专题06 第一章 复习与检测 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题六    第一章  复习与检测

一、核心素养聚焦

考点一  逻辑推理-相等向量和平行（共线）向量

例题7.如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．

证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝，＝.

则＝－＝－＝(－)＝.

∵＝－＝－＝(－)＝，

∴∥且||＝||≠||.

又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．

考点二   数学运算-向量的模

例题8已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．

【答案】　

【解析】由已知，得

b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．

∴|b－a|＝

＝＝.

∴当t＝时，|b－a|的最小值为.

二、学业质量测评

一、选择题

1．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．以上都不对

【答案】C

【详解】

故选：C

2．已知四面体ABCD，＝，＝，＝，点M在棱DA上，＝3，N为BC中点，则＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

解：连接DN，如图所示，

四面体ABCD中，＝，＝，＝，

点M在棱DA上，且＝3，∴，

又N为BC中点，∴；

∴

．

故选：C.

3．下列各组两个向量中，平行的一组向量是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【详解】

在A中，，，不存在实数，使得，故A中两个向量不平行，故A错误；

在B中，，，，故B中两个向量平行，故B正确；

在C中，，，不存在实数，使得，故C中两个向量不平行，故C错误；

在D中，，，不存在实数，使得，故D中两个向量不平行，故D错误.

故选：B

4．若向量，，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）

A． B． C．或 D．2

【答案】A

【详解】

向量，，与夹角的余弦值为，

，

解得（舍去）.

故选：A.

5．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （    ）

A． B．2:6 C． D．

【答案】A

【详解】

如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为，则，，，

∴，，

∵，

∴，即，

∴，

解得，

∴，，

∴．

故选：A

6．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，

设与所成角为，

则，

∴．

∴异面直线与所成的角为．

故选：A

7．（多选题）已知向量，下列等式中正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【详解】

A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；

B.左边

右边，左边=右边，因此正确.

C.

左边，右边左边=右边，因此正确.

D.由C可得左边=，

左边=右边，因此正确.

故选：BCD

8．（多选题）在以下命题中，不正确的命题有（    ）

A．是、共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使

C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面

D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

【答案】ABC

【详解】

对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；

必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，

所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；

对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；

对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，

若、、、四点共面，可设，其中、，

则，可得，

由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；

对于D选项，假设、、共面，

可设，

由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，

假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.

故选：ABC.

二、填空题

9．已知A(2，－5，1)，B(2，－4，2)，C(1，－4，1)，则与的夹角为________．

【答案】60°

【详解】

由题意得，，

，

，

与的夹角为60°．

故答案为：60°.

10．已知向量=(a，b，0)，=(c，d，1)，其中a2+b2=c2+d2=1，现有以下命题：

①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)；

②的最大值为；

③(的夹角)的最大值为；

④若定义，则的最大值为.

其中正确的命题有___________.(写出所有正确命题的序号)

【答案】①③④

【详解】

①取z轴的正方向单位向量=(0，0，1)，则=，因为，所以向量与z轴正方向的夹角恒为定值，故正确；

②=ac+bd≤=1，当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，故错误；

③由②可得≤1，所以-1≤≤1，所以=≥=，所以的最大值是，故正确；

④由③可知：，所以≤≤≤sin≤1，所以 ，故正确.

故答案为：①③④.

11．已知空间向量，，，，1，，若与垂直，则等于　　

___________.

【答案】

【详解】

解：，，，，1，，

，，，

与垂直，

，

，

解得，，

，，

．

故答案为：.

12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为________，平面ACD与ABC所成二面角的余弦值为________．

【答案】       

【详解】

取AC中点E，连接BE，则BE⊥AC，

如图所示，建立空间直角坐标系B-xyz，

则A，D(0，0，1)，C，

＝，

＝．

设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)，

∴

令x＝2，z＝3，y＝0，

∴n＝(2，0，3)，

又为平面ABC的法向量，＝(0，0，1)，

∴cos〈n·〉＝＝．

∴平面ACD与平面ABC所成二面角的余弦值为．

∵平面ABC⊥平面AA1C1C，

平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC，

∴BE⊥平面AA1C1C，

∴＝为平面AA1C1C的一个法向量，

又＝，

∴cos〈〉＝－，

设AD与平面AA1C1C所成的角为α，

则sin α＝|cos〈〉|＝．

故答案为：①；②.

三、解答题

13．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）证明：由点E、F分别是AD、BC的中点，则，

由四边形ABCD为正方形，所以．

，，EF，平面PEF，平面PEF．

又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD．

（2）作PH⊥EF，垂足为H．由（1）得，PH⊥平面ABFD．

以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（1）可得，DE⊥PE．又，，所以．又，，则，故PE⊥PF．

由等面积法可得，从而．

则，，，，为平面ABFD的法向量．

设DP与平面ABFD所成角为θ，则．

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为．

14．如图，在直三棱柱中，点D在棱上，E，F分别是，BC的中点，，．

（1）证明：；

（2）当D为的中点时，求平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】

（1）证明：在直三棱柱中，有，

又，，平面，

又平面，．

，，

如图，分别以AC，，AB所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．

设，则，，

，．

（2）当D为的中点时，，，，

设平面DEF的法向量为，则，即

令得，，

易知平面ABC的法向量为，

所以，

即平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．

15．已知三棱柱中，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，.

【详解】

（1）在三棱柱中，四边形为平行四边形，

，所以，四边形为菱形，

连接，则，又，且，平面，

平面，，

又，即，，平面，

平面，平面平面；

（2）以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，

、、、，

设在线段上存在一点，满足，使得二面角的余弦值为，则，

，

，，

设平面的一个法向量为，由，

取，可得，，得，

平面的一个法向量为，

由，

整理可得，即，

，解得.

故在线段上存在一点，满足，使二面角的余弦值为．