专题06 第一章 复习与检测 知识精讲-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

专题六    第一章  复习与检测

一 知识结构图

二.学法指导

1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．

2．空间向量的数量积

(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．

(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cos θ等．

3．利用空间向量证明空间中的位置关系

4.用向量法求空间角的注意点

(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．

(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－或者－〈n，a〉．

(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．

5.向量求和的注意点

(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．

(2)两个向量的和向量仍是一个向量．

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．

三.知识点贯通

知识点1   空间向量的线性运算和数量积

例题1.已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求：

①·；

②(＋)·(＋)；

③|＋＋|.

知识点二   空间向量基本定理

基底的判断方法

判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．

例题2：如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量.

知识点三   空间向量的坐标表示

空间向量的坐标运算公式

设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，

(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．

(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.

(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝.

(4)向量长度：设M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，

则||＝.

(5)a∥b⇔x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.

例题3 .已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．

①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；

②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．

知识点四  利用空间向量证明平行、垂直问题

例题4．在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．

知识点五   用空间向量求空间角和空间距离

例题5长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：

(1)M到直线PQ的距离；

(2)M到平面AB1P的距离．

五 易错点分析

易错一  求直线与平面所成的角

例题6.长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，PA＝1。求直线PA与平面PBC所成的角。

误区警示
直线与平面所成角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量成角余弦值的绝对值。