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专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
展开专题六 第一章 复习与检测
一、核心素养聚焦
考点一 逻辑推理-相等向量和平行(共线)向量
例题7.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且=,=.求证:四边形EFGH是梯形.
证明:∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴=,=.
则=-=-=(-)=.
∵=-=-=(-)=,
∴∥且||=||≠||.
又F不在EH上,故四边形EFGH是梯形.
考点二 数学运算-向量的模
例题8已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是________.
【答案】
【解析】由已知,得
b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0).
∴|b-a|=
==.
∴当t=时,|b-a|的最小值为.
二、学业质量测评
一、选择题
1.已知,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.以上都不对
【答案】C
【详解】
故选:C
2.已知四面体ABCD,=,=,=,点M在棱DA上,=3,N为BC中点,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】
解:连接DN,如图所示,
四面体ABCD中,=,=,=,
点M在棱DA上,且=3,∴,
又N为BC中点,∴;
∴
.
故选:C.
3.下列各组两个向量中,平行的一组向量是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
【答案】B
【详解】
在A中,,,不存在实数,使得,故A中两个向量不平行,故A错误;
在B中,,,,故B中两个向量平行,故B正确;
在C中,,,不存在实数,使得,故C中两个向量不平行,故C错误;
在D中,,,不存在实数,使得,故D中两个向量不平行,故D错误.
故选:B
4.若向量,,且与夹角的余弦值为,则等于( )
A. B. C.或 D.2
【答案】A
【详解】
向量,,与夹角的余弦值为,
,
解得(舍去).
故选:A.
5.如图,为正方体的棱上一点,且,为棱上一点,且,则 ( )
A. B.2:6 C. D.
【答案】A
【详解】
如下图,以为坐标原点,射线,,的方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,
设正方体棱长为,则,,,
∴,,
∵,
∴,即,
∴,
解得,
∴,,
∴.
故选:A
6.已知正四棱柱中,,,点为的中点,则异面直线与所成的角等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,
设与所成角为,
则,
∴.
∴异面直线与所成的角为.
故选:A
7.(多选题)已知向量,下列等式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【详解】
A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;
B.左边
右边,左边=右边,因此正确.
C.
左边,右边左边=右边,因此正确.
D.由C可得左边=,
左边=右边,因此正确.
故选:BCD
8.(多选题)在以下命题中,不正确的命题有( )
A.是、共线的充要条件
B.若,则存在唯一的实数,使
C.对空间任意一点和不共线的三点、、,若,则、、、四点共面
D.若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底
【答案】ABC
【详解】
对于A选项,充分性:若,则、方向相反,且,充分性成立;
必要性:若、共线且方向相同,则,即必要性不成立,
所以,是、共线的充分不必要条件,A选项错误;
对于B选项,若,,则,但不存在实数,使得,B选项错误;
对于C选项,对空间任意一点和不共线的三点、、,
若、、、四点共面,可设,其中、,
则,可得,
由于,,此时,、、、四点不共面,C选项错误;
对于D选项,假设、、共面,
可设,
由于为空间的一个基底,可得,该方程组无解,
假设不成立,所以,构成空间的另一个基底,D选项正确.
故选:ABC.
二、填空题
9.已知A(2,-5,1),B(2,-4,2),C(1,-4,1),则与的夹角为________.
【答案】60°
【详解】
由题意得,,
,
,
与的夹角为60°.
故答案为:60°.
10.已知向量=(a,b,0),=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:
①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);
②的最大值为;
③(的夹角)的最大值为;
④若定义,则的最大值为.
其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)
【答案】①③④
【详解】
①取z轴的正方向单位向量=(0,0,1),则=,因为,所以向量与z轴正方向的夹角恒为定值,故正确;
②=ac+bd≤=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此的最大值为1,故错误;
③由②可得≤1,所以-1≤≤1,所以=≥=,所以的最大值是,故正确;
④由③可知:,所以≤≤≤sin≤1,所以 ,故正确.
故答案为:①③④.
11.已知空间向量,,,,1,,若与垂直,则等于
___________.
【答案】
【详解】
解:,,,,1,,
,,,
与垂直,
,
,
解得,,
,,
.
故答案为:.
12.在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________,平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________.
【答案】
【详解】
取AC中点E,连接BE,则BE⊥AC,
如图所示,建立空间直角坐标系B-xyz,
则A,D(0,0,1),C,
=,
=.
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),
∴
令x=2,z=3,y=0,
∴n=(2,0,3),
又为平面ABC的法向量,=(0,0,1),
∴cos〈n·〉==.
∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C,
平面ABC∩平面AA1C1C=AC,BE⊥AC,
∴BE⊥平面AA1C1C,
∴=为平面AA1C1C的一个法向量,
又=,
∴cos〈〉=-,
设AD与平面AA1C1C所成的角为α,
则sin α=|cos〈〉|=.
故答案为:①;②.
三、解答题
13.如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:由点E、F分别是AD、BC的中点,则,
由四边形ABCD为正方形,所以.
,,EF,平面PEF,平面PEF.
又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.
由(1)可得,DE⊥PE.又,,所以.又,,则,故PE⊥PF.
由等面积法可得,从而.
则,,,,为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ,则.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
14.如图,在直三棱柱中,点D在棱上,E,F分别是,BC的中点,,.
(1)证明:;
(2)当D为的中点时,求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【详解】
(1)证明:在直三棱柱中,有,
又,,平面,
又平面,.
,,
如图,分别以AC,,AB所在直线为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,.
设,则,,
,.
(2)当D为的中点时,,,,
设平面DEF的法向量为,则,即
令得,,
易知平面ABC的法向量为,
所以,
即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.
15.已知三棱柱中,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,在线段上是否存在一点,使二面角的平面角的余弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)在线段上存在一点,.
【详解】
(1)在三棱柱中,四边形为平行四边形,
,所以,四边形为菱形,
连接,则,又,且,平面,
平面,,
又,即,,平面,
平面,平面平面;
(2)以为坐标原点,分别以、所在直线为、轴,面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,
、、、,
设在线段上存在一点,满足,使得二面角的余弦值为,则,
,
,,
设平面的一个法向量为,由,
取,可得,,得,
平面的一个法向量为,
由,
整理可得,即,
,解得.
故在线段上存在一点,满足,使二面角的余弦值为.
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