北师大版九年级下册5 三角函数的应用教案及反思

中考复习------三角函数的应用

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础

学生已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角互余），以及有一锐角是30°的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）.还掌握了一般直角三角形的边角关系和特殊角（30°，45°，60°的角）的三角函数值，并能应用三角函数知识解决相关的实际问题.

学生活动经验基础

学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，能把简单的实际问题转化为数学问题.具备了一定的探究能力和解决实际问题的能力.

二、教学任务分析

本课时是备考复习课，主要是让学生复习三角函数各知识点及其联系,，并能综合运用所学知识解决实际问题，同时进一步渗透“数形结合”思想.

知识与技能

1．以问题的形式梳理与三角函数有关的内容，使学生能熟练运用锐角三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题.

2．．从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法）.

3. 力图引发学生从例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸（如“做一做”）.

过程与方法

通过例题精讲，进一步渗透数形结合思想、化归思想、模型思想、方程思想,通过知识梳理、习题精练、小结反思,使学生积累一定的数学活动经验.

情感态度与价值观

在数学活动中培养学生的几何直观，发展应用意识，提高学生提出问题、发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的自信心.

教学重点: 灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.

教学难点:将实际问题转化为数学问题,建立数学模型.

三、教学过程分析

本节课共设计五个教学环节：知识梳理——典例精析——巩固训练——小结反思——学习评价.

第一环节   知识梳理

活动内容及形式：

1. 、总结梳理三角函数有关知识,并用适当的方法﹙如框图、关系结构图、表格、条目式等﹚呈现知识结构；先独立整理，再与同伴交流,小组合作补充,教师点拨完善.

2.结合主要知识点设计一组知识回顾简单练习题,学生独立完成后再与同伴交流、小组互评，教师点评.

课前预热

1．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（    ）

    A．         B．         C．         D．1

2．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（     ）

    A．        B．3         C．        D．

3．△ABC中，若sinA=，tanB=，则∠C=_______．

4．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB=           

第二环节  典例精讲

活动内容及形式：给出一组典型习题,学生先独立思考,提出解题思路，再由教师精讲,并对解题方法和数学思想进行归纳提升.

活动目的：通过“典例精讲”，使学生进一步理解锐角三角函数的概念，熟练运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形及相关问题，并能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.形成初步的数学经验和灵活快速的解题方法，提高学生综合运用知识解决问题的能力.

实际教学效果：

1.学生能够灵活运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形；

2.涉及斜三角形问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形问题；

3.能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并能借助方程建立未知量与已知量的关系，使问题得以解决.

例.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.

    （1）问B处是否会受到影响？请说明理由.

    （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物.

分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响.

（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决.

    解：（1）过B作BD⊥AC于D

    根据题意得：∠BAC=30°，在Rt△ABD中

    ∴B处会受到影响.

    （2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在Rt△DBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在Rt△BAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：

    ∴该船应在3.8小时内卸完货物.

例2 如图，C地在A地的正东方向，因有大山的阻隔，由A地到C地需绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路长。（结果保留整数）

（参考数据：sin67°≈12/13 ,cos67°≈5/12 , tan67°≈12/5  ,  √3≈1.73）

解：过点B作BD⊥AC于点D，

由题意得，AB=520km,∠ABD=67°, ∠ CBD=30°.

在Rt△ABD中，∵sin ∠ABD=AD/AB,

∴AD=ABsin67°=520×12/13=480(km).

∵cos∠ABD=BD/AB,

∴BD=ABcos67°=520×5/13=200.

在Rt△CBD中,∵tan∠CBD=CD/BD,

∴CD=BDtan30°=200×√3/3≈115.3(km).

∴AC=AD+CD=480+115.3≈595(km).

答：A地到C地之间高铁线路的长约为595km

    第三环节  巩固训练

活动内容及形式：

•    学生独立完成

•    活动目的：1.通过“巩固训练”深度挖掘教材中题目的数学价值,不失时机地提升学生的思维品质；

2.通过适量的练习让学生熟练掌握特殊角的三角函数值，巩固三角函数的相关运算，熟练利用计算器进行三角函数值及其对应的锐角度数间的互换解决简单的实际问题，提高综合运用知识解决问题的能力；

3.培养学生自我反馈，自主发展的意识，使学生在知识、情感和态度等诸方面得到发展

实际教学效果：这些题涉及的知识点和基本方法较多，但难度不是很大，大部分学生都能较快，较好地完成，达到了复习巩固本章主要知识和方法、提升学生思维品质的目的.

第四环节  小结反思 

活动内容及形式：让学生谈收获、需要注意的问题及疑惑，教师补充.

活动目的：鼓励学生自己进行课堂小结，启发学生动脑思考、归纳、总结所学知识，加深对系统的知识体系和解题方法的印象,通过小结反思，体验成功的喜悦和探索的乐趣，让学生认识自我，增强自信心.同时培养学生用简明语言概括的能力和准确的语言表达能力，使学生把所学知识进一步系统化.

实际教学效果：学生通过对本节课所学内容的归纳、总结，加深了对“直角三角形的边角关系”的整体认识和理解，

 第五环节  学习评价

活动内容及形式：课后作业

•                            公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．则这块草地的面积为_________

2如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是________．

活动目的：根据 “人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”理念，在设计课后学习评价时突出一个层次性，以满足不同基础水平和不同思维层次的同学的需要，使不同发展水平的学生都有收益. 其中基础题主要训练学生的定向思维，培养基本技能，提高题主要培养学生思维的严谨性、深刻性； 放飞题具有一定的挑战性，培养学生思维的灵活性，目的是让思维层次较高的学生跳一跳，摘得到，同时在挑战的过程中，训练学生的发散思维，培养学

四、教学反思

 ﹙一﹚亮点

1.拉网回顾  建构体系  促进理解

本节课以问题为抓手、以题组为线索、以方法指导为突破，引领学生自主梳理本章知识，进行“拉网式”的回顾，在学生对全章知识有了较全面的认识，初步形成知识块后通过练习反观所学知识，站在一定的高度重新审视所学知识，反思自己对本章知识掌握情况，在练习中逐步形成对全章知识的系统化认知.力求让学生学有所思，思有所悟，悟有所得.

2.以生为本，渗透思想，促进发展

本着教学以学生发展为本的原则，整体设计力图使学生在充满乐趣与挑战的氛围中，大胆尝试，愉快合作，充分地感悟提升，理性地分析评价..在教学中努力构建平等、民主的氛围，尽可能地为学生提供“真实性任务”，让学生自主学习，自主建构知识，点燃他们思维的火花，调动其学习的积极性和主动性，在小组合作、探究学习中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，在动手、动脑的前提下自我发现、自我总结、自我提升.在第二环节“典例精讲”教师通过追问、拓展、点评、提升规律来加深学生对问题的理解.第三环节“巩固训练”沿独立思考——小组交流互评——小组代言人讲解思路——组间相互补充的路径操作，学生参与课堂展示积极性高涨，敢于表达自己的不同见解，对每一个题目积极探究避繁就简，寻求解题的最优方案.同时，教学中教师重视数学思想方法的渗透，从数形结合的角度出发，加深学生对所学内容的印象及相关概念的理解，并及时地把有关知识上升为数学经验，使学生形成个性化的学习技能，促进发展.

3. 关注差异   精讲精练  拓展延伸

教科书为我们提供了大量的教学素材，我们根据学生的实际情况进行了适当调整.深度挖掘教材中题目的数学价值，不失时机地提升学生的思维品质.根据 “人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”理念，本节课围绕教学内容和目标，在整个教学过程中始终关注学生思维水平和认知差异，精讲精练，从“回顾练习”----“典例精讲”----“拓展提高”----“放飞思维”分层进行技能训练，力求问题梯次化、梯次层次化、层次序列化，立足于满足不同基础水平和不同思维层次的学生的需要，力求使不同发展水平的学生都有收益，为学生营造了自主学习、主动发展的空间.

4. 引导小结，注重评价，促进反思

本节课第五环节“小结反思”在教师启发引导下，学生动脑思考，归纳总结所学知识，并指导学生进行自评、互评，有利于培养学生自我反馈、自我评价、自主发展的意识，促使学生反思自己的学习方法和态度，使学生在知识、情感和态度等诸方面得到发展.

（二）遗憾

本课时学生与学生、教师与学生之间以“对话”、“讨论”为基本特征，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，意在为学生创设一个自主学习、自主探索、自主发展的较为宽松的平台，但操作过程中整节课的“流畅、开放、合作”显得不足，有时可能怕影响教学进度，完成不了预定的教学任务而中断学生的讨论，使学生的讨论显得不充分，第一环节“知识梳理”可考虑让学生课前完成.本节课还可采用不断变式进行知识的综合运用.