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    专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
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    专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)

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    这是一份专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册),文件包含专题六第一章复习与检测核心素养练习解析版docx、专题六第一章复习与检测核心素养练习原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。

    专题六    第一章  复习与检测

    一、核心素养聚焦

    考点一  逻辑推理-相等向量和平行(共线)向量

    例题7.如图,已知空间四边形ABCDEH分别是边ABAD的中点,FG分别是边CBCD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.

    证明:EH分别是边ABAD的中点,.

    ().

    ()

    ||||||.

    F不在EH上,故四边形EFGH是梯形.

    考点   数学运算-向量的模

    例题8已知a(1t,1tt)b(2tt),则|ba|的最小值是________

    答案 

    解析由已知,得

    ba(2tt)(1t,1tt)(1t,2t1,0)

    |ba|

    .

    t时,|ba|的最小值为.

    二、学业质量测评

    一、选择题

    1已知,则下列结论正确的是(   

    A B

    C D以上都不对

    【答案】C

    【详解】

    故选:C

    2已知四面体ABCD,点M在棱DA上,3NBC中点,则=(   

    A B

    C D

    【答案】C

    【详解】

    解:连接DN,如图所示,

    四面体ABCD中,

    M在棱DA上,且3

    NBC中点,

    故选:C.

    3下列各组两个向量中,平行的一组向量是(   

    A

    B

    C

    D

    【答案】B

    【详解】

    A中,,不存在实数,使得,故A中两个向量不平行,故A错误;

    B中,,故B中两个向量平行,故B正确;

    C中,,不存在实数,使得,故C中两个向量不平行,故C错误;

    D中,,不存在实数,使得,故D中两个向量不平行,故D错误.

    故选:B

    4若向量,且夹角的余弦值为,则等于(

    A B C D2

    【答案】A

    【详解】

    向量夹角的余弦值为

    解得舍去).

    故选:A.

    5如图,为正方体的棱上一点,且为棱上一点,且,则    

    A B2:6 C D

    【答案】A

    【详解】

    如下图,以为坐标原点,射线的方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系,

    设正方体棱长为,则

    ,即

    解得

    故选:A

    6已知正四棱柱中,,点的中点,则异面直线所成的角等于(   

    A B C D

    【答案】A

    【详解】

    为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

    所成角为

    异面直线所成的角为

    故选:A

    7多选题已知向量,下列等式中正确的是(   

    A

    B

    C

    D

    【答案】BCD

    【详解】

    A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;

    B.左边

    右边左边=右边,因此正确.

    C.

    左边,右边左边=右边,因此正确.

    D.C可得左边=

    左边=右边,因此正确.

    故选:BCD

    8多选题在以下命题中,不正确的命题有(   

    A共线的充要条件

    B,则存在唯一的实数,使

    C对空间任意一点和不共线的三点,若,则四点共面

    D为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底

    【答案】ABC

    【详解】

    对于A选项,充分性:若,则方向相反,且,充分性成立;

    必要性:若共线且方向相同,则,即必要性不成立,

    所以,共线的充分不必要条件,A选项错误;

    对于B选项,若,则,但不存在实数,使得B选项错误;

    对于C选项,对空间任意一点和不共线的三点

    四点共面,可设,其中

    ,可得

    由于,此时,四点不共面,C选项错误;

    对于D选项,假设共面,

    可设

    由于为空间的一个基底,可得,该方程组无解,

    假设不成立,所以,构成空间的另一个基底,D选项正确.

    故选:ABC.

    、填空题

    9已知A(2,-51)B(2,-42)C(1,-41),则的夹角为________

    【答案】60°

    【详解】

    由题意得

    的夹角为60°

    故答案为:60°.

    10已知向量=(ab0)=(cd1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:

    向量z轴正方向的夹角恒为定值(即与cd无关)

    的最大值为

    (的夹角)的最大值为

    若定义,则的最大值为.

    其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)

    【答案】①③④

    【详解】

    z轴的正方向单位向量=(001),则=,因为,所以向量z轴正方向的夹角恒为定值,故正确;

    =ac+bd=1,当且仅当a=cb=d时取等号,因此的最大值为1,故错误;

    可得≤1,所以-1≤≤1,所以==,所以的最大值是,故正确;

    可知:,所以≤sin≤1,所以 ,故正确.

    故答案为:①③④.

    11已知空间向量1,若垂直,则等于  

    ___________.

    【答案】

    【详解】

    解:1

    垂直,

    解得,

    故答案为:.

    12在正三棱柱ABC­A1B1C1中,已知AB1D在棱BB1上,且BD1,则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________,平面ACDABC所成二面角的余弦值为________

    【答案】       

    【详解】

    AC中点E,连接BE,则BEAC

    如图所示,建立空间直角坐标系B-xyz

    AD(001)C

    设平面ACD的法向量为n(xyz)

    x2z3y0

    n(203)

    为平面ABC的法向量,(001)

    cosn·〉=

    平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为

    平面ABC平面AA1C1C

    平面ABC平面AA1C1CACBEAC

    BE平面AA1C1C

    为平面AA1C1C的一个法向量,

    cos〉=-

    AD与平面AA1C1C所成的角为α

    sin α|cos|

    故答案为:.

     

    、解答题

    13如图,四边形ABCD为正方形,EF分别为ADBC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF

    1)证明:平面PEF平面ABFD

    2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2.

    【详解】

    1)证明:由点EF分别是ADBC的中点,则

    由四边形ABCD为正方形,所以

    EF平面PEF平面PEF

    BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD

    2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD

    H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系

    由(1)可得,DEPE.又,所以.又,则,故PEPF

    由等面积法可得,从而

    为平面ABFD的法向量.

    DP与平面ABFD所成角为θ,则

    所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为

    14如图,在直三棱柱中,点D在棱上,EF分别是BC的中点,

    1)证明:

    2)当D的中点时,求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

    【答案】1)证明见解析;(2

    【详解】

    1)证明:在直三棱柱中,有

    平面

    平面

    如图,分别以ACAB所在直线为轴建立空间直角坐标系

    ,则

    2)当D的中点时,

    设平面DEF的法向量为,则,即

    得,

    易知平面ABC的法向量为

    所以

    即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

    15已知三棱柱中,

    1)求证:平面平面

    2)若,在线段上是否存在一点,使二面角的平面角的余弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.

    【答案】1)证明见解析;(2)在线段上存在一点.

    【详解】

    1)在三棱柱中,四边形为平行四边形,

    ,所以,四边形为菱形,

    连接,则,又,且平面

    平面

    ,即平面

    平面平面平面

    2)以为坐标原点,分别以所在直线为轴,面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    设在线段上存在一点,满足,使得二面角的余弦值为,则

    设平面的一个法向量为,由

    ,可得,得

    平面的一个法向量为

    整理可得,即

    ,解得.

    故在线段上存在一点,满足,使二面角的余弦值为

     

     

     

     

     

     

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