专题13 第四章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

专题十三   第四章 复习与检测 知识精讲

一 知识结构图

二.学法指导

1.指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

2.识别函数的图象从以下几个方面入手：

(1)单调性：函数图象的变化趋势；

(2)奇偶性：函数图象的对称性；

(3)特殊点对应的函数值．

3．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.

4.比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．

5．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．

6．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．

7.换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围。

8.指数函数模型的应用

在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N1＋px其中N为基础数，p为增长率，x为时间的形式.

三.知识点贯通

知识点1   指数与对数的运算

1.正分数指数幂：规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)

2.负分数指数幂：规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)

3.幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．

4、对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

例1.计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；

(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.

【解析】　(1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.

(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.

知识点二   指数函数、对数函数的图象及应用

1.指数函数的性质

2.对数函数的图象与性质

例题2：(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)

A　    　B　    　C　    　D

(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.

①如图，画出函数f(x)的图象；

②根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

（1）【答案】B　

【解析】由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符．故选B.

(2)【解析】　①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

知识点三   指数函数、对数函数的性质

1.指数函数的性质

2.对数函数的图象与性质

例题3 .设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

【答案】A　

【解析】由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．

五 易错点分析

易错一  比较大小

例题4.若0<x<y<1，则(　　)

A．3y<3x    B．logx3<logy3    C．log4x<log4y     D.x<y

【答案】C

【解析】因为0<x<y<1，则

对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误．

对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误．

对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确．

对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，D错误．

误区警示
比较大小，底数相同，利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性比较大小，底数不同，找中间量，比较大小。

易错二 集合中元素的互异性

例题5.已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

①求a的值；

②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

【解析】　①因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．

又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.

令t＝log3x，因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.

错误区警示

对数函数、指数函数的单调性与底数的范围有关，考虑对数函数、指数函数的单调性应讨论其底数与1的大小的讨论。