专题10 第三章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

专题十 第三章  复习与检测 知识精讲

一 知识结构图

二.学法指导

1.已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

3．巧用奇偶性及单调性解不等式

1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1<fx2或fx1>fx2的形式.

2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.

4.对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．

5．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．

三.知识点贯通

知识点1   求函数的定义域

求函数定义域的常用方法：

1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.

2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.

3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.

4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.

5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.

例1.(1)求函数y＝＋－的定义域．

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

【解析】(1)解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．

(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为(a－2x)，

所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，定义域为.

知识点二   求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法

1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.

2已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数），使用待定系数法.

3含fx与f－x或fx与，使用解方程组法.

4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

例题2：(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为______．

(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．

【答案】(1)f(x)＝（2）f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)　

【解析】(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1.

∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，

∴f(x)＝

(2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋

＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.

所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．

知识点三    函数的性质及应用

1.∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2.

  ∀x1，x2∈D，f(x)在D上递增，则f(x1)<f(x2)⇔x1>x2.

2.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。

3.函数f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x);函数f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)。

例题3 .已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．

【解析】　(1)由题意，得∴故f(x)＝.

(2)任取－1<x1<x2<1，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1＋x>0,1＋x>0.

又－1<x1x2<1，∴1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．

知识点四  函数的应用

例题4．某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)

(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？

(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？

(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？

【解析】　由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.

设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，

则fA(x)＝

fB(x)＝

(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．

(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝0.3，(n>500)，

所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．

(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)<fB(x)．

当x>500时，fA(x)>fB(x)．

当60<x≤500时，168＝x＋80，解得x＝.

当60<x<时，fB(x)>fA(x)；当≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．

即当通话时间在时，方案B才会比方案A优惠．

五 易错点分析

易错一  函数的定义域

例题5.函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)

A.　　 B.

C.   D.∪ 

【答案】D

【解析】　由得x<1且x≠，故选D.

误区警示
求函数的定义域，应使得式子有意义。实际问题要注意实际意义。

易错二 集合中元素的互异性

例题6.函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是增函数，解不等式：f(t－1)＋f(t)<0

【解析】由f(t－1)＋f(t)<0得f(t－1)<－f(t)＝f(－t)。∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1<t－1<－t<1，∴0<t<，∴不等式的解集为。

错误区警示

解决函数有关的问题，应注意函数的定义域，函数的定义域是函数性质中的重中之重。