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专题09 幂函数、函数的应用(知识精讲) 高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第一册)学案
展开专题九 幂函数、函数的应用 知识精讲
一 知识结构图
内 容 | 考点 | 关注点 |
幂函数、函数的应用 | 幂函数的概念 | 自变量的位置 |
幂函数的性质 | 指数的范围 | |
幂函数的图象 | 指数的范围 | |
函数的应用 | 确定函数的模型 |
二.学法指导
1.判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:1指数为常数;2底数为自变量;3系数为1.
2. 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在0,1上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在1,+∞上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x或y=x3来判断.
3.比较幂的大小时若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.
4.(1).一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.
(2).一次函数的最值求解
一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
5.二次函数模型的解析式为gx=ax2+bx+ca≠0.在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
6(1).分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2).分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3).分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
三.知识点贯通
知识点1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
例1. 已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是幂函数,求m,n的值.
知识点二 幂函数的图象及应用
1.在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1的图象如图所示:
例题2:点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x).
知识点三 幂函数的性质运用
1.幂函数的性质
| y=x | y=x2 | y=x3 | y=x | y=x-1 |
定义域 | R | R | R | [0,+∞) | {x|x≠0} |
值域 | R | [0,+∞) | R | [0,+∞) | {y|y≠0} |
奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 | 非奇非偶 | 奇 |
单调性 | 增函数 | x∈[0,+∞) 时,增函数 x∈(-∞,0] 时,减函数 | 增函数 | 增函数 | x∈(0,+∞) 时,减函数 x∈(-∞,0) 时,减函数 |
例题3 .比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2)1.2,0.9,.
知识点四 一次函数模型的应用
一次函数为:
例题4.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套
C.4 000套 D.5 000套
类型五 二次函数模型的应用
二次函数:形如
例题5.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
类型六 分段函数模型的应用
例题6.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?
五 易错点分析
易错一 幂函数的判断
例题7.在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
易错二 幂函数的单调性
例题8.比较其大小关系:
(1)0.5与0.5; (2)-1与-1.