高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练11.2《参数方程》(教师版)

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1．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝mt))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))(α为参数)．
(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于eq \r(2)，求实数m的取值范围．
(2)若点A的坐标为(2，0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．
解析：(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝mt))(t为参数)，普通方程为y＝mx，
圆C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))(α为参数)，
普通方程为x2＋(y－1)2＝1.圆心到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(m2＋1))，相交弦长＝2eq \r(1－\f(1,m2＋1))，
所以2eq \r(1－\f(1,m2＋1))≥eq \r(2)，所以m≤－1或m≥1.
(2)设P(cs α，1＋sin α)，Q(x，y)，则
x＝eq \f(1,2)(cs α＋2)，y＝eq \f(1,2)(1＋sin α)，
消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4).
2．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cs θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(14)，求直线l的倾斜角α的值．
解析：(1)因为ρcs θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
所以曲线C的极坐标方程ρ＝4cs θ可化为ρ2＝4ρcs θ，所以x2＋y2＝4x，
所以(x－2)2＋y2＝4.
(2)将eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4得：(tcs α－1)2＋(tsin α)2＝4，
化简得t2－2tcs α－3＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝2cs α，,t1t2＝－3，))
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)＝eq \r(4cs2α＋12)，
因为|AB|＝eq \r(14)，
所以eq \r(4cs2α＋12)＝eq \r(14).
所以cs α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈[0，π)，
所以α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3,4)π.
所以直线的倾斜角α＝eq \f(π,4)或α＝eq \f(3,4)π.
3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α,y＝1＋sin α))(α为参数，α∈R)，在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
解析：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝1＋sin α))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y－1＝sin α))⇒x2＋(y－1)2＝1，
由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \r(2)⇒eq \f(\r(2),2)ρsin θ－eq \f(\r(2),2)ρcs θ＝eq \r(2)⇒y－x＝2，即C2：x－y＋2＝0.
(2)∵直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，
又x2＋(y－1)2＝1的圆心(0，1)，半径为1，
故圆心到直线的距离d＝eq \f(|0－1＋2|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(\r(2),2)，
∴|AB|＝2eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2).
B组 能力提升练
4．(合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ－2cs θ＝0.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．
解析：(1)由ρ－2cs θ＝0得ρ2－2ρcs θ＝0，
由ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，得x2＋y2－2x＝0，
即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.
设曲线C1上的动点M(3cs α，2sin α)，易知点M在圆C2外，
由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝eq \r(（3cs α－1）2＋4sin2α)＝eq \r(5cs2α－6cs α＋5)＝eq \r(5（cs α－\f(3,5)）2＋\f(16,5))，
所以当cs α＝eq \f(3,5)时，|MC2|min＝eq \f(4\r(5),5)，
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝eq \f(4\r(5),5)－1，即|MN|的最小值为eq \f(4\r(5),5)－1.
5．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)sin α－cs α，,y＝3－2\r(3)sin αcs α－2cs2α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)m.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围．
解析：(1)曲线C1的参数方程为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)sin α－cs α，,y＝3－2\r(3)sin αcs α－2cs2α，))
消去参数，可得y＝x2(－2≤x≤2)，
由ρsin(θ－eq \f(π,4))＝eq \f(\r(2),2)m，得eq \f(\r(2),2)ρsin θ－eq \f(\r(2),2)ρcs θ＝eq \f(\r(2),2)m，所以曲线C2的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,x－y＋m＝0，))可得x2－x－m＝0，
∵曲线C1与曲线C2有公共点，
∴m＝x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4).
∵－2≤x≤2，∴－eq \f(1,4)≤m≤6.