专题11 指数函数与对数函数（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

专题十一  指数函数与对数函数    核心素养练习  

一、核心素养聚焦

考点一  逻辑推理-指数函数、对数函数性质的综合运用

例题16.（1）判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．

（2）已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)　　　　 B．(1,2)

C．(0,2)   D．[2，＋∞)

(3)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．

【解析】（1）　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，

∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．

∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0<u≤－1＝3，

∴原函数的值域为(0,3]．

（2）∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，

∴即∴∴1＜a＜2.

(3)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，

因为(x＋1)2＋2≥2。所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，

所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]

考点二   数学运算-幂的运算

例题17、计算：0＋2－2×－(0.01)0.5；

(2)化简：÷÷

(a>0)．

例题18. 求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝lg(x－2)＋；

(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．

【解析】　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，

所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，需满足解得－1<x<0或0<x<4，

所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．

考点三  直观想象-指数函数、对数函数的图象的应用

例题19.（1）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0   B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0   D．0<a<1，b<0

（2）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)

A　　    　B　           　C　             D

（1）【答案】D

【解析】由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1，又0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选D.

（2）【答案】C　

【解析】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.

二、学业质量测评

一、选择题

1．（2017·全国高一单元测试）已知10m＝2，10n＝4，则的值为(　　)

A.2 B. C. D.2

【答案】B

【解析】＝＝＝＝.

答案：B

2．（2013·全国高一课时练习）已知，则的值为（   ）

A． B．4 C．1 D．4或1

【答案】B

【解析】因为，

所以，

，,

解得=1（舍去），=4，故选B.

3．（2017·全国高一课时练习）已知，，，则、、的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】根据指数函数的性质可知,

函数为单调递减函数,所以,即

因为为单调递增函数,所以,即

综上可知,

故选B

4．（2018·全国高一课时练习）函数的图象的大致形状是（  ）

A． B．

C． D．   

【答案】C

【解析】当时，，当时，，

因，所以为上的增函数，为上的减函数，故选C.

5．（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）函数，x∈(0,8]的值域是(　　)

A.[－3，＋∞) B.[3，＋∞)

C.(－∞，－3] D.(－∞，3]

【答案】A

【解析】∵，故选A.

6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.

故选：C.

二、填空题

7．（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b=5，则用a，b表示log3645为          ．

【答案】

【解析】由已知得，则，

因为，所以，

即.

8．（2018·全国高一课时练习）已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则__________.

【答案】

【解析】原式＝.    ①

∵x＋y＝12，xy＝9，        ②

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.

∵x＜y，∴x－y＝－.        ③

将②③代入①得原式＝.

故答案为：

9．（2017·全国高一课时练习）设0<a<1，则使不等式成立的x的集合是________．

【答案】(－∞，4)

【解析】为减函数，，，解得，故使条件成立的的集合为，故答案为.

10．（2017·全国高一课时练习）函数f(x)=ax−2＋loga(x−1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．

【答案】(2,2)

【解析】当x=2时，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以图象必经过定点(2,2)．

三、解答题

11．（2018·全国高一课时练习）已知函数，求其单调区间及值域

【答案】函数的单调增区间是减区间是；值域是。

【解析】令u(x)= ，则u-4

由二次函数性质得：函数u(x)=在单调递减，在单调递增

由复合函数单调性判断法则得：原函数的单调增区间是减区间是；

因为 为单调减函数。所以

综上所述：函数的单调增区间是减区间是；值域是

12．（2018·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝a＋bx(b＞0，b≠1)的图像过点(1,4)和点(2,16)．

(1)求f(x)的表达式．

(2)解不等式

(3)当x∈(－3,4]时，求函数g(x)＝log2f(x)＋x2－6的值域．

【答案】（1）f(x)＝4x.（2）(－1,3)．(3)[－7,18]．

【解析】解：(1)由题知所以或 (舍去)．

所以f(x)＝4x.

(2)因为4x＞3－x2，所以22x＞2x2－3.所以2x＞x2－3.

所以x2－2x－3＜0.所以－1＜x＜3.所以不等式的解集为(－1,3)．

(3)g(x)＝log24x＋x2－6＝log222x＋x2－6＝2x＋x2－6＝(x＋1)2－7.

因为－1∈(－3,4]，所以g(x)min＝－7，

当x＝4时，g(x)max＝18.

所以值域为[－7,18]．

13．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log2f(a)=2，f(log2a)=k，a＞0，且a≠1.

（1）求a，k的值；

（2）当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．

【答案】（1）；（2）时，f(logax)有最小值.

【解析】（1）因为，

所以，

又a＞0，且a≠1，

所以.

（2）f(logax)=f(log2x)=(log2x)2−log2x＋2=(log2x−)2＋.

所以当log2x=，即时，f(logax)有最小值.