松江二模）（16分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点．

（1）若直线l的方程为y＝x﹣1，求线段AB的长；

（2）若直线l经过点P（﹣1，0），点A关于x轴的对称点为A′，求证：A′、F、B三点共线；

（3）若直线l经过点M（8，﹣4），抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

6.（2021徐汇二模） （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

已知椭圆上有两点及，直线与椭圆交于、两点，与线段交于点（异于、）.

(1)当且时，求直线的方程；

(2)当时，求四边形面积的取值范围；

(3)记直线、、、的斜率依次为、、、. 当且线段的中点在直线上时，计算的值，并证明：.

7．（2021虹口二模）（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

已知椭圆的方程为.

（1）设是椭圆上的点，证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；

（2）过点作两条与椭圆只有一个公共点的直线，公共点分别记为、，点在直线上的射影为点，求点的坐标；

（3）互相垂直的两条直线与相交于点，且、都与椭圆只有一个公共点，求点的轨迹方程．

8.（2021黄浦区二模）（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上的任一点.

(1)试写出向量的坐标(用含的字母表示)；

(2)若的最大值为，最小值为，求实数的值；

(3)在满足(2)的条件下，若直线与椭圆交于两点(与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标.

9．（2021闵行二模）(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

如图，已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，直线，直线分别交直线于两点，线段的中点为.

(1)设直线的斜率分别为，求的值；

(2)设的面积分别为，如果，求直线的方程；

(3) 在轴上是否存在定点，使得当直线的斜率存在时， 为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10．（2021长宁二模）（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若，求点纵坐标的值；

（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为. 若、、三点共线，求证：为定值．

11．（2020·上海嘉定区·高三二模）已知椭圆过点，且它的一个焦点与抛物线的焦点相同．直线过点，且与椭圆相交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的一个方向向量为，求的面积（其中为坐标原点）；

（3）试问：在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

12．（2020·上海虹口区·高三二模）设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.

（1）求双曲线C的方程；

（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；

（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：为定值（其中O为坐标原点）.

13．（2020·上海浦东新区·高三二模）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程；

（3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围.

14．（2020·上海奉贤区·高三二模）直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.

（1）求点的坐标；

（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；

（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.

15．（2020·上海长宁区·高三二模）已知椭圆的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍.椭圆的上、下顶点分别为，经过点的直线与椭圆相交于两点(不同于两点).

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线，求点的坐标；

（3）设直线相交于点，求证：是定值.

16．（2020·上海徐汇区·高三二模）已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，、分别为椭圆的左、右两个焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的切线（与椭圆有唯一交点）的方程为，切线与直线和直线分别交于点、，求证：为定值，并求此定值；

（3）设矩形的四条边所在直线都和椭圆相切（即每条边所在直线与椭圆有唯一交点），求矩形的面积的取值范围.

17．（2020·上海崇明区·高三二模）已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.

（1）当时，求线段AF的长；

（2）求证：点P在椭圆上；

（3）求证：.

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18．（2019·上海高考真题）已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.

（1）当时，求；

（2）证明：存在常数，使得；

（3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系.

19．（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．

（1）用表示点到点距离；

（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；

（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（2017·上海高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于

上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.

（1）若在第一象限，且，求的坐标；

（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，

求直线的方程.