专题1.4整式的加减精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【苏科版】

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2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（苏科版）
专题1.4整式的加减精讲精练
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【知识梳理】
1.同类项：
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
2.合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3.去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
4.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
（1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
（2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
【典例剖析】
【考点1】合并同类项
【例1】（2021秋•大丰区期末）合并同类项：
（1）5m+2n﹣m﹣3n
（2）3a2﹣1﹣2a﹣5+3a﹣a2
【变式1.1】（2021秋•溧阳市期末）下列计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．5a2b﹣2a2b＝3a2b
C．5a﹣3a＝2 D．6a+a＝6a2
【变式1.2】（2021秋•句容市期末）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．6y﹣3y＝3
C．7a+a＝7a2 D．3x2y﹣2yx2＝x2y
【例1.3】（2020•东台市模拟）下列各式，运算正确的是（　　）
A．5a﹣3a＝2 B．2a+3b＝5ab
C．7a+a＝7a2 D．10ab2﹣5b2a＝5ab2
【考点2】去括号
【例2】去括号，合并同类项
（1）﹣3（2s﹣5）+6s；
（2）3x﹣[5x﹣（12x﹣4）]；
（3）6a2﹣4ab﹣4（2a2+12ab）；
（4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy﹣6）
【变式2.1】（2021秋•徐州期末）下列去括号的过程
（1）a+（b﹣c）＝a+b﹣c；（2）a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c；（3）a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c；（4）a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c．
其中，运算结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2.2】（2021秋•济南期末）下列去括号正确的是（　　）
A．﹣2（x+y）＝﹣2x+y B．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣y
C．﹣2（x+y）＝﹣2x﹣2y D．﹣2（x+y）＝﹣2x+2y
【变式2.3】先去括号，再合并同类项；
（1）（3x2+4﹣5x3）﹣（x3﹣3+3x2）
（2）（3x2﹣xy﹣2y2）﹣2（x2+xy﹣2y2）
（3）2x﹣[2（x+3y）﹣3（x﹣2y）]
（4）（a+b）2-72（a+b）-54（a+b）2+（﹣3）2（a+b）．
【考点3】整式的加减
【例3】（2021秋•钟楼区期中）化简：
（1）2x+4x2﹣5x﹣1﹣x2+3x；
（2）（x2y﹣7xy2）﹣2（3x2y﹣2xy2+1）．
【变式3.1】（2021秋•崇川区校级期中）合并同类项：
（1）3x2+6x+5﹣4x2+7x﹣6
（2）（5a﹣3b）﹣2（a﹣2b）
【变式3.2】（2021秋•建湖县期中）计算：
（1）5a2﹣2ab+4b2+ab﹣2a2﹣7ab﹣4b2；
（2）﹣3（x+2y）﹣4（3x﹣4y）+2（x﹣5y）；
（3）2（2a2b﹣ab2）﹣[3（a2b﹣4ab2）﹣（ab2﹣a2b）]．
【考点4】整式的化简求值
【例4】（2020•亭湖区二模）先化简，再求值：2（x2﹣xy）﹣3（x2﹣2xy），其中x＝1，y＝﹣1．
【变式4.1】（2021秋•崇川区校级期末）先化简，再求值：2a﹣3b+[4a﹣（3a﹣b）]，其中a、b满足|a+1|+3（b+2）2＝0．
【变式4.2】（2021秋•高新区期末）化简求值：7a2b+2（2a2b﹣3ab2）﹣3（4a2b﹣ab2），其中a，b满足|a+2|+（b-12）2＝0．
【变式4.3】（2021秋•姑苏区期末）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b），其中a＝﹣2，b=12；
【考点5】整体思想在整式加减中的应用
【例5】（2021秋•上蔡县期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是　 　．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓广探索：
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【变式5.1】（2021秋•句容市期末）已知2a﹣b＝﹣2，则6+（4b﹣8a）的值是　 　．
【变式5.2】（2021秋•建湖县期中）若代数式3b﹣2a的值是5，则代数式2（a﹣b）﹣3（3b﹣2a）﹣b+1的值为 　．
【变式5.3】（2021秋•东台市期中）若ab＝3，a+b=13，则ab﹣（3a﹣b）﹣4b+1的值为 　．
【变式5.4】（2021秋•潮阳区期末）已知：2A﹣B＝3a2+2ab，A＝﹣a2+2ab﹣3．
（1）求B；（用含a、b的代数式表示）
（2）比较A与B的大小．
【变式5.5】（2021秋•兰考县期末）已知多项式：A＝2a2+ab﹣2a﹣1，B＝a2+ab﹣1．
（1）当a=-12，b＝4时，求A﹣2B的值；
（2）若多项式C满足：C＝A﹣2B﹣C，试用a、b的代数式表示C．
【考点6】代数式求值问题
【例6】（2021•桂林二模）若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣3）的值为 　．
【变式6.1】（2021秋•河北区期中）若代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，则代数式9﹣2（y+2x）+2x2的值是 　．
【变式6.2】（2021秋•崇川区校级期末）已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为 　．
【变式6.3】（2021秋•高邮市期末）若代数式4x2+3x﹣4的值为1，则代数式1﹣x2-34x的值为 　．
【变式6.4】（2021秋•泰兴市期末）程序图的算法源于我国数学名著《九章算术》，如图所示的程序图，当输入x的值为12时，输出y的值是8，则当输入x的值为-12时，输出y的值为 　．

【变式6.5】（2020•清远一模）当x＝3时，代数式px3+qx+1的值为2021，则当x＝﹣3时，代数式px3+qx+1的值是 　．
【考点7】整式加减中的无关性问题
【例7】（2021秋•建湖县期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝x2﹣xy+1
（1）求3A﹣6B的值；
（2）若3A﹣6B的值与x的值无关，求y的值．
【变式7.1】（2021秋•沙河市期末）已知A＝2x2+3xy﹣2x，B＝x2﹣xy+1，
（1）求3A﹣6B；
（2）若3A﹣6B的值与x的取值无关．求y的值．
【变式7.2】（2021秋•海门市期末）已知，A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2﹣xy+1，且3A+6B的值与x的取值无关，求y的值．
【变式7.3】（2021秋•垦利区期末）已知：A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy．
（1）计算：A﹣2B；
（2）若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值．
【考点8】整式的应用——销售问题
【例8】（2021秋•东海县期中）某品牌家电商场批发一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价800元，电磁炉每台定价200元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该家电商场一次性批发微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）
（1）若该客户按方案一购买，需付款　 　元，
若该客户按方案二购买，需付款　 元；（用含x的式子表示）
（2）若x＝50，通过计算说明此时按两种方案中的哪种方案购买较为合算？
【变式8.1】（2021秋•建湖县期中）某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价180元，T恤每件定价60元，厂家在开展促销活动期间，向顾客提供了两种优惠方案：
①买一件夹克送一件T恤；
②夹克和T恤都按定价当80%付款；现在某客户要到该厂购买夹克30件，T恤x件（x＞30）．
（1）若该客户按方案①购买付款　 　元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买付款　 　元（用含x的式子表示）．
（2）当x＝50时，通过计算说明方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝50时，你能给出更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【变式8.2】（2018秋•十堰期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下故答案为：（3600+60x）；（4320+48x）；
（2）当x＝50，按方案①购买所需费用＝3600+50×60＝6600（元）；按方案②购买所需费用═4320+48×50＝6720（元），
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤20件更为省钱．理由如下：
先按方案①购买夹克30件所需费用＝5400，按方案②购买T恤20件的费用＝60×80%×20＝960，
所以总费用为5400+960＝6360（元），小于6600元，

一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
九折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款　　元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款　　 元，当x大于或等于500元时，他实际付款　 　元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【变式8.3】（2021秋•宿豫区期中）某旅游景区旅游信息如下：
旅游人数
收费标准
不超过20人
每人收费100元
超过20人且不超过60人
其中20人，每人收费100元；超过部分每人9折收费
超过60人
其中60人，每人9折收费；超过60人部分每人8折收费
（1）若该公司组织员工第一批15人到该旅游景区游玩，需要支付费用　 　元；
（2）若该公司组织员工x（20＜x≤60）人到该旅游景区游玩，需要支付多少费用（用含x的代数式表示）？当第二批组织50人到该旅游景区游玩时，需要支付多少费用？
（3）若该公司把两批员工合在一起到该旅游景区游玩，可以节省多少费用？
【考点9】整式的应用——面积问题
【例9】（2013秋•鼓楼区期末）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．
（1）根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是　 　，第n个正方形内圆的个数是　 　．
（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．
①用含a的代数式分别表示第1个正方形中和第3个正方形中阴影部分的面积．（结果保留π）
②若a＝10，请直接写出第2014个正方形中阴影部分的面积　 　．（结果保留π）
【变式9.1】（2021秋•天等县期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为a m的正方形，C区是边长为c m的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝40，c＝10，求整个长方形运动场的面积．

【变式9.2】（2021秋•太仓市期中）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是　 　cm（用含a的代数式表示）．
（2）求图中两块阴影A，B的周长和（可以用含x的代数式表示）．

【变式9.3】．（2021秋•秦淮区期中）有一条长度为a的线段．
（1）如图①，以该线段为直径画一个圆，该圆的周长C1＝　 　；如图②，分别以该线段的一半为直径画两个圆，这两个圆的周长的和C2＝　 　（都用含a的代数式表示，结果保留π）

（2）如图③，在该线段上任取一点，再分别以两条小线段为直径画两个圆，这两个圆的周长的和为C3，
探索C1和C3的数量关系，并说明理由．
（3）如图④，当a＝10时，以该线段为直径画一个大圆，再在大圆内画若干个小圆，这些小圆的直径都和大圆的直径在同一条直线上，且小圆的直径的和等于大圆的直径，那么图中所有圆的周长的和为（结果保留π）

【考点10】整式的应用——运动问题
【例10】（2021秋•常熟市期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝　 　；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．

【变式10.1】（2013秋•泰兴市校级期末）如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10．
（1）填空：AB＝　 　，BC＝ 　；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t，用含t的代数式表示BC和AB的长，试探索：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．
（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到B点时，点Q才从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达C点时，点Q就停止移动．设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时P、Q两点相距6个单位长度？

【变式10.2】（2021秋•鼓楼区期中）已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，请直接写出t1，t2的值．