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专题1.2有理数的有关运算精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【苏科版】
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这是一份专题1.2有理数的有关运算精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车【苏科版】，文件包含专题12有理数的有关运算精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车解析版苏科版docx、专题12有理数的有关运算精讲精练-2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车原卷版苏科版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（苏科版）
专题1.2有理数的有关运算精讲精练
【目标导航】
【知识梳理】
1. 有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a； 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
3.有理数的混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
4.有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5.有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
6.有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
7.有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【典例剖析】
【考点1】有理数的加法
【例1】（2021秋•简阳市 期末）已知：|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，则x+y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【分析】先求出x，y的值，再求出x+y的值即可．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，
∴x＝﹣3，y＝2或﹣2，
∴x+y＝﹣3+2＝﹣1，
x+y＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．
故选：D．
【变式1.1】（2020春•淮阴区期中）如图，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m+n等于（ ）
m
﹣3
4
3
1
n
A．7 B．5 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，从而求出n值即可
【解析】
由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2
则有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5
∴m+n＝5+2＝7
故选：A．
【变式1.2】（2021秋•广陵区校级期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，则x+y值为（ ）
A．±3 B．±5 C．+1或+3 D．﹣1或﹣3
【分析】首先根据|x|＝1，y2＝4，可得：x＝±1，y＝±2；然后根据x＞y，可得：x＝±1，y＝﹣2，据此求出x+y值为多少即可．
【解析】∵|x|＝1，y2＝4，
∴x＝±1，y＝±2；
∵x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
∴x+y＝1+（﹣2）＝﹣1或x+y＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【变式1.3】（2018秋•崇川区期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0 C．c＞0，b＜0 D．b＝0
【分析】根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c＝0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．
【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使a+b+c＝0成立，
则必是b＜0、c＜0、a＞0，
否则a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立．
于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，
若a，b为正数，c为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
若a，c为正数，b为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
只有A符合题意．
故选：A．
【考点2】有理数的减法
【例2】（2020•锦江区模拟）某城市在冬季某一天的气温为﹣3℃～3℃．则这一天的温差是（ ）
A．3℃ B．﹣3℃ C．6℃ D．﹣6℃
【分析】根据题意列出算式，再利用减法法则计算可得．
【解析】3﹣（﹣3）＝3+3＝6（℃）．
即这一天的温差是6℃．
故选：C．
【变式2.1】（2021秋•张家港市期末）如图是我市十二月份某一天的天气预报，该天的温差是（ ）
A．2℃ B．5℃ C．7℃ D．3℃
【分析】用最高气温减去最低气温列出算式，然后再依据有理数的减法法则计算即可．
【解析】该天的温差为5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃），
故选：C．
【变式2.2】（2020•盐城模拟）计算|﹣6﹣2|的结果是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【分析】先求﹣6与2的差，再计算差的绝对值．
【解析】|﹣6﹣2|＝|﹣8|＝8
故选：B．
【变式2.3】（2021秋•天宁区校级月考）已知a＝|5|，b＝|8|，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．13或3 B．11或3 C．3 D．﹣3
【分析】根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法法则，可得答案．
【解析】由|a|＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，得
a＝5，或a＝﹣5，b＝﹣8．
当a＝﹣5，b＝﹣8时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣8）＝﹣5+8＝3，
当a＝5，b＝﹣8时，a﹣b＝5﹣（﹣8）＝5+8＝13，
则a﹣b的值为3或13，
故选：A．
【考点3】有理数的加减混合运算
【例3】（2021秋•兴化市校级月考）计算：
（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
（4）123-125+43-0.6-(-335)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）先去掉绝对值，然后根据有理数的加减法即可解答本题；
（3）根据有理数的加减法可以解答本题；
（4）根据有理数的加减法可以解答本题．
【解析】（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4+（﹣5）
＝6；
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
＝6+0.2+（﹣2）﹣1.5
＝2.7；
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
＝（﹣7.2）+（﹣0.8）+（﹣5.6）+11.6
＝﹣2；
（4）123-125+43-0.6-(-335)
=123+(-125)+43+(-35)+335．
＝435．
【变式3.1】（2021秋•邗江区校级月考）计算题．
①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5）
②217-323-513+(-317)
【分析】分别根据有理数的加减法法则计算即可．
【解析】①原式＝8+（﹣10）+（﹣2）+5＝（8+5）﹣（10+2）＝13﹣12＝1；
②原式=(217-317)-(323+513)=-1﹣9＝﹣10．
【变式3.2】（2021秋•泰兴市校级月考）计算题
（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（3）16-12-34+56
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）
【分析】根据有理数的加法法则一一计算即可解决问题．
【解析】（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7＝﹣（2.4+3.7+4.6）+5.7＝﹣5
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13＝﹣（20+14+13）+18＝﹣29
（3）16-12-34+56=212-612-912+1012=-14
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）＝1317+15＝2817
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）＝﹣2﹣4+1257=657
【变式3.3】（2018秋•江阴市校级月考）计算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）113-115+53-(-0.6)-(-335)
（6）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）
【分析】（1）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（2）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（3）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（4）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（5）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（6）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得．
【解析】（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝18﹣12﹣21+12
＝30﹣33
＝﹣3；
（3）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（4）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；
（5）原式=43-65+53+35+185
＝（43+53）+（-65+35+185）
＝3+3
＝6；
（6）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【考点4】有理数的乘法
【例4】（2021秋•镇江期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．b﹣a＞0
【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b，a﹣b以及ab的正负即可．
【解析】由题意：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴ab＜0，a+b＞0，a﹣b＜0，b﹣a＞0，
故选：D．
【变式4.1】（2021秋•崇川区校级月考）三个数相乘，积为正数，则其中正因数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【分析】根据几个有理数相乘积的符号由负因式个数来确定即可得到结果．
【解析】∵三个数相乘，积为正数，
∴其中正因数的个数有1个或3个．
故选：D．
【变式4.2】（2021秋•天宁区校级月考）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）一个数，如果不是正数，必定是负数；
（2）有理数的绝对值一定是正数；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等；
（4）若两数的积为正数，则这两个数必定都是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的定义，绝对值的性质，有理数的减法、乘法法则，逐一分析探讨得出结论即可．
【解析】（1）一个数，如果不是正数，必定是0或负数，原来的说法是错误的；
（2）有理数的绝对值一定是非负数，原来的说法是错误的；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等是正确的；
（4）若两数的积为正数，则这两个数可能都是负数，原来的说法是错误的．
故说法中正确的个数是1个．
故选：A．
【变式4.3】（2020•徐州模拟）2020的倒数是（ ）
A．12020 B．-12020 C．2020 D．﹣2020
【分析】根据倒数的概念解答．
【解析】2020的倒数是12020，
故选：A．
【考点5】有理数的除法
【例5】（2021秋•卫辉市期末）若ab≠0，则|a|a+|b|b的值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解析】当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
【变式5.1】（2020春•肇州县期末）如果|a|a=-1，则a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据绝对值的性质①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得a为非正数．
【解析】∵|a|a=-1，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∵a是分母，
∴a≠0．
故选：B．
【变式5.2】（2018秋•金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1 B．3 C．13 D．19
【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．
【解析】9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×19
＝1，
故选：A．
【变式5.3】（2018秋•北海期末）把（-34）÷（-23）转化为乘法是（ ）
A．（-34）×23 B．（-34）×32
C．（-34）×（-23） D．（-34）×（-32）
【分析】根据除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数可得．
【解析】把（-34）÷（-23）转化为乘法是（-34）×（-32），
故选：D．
【考点6】乘法运算律
【例6】（2021秋•雁塔区校级月考）用简便方法计算
（1）﹣392324×（﹣12）
（2）（23-112-115）×（﹣60）
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【解析】（1）原式＝（﹣40+124）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）-124×12＝480-12=47912；
（2）原式=23×（﹣60）+112×60+115×60＝﹣40+5+4＝﹣31．
【变式6.1】（2021秋•海安市月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）-215×2311÷(-212)；
（3）(-124)÷(134-78+712)；
（4）(79-56+34-718)×36．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
（2）﹣215×2311÷（﹣212），
=-115×2511×（-25），
＝2；
（3）（-124）÷（134-78+712），
＝（-124）÷（4224-2124+1424），
＝（-124）÷3524，
＝（-124）×2435，
=-135；
（4）（79-56+34-718）×36，
=79×36-56×36+34×36-718×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【变式6.2】（2021秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：(-124)÷(23-34+78)．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：(23-34+78)÷(-124)=(23-34+78)×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式=-119．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：(-142)÷[12-13+57+(-23)2×(-6)]．
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解析】根据题意得：[12-13+57+（-23）2×（﹣6）]÷（-142）
＝[12-13+57+49×（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
则原式=175．
【变式6.3】计算：
（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）
（2）（79-56+34）×（﹣36）
（3）392324×（﹣12）
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14）
【分析】（1）按照从左到右的顺序，把除法转化为乘法，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把392324写成40-124，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16），
＝18×49×49×116，
=29；
（2）（79-56+34）×（﹣36），
=79×（﹣36）-56×（﹣36）+34×（﹣36），
＝﹣28+25﹣27，
＝﹣55+25，
＝﹣30；
（3）392324×（﹣12），
＝（40-124）×（﹣12），
＝40×（﹣12）-124×（﹣12），
＝﹣480+12，
＝﹣47912；
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14），
＝25×（34+12-14），
＝25×1，
＝25．
【考点7】有理数的乘方
【例7】（2021秋•常熟市期末）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣3） B．﹣（﹣3）3 C．（﹣3）2 D．﹣|﹣3|
【分析】根据有理数的乘方、正数和负数、相反数和绝对值的性质先对给出的式子进行化简，再根据小于零的数是负数，可得答案．
【解析】A、﹣（﹣3）＝3，故本选项错误；
B、﹣（﹣3）3＝27，故本选项错误；
C、（﹣3）2 ＝9，故本选项错误；
D、﹣|﹣3|＝﹣3，故本选项正确；
故选：D．
【变式7.1】（2021秋•太仓市期末）下列运算正确的是（ ）
A．﹣23＝（﹣2）3 B．（﹣3）2＝﹣32
C．﹣3×23＝﹣32×3 D．﹣32＝﹣23
【分析】根据有理数的乘法和乘方的运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以﹣23＝（﹣2）3，故本选项正确；
B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，（﹣3）2≠﹣32，故本选项错误；
C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×3＝﹣27，所以﹣3×23≠﹣32×3，故本选项错误；
D、﹣32＝﹣9，﹣23＝﹣8，所以﹣32≠﹣23，故本选项错误．
故选：A．
【变式7.2】（2021秋•徐州期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣22＝4 B．（﹣2）3＝﹣6 C．（﹣3）2＝6 D．（﹣1）2＝1
【分析】根据有理数的乘方解答即可．
【解析】A、﹣22＝﹣4，故这个选项错误；
B、（﹣2）3＝﹣8，故这个选项错误；
C、（﹣3）2＝9，故这个选项错误；
D、（﹣1）2＝1，故这个选项正确；
故选：D．
【变式7.3】（2021秋•侯马市期末）已知|a|＝5，b2＝16且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．1或﹣1
【分析】根据绝对值的性质、乘方的意义分别求出a、b，计算即可．
【解析】∵|a|＝5，b2＝16，
∴a＝±5，b＝±4，
∵ab＞0，
∴a＝5，b＝4或a＝﹣5，b＝﹣4，
则a﹣b＝1或﹣1，
故选：D．
【考点8】偶次方的非负性
【例8】（2020•海安市模拟）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A．-12 B．-32 C．32 D．12
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解析】∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y=-12，
则x+y的值为：1-12=12．
故选：D．
【变式8.1】（2021秋•潜江期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2021＝（﹣2+1）2021＝﹣1．
故选：B．
【变式8.2】（2021秋•高新区期末）不论a取什么值，下列代数式的值总是正数的是（ ）
A．|a+1| B．|a|+1 C．a2 D．（a+1）2
【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分别分析得出答案．
【解析】A、|a+1|≥0，故此选项错误；
B、|a|+1＞0，故此选项正确；
C、a2≥0，故此选项错误；
D、（a+1）2≥0，故此选项错误；
故选：B．
【变式8.3】（2021秋•海安市期末）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A．12 B．-12 C．32 D．-32
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后相加计算即可得解．
【解析】由题意得，x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得x＝1，y=-12，
所以，x+y＝1+（-12）=12．
故选：A．
【考点9】有理数的混合运算
【例9】（2021秋•宿豫区期末）计算：
（1）（23-14-16）×24；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）（23-14-16）×24
＝16﹣6﹣4
＝6；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
＝﹣1﹣3×（-13）×23
＝﹣1+23
=-13．
【变式9.1】（2021秋•崇川区校级期末）计算题：
（1）（14+38-712）÷124
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律即可解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）（14+38-712）÷124
＝（14+38-712）×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
＝1×32-12×（﹣3）
=32+32
＝3．
【变式9.2】（2021秋•海州区校级期末）计算：
（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
＝3+7﹣8
＝2；
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
＝1﹣（﹣2）×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
【变式9.3】（2021秋•玄武区校级期末）计算：
（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）．
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）
＝（﹣2.4）+（﹣1.6）+7.6+9.4
＝13；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）
＝﹣1-17×|2﹣9|+（-13+34-112）×（﹣24）
＝﹣1-17×7+8+（﹣18）+2
＝﹣1﹣1+8+（﹣18）+2
＝﹣10．
【考点10】有理数运算的实际问题
【例10】（2021秋•永定区期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【分析】理解向前记作正数，返回记作负数，根据题目意思列出式子计算即可．
【解析】根据题意得
（1）5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，
故回到了原来的位置；
（2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米，
∴离开球门的位置最远是12米；
（3）总路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
【变式10.1】（2021秋•郓城县期末）一辆货车从超市出发送货．先向南行驶30km到达A单位，继续向南行驶20km到达B单位．回到超市后，又给向北15km处的C单位送了3次货，然后回到超市休息．
（1）C单位离A单位有多远？
（2）该货车一共行驶了多少km？
【分析】（1）设超市为原点，向南为正，向北为负，然后列式进行求解；
（2）货车从超市到A到B，再回到超市，然后到C处三个来回，共六个单程距离．
【解析】（1）规定超市为原点，向南为正，向北为负，
依题意得C单位离A单位有：30+|﹣15|＝45km，
∴C单位离A单位45km；
（2）该货车一共行驶了：
（30+20）×2+|﹣15|×6
＝50×2+15×6
＝100+90
＝190km．
答：该货车一共行驶了190km．
【变式10.2】（2020春•肇东市期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点A；
（2）分别计算出每次爬行后距离A点的距离；
（3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．
【解析】（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小虫最后回到出发点A；
（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），
从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；
（3）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54÷1＝54（粒）
所以小虫一共得到54粒芝麻．
【变式10.3】（2018秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，a-c2，b-c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1-32=-1，-2-33=-53，所以1，﹣2，3的“分差”为-53．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 -53 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 23 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
【解析】（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a-c2=-2-12=-32，b-c3=-4-13=-53，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为-53
故答案为：-53
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a-c2=-2-(-4)2=1，b-c3=1-(-4)3=53，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a-c2=-4-12=-52，b-c3=-2-13=-1
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为-52
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a-c2=-4-(-2)2=-1，b-c3=1-(-2)3=1
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a-c2=1-(-2)2=32，b-c3=-4-(-2)3=-23
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为-23
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a-c2=1-(-4)2=52，b-c3=-2-(-4)3=23
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为23
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为23
故答案为：23
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，a-c2=6-(-1)2=72，b-c3=x-(-1)3=x+13
若6﹣x＝2，得x＝4，x+13=53＜2，不符合
若x+13=2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a-c2=6-x2，b-c3=-1-x3
若6-x2=2，得x＝2，-1-x3=-1-23=-1＜2，不符合
若-1-x3=2，得x＝﹣7，6-x2=6-(-7)2=132＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，a-c2=x+12，b-c3=73
若x﹣6＝2，得x＝8，x+12=92＞2，符合
若x+12=2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
【考点11】以数轴为载体的计算问题
【例11】（2021秋•建邺区期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4．
（1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点；
（2）B、C两点之间的距离是 ；
（3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是 ．
【分析】（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离；
（3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．
【解析】（1）如图所示：
（2）B、C两点的距离＝0﹣（﹣1.5）＝1.5；
（3）点A表示的数为：﹣3+1.5＝﹣1.5，点B表示的数为0，点C表示的数为0+1.5＝1.5，点D表示的数为4+1.5＝5.5．
故答案为：1.5；﹣1.5，0，1.5，5.5．
【变式11.1】（2021秋•江阴市期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为 ，p的值为 ；
（2）若以C为原点，p的值为 ；
（3）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p的值．
【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【解析】（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为﹣2、1，
﹣2+1＝﹣1
故答案为﹣2、1，﹣1．
（2）若C为原点，则A、B所对应的数为﹣1、﹣3，
所以p的值为﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故答案为﹣4．
（3）由题意知：C点表示的数为﹣28，B点表示的数为﹣29，A点表示的数为﹣31，
P＝﹣28+（﹣29）+（﹣31）＝﹣88，
或p＝（﹣28）+（﹣28﹣1）+（﹣28﹣3）＝﹣28﹣29﹣31＝﹣88．
答：p的值为﹣88．
【变式11.2】（2021秋•衡水期中）已知在数轴上原点处有一点A，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度．
（1）移动后点A在数轴上所表示的数为 ；
（2）若数轴上有一点B与移动后点A相距4个单位长度，求点B表示的数；
（3）在（2）的条件下，若将点B移动3个单位长度后与点C重合，求点C所表示的数．
【分析】（1）根据有理数的加法运算进行计算即可，
（2）分两种情况分别计算，一是点B在A的左侧，二是点B在A的右侧，
（3）由（2）得B有两种可能，而每种中又有两种情况，因此点C有4种情况，对应4种结果．
【解析】（1）0﹣3+5＝2，
故答案为：2，
（2）2﹣4＝﹣2或2+4＝6，
答：点B表示的数为﹣2或6，
（3）﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5或6+3＝9或6﹣3＝3，
答：点C所表示的数﹣5，1，3，9．
【变式11.3】（2021秋•栾城区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【分析】（1）根据圆的周长公式计算即可；
（2）分两种情形讨论即可；
（3）根据路程的定义计算即可．
【解析】（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣2π；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是±4π；
（3）2+1+5+4+3+2＝17，
故A点运动的路程共有34π，
+2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
故此时点A所表示的数是2π．
故答案为：无理，﹣2π；±4π．
2021-2022学年七年级数学上学期期中考试高分直通车（苏科版）
专题1.2有理数的有关运算精讲精练
【目标导航】
【知识梳理】
1. 有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a； 结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2.有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a-b=a+（-b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
3.有理数的混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
4.有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
5.有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
6.有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
7.有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【典例剖析】
【考点1】有理数的加法
【例1】（2021秋•简阳市 期末）已知：|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，则x+y的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
【分析】先求出x，y的值，再求出x+y的值即可．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝2，且x＜y，
∴x＝﹣3，y＝2或﹣2，
∴x+y＝﹣3+2＝﹣1，
x+y＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．
故选：D．
【变式1.1】（2020春•淮阴区期中）如图，已知表格中竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则m+n等于（ ）
m
﹣3
4
3
1
n
A．7 B．5 C．﹣1 D．﹣2
【分析】由题意竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），即可解出m＝2，从而求出n值即可
【解析】
由题意得竖直、水平、对角线上的三个数的和都相等，
则有3+1+n﹣（m+3）＝﹣3+1+n﹣（4+1），
整理得m＝2
则有2﹣3+4＝﹣3+1+n，解得n＝5
∴m+n＝5+2＝7
故选：A．
【变式1.2】（2021秋•广陵区校级期中）已知|x|＝1，y2＝4，且x＞y，则x+y值为（ ）
A．±3 B．±5 C．+1或+3 D．﹣1或﹣3
【分析】首先根据|x|＝1，y2＝4，可得：x＝±1，y＝±2；然后根据x＞y，可得：x＝±1，y＝﹣2，据此求出x+y值为多少即可．
【解析】∵|x|＝1，y2＝4，
∴x＝±1，y＝±2；
∵x＞y，
∴x＝±1，y＝﹣2，
∴x+y＝1+（﹣2）＝﹣1或x+y＝﹣1+（﹣2）＝﹣3．
故选：D．
【变式1.3】（2018秋•崇川区期末）如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0 C．c＞0，b＜0 D．b＝0
【分析】根据不等式|a|＞|b|＞|c|及等式a+b+c＝0，利用特殊值法，验证即得到正确答案．
【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使a+b+c＝0成立，
则必是b＜0、c＜0、a＞0，
否则a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立．
于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，
若a，b为正数，c为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
若a，c为正数，b为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
只有A符合题意．
故选：A．
【考点2】有理数的减法
【例2】（2020•锦江区模拟）某城市在冬季某一天的气温为﹣3℃～3℃．则这一天的温差是（ ）
A．3℃ B．﹣3℃ C．6℃ D．﹣6℃
【分析】根据题意列出算式，再利用减法法则计算可得．
【解析】3﹣（﹣3）＝3+3＝6（℃）．
即这一天的温差是6℃．
故选：C．
【变式2.1】（2021秋•张家港市期末）如图是我市十二月份某一天的天气预报，该天的温差是（ ）
A．2℃ B．5℃ C．7℃ D．3℃
【分析】用最高气温减去最低气温列出算式，然后再依据有理数的减法法则计算即可．
【解析】该天的温差为5﹣（﹣2）＝5+2＝7（℃），
故选：C．
【变式2.2】（2020•盐城模拟）计算|﹣6﹣2|的结果是（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【分析】先求﹣6与2的差，再计算差的绝对值．
【解析】|﹣6﹣2|＝|﹣8|＝8
故选：B．
【变式2.3】（2021秋•天宁区校级月考）已知a＝|5|，b＝|8|，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．13或3 B．11或3 C．3 D．﹣3
【分析】根据绝对值的意义及a+b＜0，可得a，b的值，再根据有理数的减法法则，可得答案．
【解析】由|a|＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，得
a＝5，或a＝﹣5，b＝﹣8．
当a＝﹣5，b＝﹣8时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣8）＝﹣5+8＝3，
当a＝5，b＝﹣8时，a﹣b＝5﹣（﹣8）＝5+8＝13，
则a﹣b的值为3或13，
故选：A．
【考点3】有理数的加减混合运算
【例3】（2021秋•兴化市校级月考）计算：
（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
（4）123-125+43-0.6-(-335)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）先去掉绝对值，然后根据有理数的加减法即可解答本题；
（3）根据有理数的加减法可以解答本题；
（4）根据有理数的加减法可以解答本题．
【解析】（1）7﹣（﹣4）+（﹣5）
＝7+4+（﹣5）
＝6；
（2）6-(-15)-2-|-1.5|
＝6+0.2+（﹣2）﹣1.5
＝2.7；
（3）﹣7.2﹣0.8﹣5.6+11.6
＝（﹣7.2）+（﹣0.8）+（﹣5.6）+11.6
＝﹣2；
（4）123-125+43-0.6-(-335)
=123+(-125)+43+(-35)+335．
＝435．
【变式3.1】（2021秋•邗江区校级月考）计算题．
①8+（﹣10）+（﹣2）﹣（﹣5）
②217-323-513+(-317)
【分析】分别根据有理数的加减法法则计算即可．
【解析】①原式＝8+（﹣10）+（﹣2）+5＝（8+5）﹣（10+2）＝13﹣12＝1；
②原式=(217-317)-(323+513)=-1﹣9＝﹣10．
【变式3.2】（2021秋•泰兴市校级月考）计算题
（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13
（3）16-12-34+56
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）
【分析】根据有理数的加法法则一一计算即可解决问题．
【解析】（1）（﹣2.4）+（﹣3.7）+（﹣4.6）+5.7＝﹣（2.4+3.7+4.6）+5.7＝﹣5
（2）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13＝﹣（20+14+13）+18＝﹣29
（3）16-12-34+56=212-612-912+1012=-14
（4）（﹣337）+12.5+（1647）﹣（﹣2.5）＝1317+15＝2817
（5）0.75+0.125+（﹣234）﹣（﹣1257）+（﹣418）＝﹣2﹣4+1257=657
【变式3.3】（2018秋•江阴市校级月考）计算
（1）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13
（2）18+（﹣12）+（﹣21）﹣（﹣12）
（3）25-|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）
（4）0.35+（﹣0.6）+0.25﹣（+5.4）
（5）113-115+53-(-0.6)-(-335)
（6）（+1.125）﹣（+334）﹣（+18）+（﹣0.25）
【分析】（1）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（2）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（3）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（4）将减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（5）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得；
（6）将分数化为小数，减法转化为加法，再根据法则计算可得．
【解析】（1）原式＝﹣20+18﹣14+13
＝﹣34+31
＝﹣3；
（2）原式＝18﹣12﹣21+12
＝30﹣33
＝﹣3；
（3）原式＝0.4﹣1.5﹣2.25+2.75
＝0.4﹣1.5+0.5
＝0.9﹣1.5
＝﹣0.6；
（4）原式＝0.35﹣0.6+0.25﹣5.4
＝﹣5.4；
（5）原式=43-65+53+35+185
＝（43+53）+（-65+35+185）
＝3+3
＝6；
（6）原式＝1.125﹣3.75﹣0.125﹣0.25
＝（1.125﹣0.125）+（﹣3.75﹣0.25）
＝1﹣4
＝﹣3．
【考点4】有理数的乘法
【例4】（2021秋•镇江期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＞0 D．b﹣a＞0
【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b，a﹣b以及ab的正负即可．
【解析】由题意：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴ab＜0，a+b＞0，a﹣b＜0，b﹣a＞0，
故选：D．
【变式4.1】（2021秋•崇川区校级月考）三个数相乘，积为正数，则其中正因数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【分析】根据几个有理数相乘积的符号由负因式个数来确定即可得到结果．
【解析】∵三个数相乘，积为正数，
∴其中正因数的个数有1个或3个．
故选：D．
【变式4.2】（2021秋•天宁区校级月考）下列说法中正确的个数是（ ）
（1）一个数，如果不是正数，必定是负数；
（2）有理数的绝对值一定是正数；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等；
（4）若两数的积为正数，则这两个数必定都是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据有理数的定义，绝对值的性质，有理数的减法、乘法法则，逐一分析探讨得出结论即可．
【解析】（1）一个数，如果不是正数，必定是0或负数，原来的说法是错误的；
（2）有理数的绝对值一定是非负数，原来的说法是错误的；
（3）若两个数的差为0，则这两个数必相等是正确的；
（4）若两数的积为正数，则这两个数可能都是负数，原来的说法是错误的．
故说法中正确的个数是1个．
故选：A．
【变式4.3】（2020•徐州模拟）2020的倒数是（ ）
A．12020 B．-12020 C．2020 D．﹣2020
【分析】根据倒数的概念解答．
【解析】2020的倒数是12020，
故选：A．
【考点5】有理数的除法
【例5】（2021秋•卫辉市期末）若ab≠0，则|a|a+|b|b的值不可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】分类讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解析】当a＞0，b＞0时，原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上，原式的值不可能为1．
故选：B．
【变式5.1】（2020春•肇州县期末）如果|a|a=-1，则a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据绝对值的性质①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得a为非正数．
【解析】∵|a|a=-1，
∴|a|＝﹣a，
∴a≤0，
∵a是分母，
∴a≠0．
故选：B．
【变式5.2】（2018秋•金湖县期末）我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（ ）
A．1 B．3 C．13 D．19
【分析】根据新定义列出算式9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]，再根据有理数的乘除运算法则计算可得．
【解析】9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]
＝9×19
＝1，
故选：A．
【变式5.3】（2018秋•北海期末）把（-34）÷（-23）转化为乘法是（ ）
A．（-34）×23 B．（-34）×32
C．（-34）×（-23） D．（-34）×（-32）
【分析】根据除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数可得．
【解析】把（-34）÷（-23）转化为乘法是（-34）×（-32），
故选：D．
【考点6】乘法运算律
【例6】（2021秋•雁塔区校级月考）用简便方法计算
（1）﹣392324×（﹣12）
（2）（23-112-115）×（﹣60）
【分析】根据乘法分配律，可得答案．
【解析】（1）原式＝（﹣40+124）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）-124×12＝480-12=47912；
（2）原式=23×（﹣60）+112×60+115×60＝﹣40+5+4＝﹣31．
【变式6.1】（2021秋•海安市月考）计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）-215×2311÷(-212)；
（3）(-124)÷(134-78+712)；
（4）(79-56+34-718)×36．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
（2）﹣215×2311÷（﹣212），
=-115×2511×（-25），
＝2；
（3）（-124）÷（134-78+712），
＝（-124）÷（4224-2124+1424），
＝（-124）÷3524，
＝（-124）×2435，
=-135；
（4）（79-56+34-718）×36，
=79×36-56×36+34×36-718×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
【变式6.2】（2021秋•交城县期中）阅读下题解答：
计算：(-124)÷(23-34+78)．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：(23-34+78)÷(-124)=(23-34+78)×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式=-119．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：(-142)÷[12-13+57+(-23)2×(-6)]．
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解析】根据题意得：[12-13+57+（-23）2×（﹣6）]÷（-142）
＝[12-13+57+49×（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
则原式=175．
【变式6.3】计算：
（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16）
（2）（79-56+34）×（﹣36）
（3）392324×（﹣12）
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14）
【分析】（1）按照从左到右的顺序，把除法转化为乘法，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；
（2）利用乘法分配律进行计算即可得解；
（3）把392324写成40-124，然后利用乘法分配律进行计算即可得解；
（4）逆运用乘法分配律进行计算即可得解．
【解析】（1）（﹣18）÷214×49÷（﹣16），
＝18×49×49×116，
=29；
（2）（79-56+34）×（﹣36），
=79×（﹣36）-56×（﹣36）+34×（﹣36），
＝﹣28+25﹣27，
＝﹣55+25，
＝﹣30；
（3）392324×（﹣12），
＝（40-124）×（﹣12），
＝40×（﹣12）-124×（﹣12），
＝﹣480+12，
＝﹣47912；
（4）25×34-（﹣25）×12+25×（-14），
＝25×（34+12-14），
＝25×1，
＝25．
【考点7】有理数的乘方
【例7】（2021秋•常熟市期末）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．﹣（﹣3） B．﹣（﹣3）3 C．（﹣3）2 D．﹣|﹣3|
【分析】根据有理数的乘方、正数和负数、相反数和绝对值的性质先对给出的式子进行化简，再根据小于零的数是负数，可得答案．
【解析】A、﹣（﹣3）＝3，故本选项错误；
B、﹣（﹣3）3＝27，故本选项错误；
C、（﹣3）2 ＝9，故本选项错误；
D、﹣|﹣3|＝﹣3，故本选项正确；
故选：D．
【变式7.1】（2021秋•太仓市期末）下列运算正确的是（ ）
A．﹣23＝（﹣2）3 B．（﹣3）2＝﹣32
C．﹣3×23＝﹣32×3 D．﹣32＝﹣23
【分析】根据有理数的乘法和乘方的运算法则对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以﹣23＝（﹣2）3，故本选项正确；
B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，（﹣3）2≠﹣32，故本选项错误；
C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×3＝﹣27，所以﹣3×23≠﹣32×3，故本选项错误；
D、﹣32＝﹣9，﹣23＝﹣8，所以﹣32≠﹣23，故本选项错误．
故选：A．
【变式7.2】（2021秋•徐州期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣22＝4 B．（﹣2）3＝﹣6 C．（﹣3）2＝6 D．（﹣1）2＝1
【分析】根据有理数的乘方解答即可．
【解析】A、﹣22＝﹣4，故这个选项错误；
B、（﹣2）3＝﹣8，故这个选项错误；
C、（﹣3）2＝9，故这个选项错误；
D、（﹣1）2＝1，故这个选项正确；
故选：D．
【变式7.3】（2021秋•侯马市期末）已知|a|＝5，b2＝16且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．1 B．1或9 C．﹣1或﹣9 D．1或﹣1
【分析】根据绝对值的性质、乘方的意义分别求出a、b，计算即可．
【解析】∵|a|＝5，b2＝16，
∴a＝±5，b＝±4，
∵ab＞0，
∴a＝5，b＝4或a＝﹣5，b＝﹣4，
则a﹣b＝1或﹣1，
故选：D．
【考点8】偶次方的非负性
【例8】（2020•海安市模拟）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A．-12 B．-32 C．32 D．12
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解析】∵（x﹣1）2+|2y+1|＝0，
∴x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得：x＝1，y=-12，
则x+y的值为：1-12=12．
故选：D．
【变式8.1】（2021秋•潜江期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2021＝（﹣2+1）2021＝﹣1．
故选：B．
【变式8.2】（2021秋•高新区期末）不论a取什么值，下列代数式的值总是正数的是（ ）
A．|a+1| B．|a|+1 C．a2 D．（a+1）2
【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质分别分析得出答案．
【解析】A、|a+1|≥0，故此选项错误；
B、|a|+1＞0，故此选项正确；
C、a2≥0，故此选项错误；
D、（a+1）2≥0，故此选项错误；
故选：B．
【变式8.3】（2021秋•海安市期末）若（x﹣1）2+|2y+1|＝0，则x+y的值为（ ）
A．12 B．-12 C．32 D．-32
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后相加计算即可得解．
【解析】由题意得，x﹣1＝0，2y+1＝0，
解得x＝1，y=-12，
所以，x+y＝1+（-12）=12．
故选：A．
【考点9】有理数的混合运算
【例9】（2021秋•宿豫区期末）计算：
（1）（23-14-16）×24；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）（23-14-16）×24
＝16﹣6﹣4
＝6；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1-13）
＝﹣1﹣3×（-13）×23
＝﹣1+23
=-13．
【变式9.1】（2021秋•崇川区校级期末）计算题：
（1）（14+38-712）÷124
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律即可解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）（14+38-712）÷124
＝（14+38-712）×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2020×|112|﹣（0.5）÷（-13）
＝1×32-12×（﹣3）
=32+32
＝3．
【变式9.2】（2021秋•海州区校级期末）计算：
（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解析】（1）﹣（﹣3）+7﹣|﹣8|
＝3+7﹣8
＝2；
（2）（﹣1）4﹣8÷（﹣4）×（﹣6+4）
＝1﹣（﹣2）×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
【变式9.3】（2021秋•玄武区校级期末）计算：
（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）．
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解析】（1）（﹣2.4）﹣（+1.6）﹣（﹣7.6）﹣（﹣9.4）
＝（﹣2.4）+（﹣1.6）+7.6+9.4
＝13；
（2）﹣14-17×|2﹣（﹣3）2|+（-13+34-112）÷（-124）
＝﹣1-17×|2﹣9|+（-13+34-112）×（﹣24）
＝﹣1-17×7+8+（﹣18）+2
＝﹣1﹣1+8+（﹣18）+2
＝﹣10．
【考点10】有理数运算的实际问题
【例10】（2021秋•永定区期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）守门员是否回到了原来的位置？
（2）守门员离开球门的位置最远是多少？
（3）守门员一共走了多少路程？
【分析】理解向前记作正数，返回记作负数，根据题目意思列出式子计算即可．
【解析】根据题意得
（1）5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10＝0，
故回到了原来的位置；
（2）离开球门的位置分别是5米，2米，12米，4米，2米，10米，0米，
∴离开球门的位置最远是12米；
（3）总路程＝|5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝54米．
【变式10.1】（2021秋•郓城县期末）一辆货车从超市出发送货．先向南行驶30km到达A单位，继续向南行驶20km到达B单位．回到超市后，又给向北15km处的C单位送了3次货，然后回到超市休息．
（1）C单位离A单位有多远？
（2）该货车一共行驶了多少km？
【分析】（1）设超市为原点，向南为正，向北为负，然后列式进行求解；
（2）货车从超市到A到B，再回到超市，然后到C处三个来回，共六个单程距离．
【解析】（1）规定超市为原点，向南为正，向北为负，
依题意得C单位离A单位有：30+|﹣15|＝45km，
∴C单位离A单位45km；
（2）该货车一共行驶了：
（30+20）×2+|﹣15|×6
＝50×2+15×6
＝100+90
＝190km．
答：该货车一共行驶了190km．
【变式10.2】（2020春•肇东市期末）小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
【分析】（1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点A；
（2）分别计算出每次爬行后距离A点的距离；
（3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数．
【解析】（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小虫最后回到出发点A；
（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），
从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；
（3）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54÷1＝54（粒）
所以小虫一共得到54粒芝麻．
【变式10.3】（2018秋•高邮市期末）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，a-c2，b-c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1-32=-1，-2-33=-53，所以1，﹣2，3的“分差”为-53．
（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 -53 ；
（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 23 ；
（3）调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x的值．
【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．
（2）三个数顺便不同可以有6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．
（3）由“分差”为2（是正数）和﹣1﹣6＝﹣7＜2可知，﹣1﹣6不能对应a﹣b，a﹣c，b﹣c，所以剩三种情况：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．每种情况下计算得三个代数式后，分别令两个含x的式子等于2，求出x，再代入检查此时“分差”是否为2．
【解析】（1）∵a＝﹣2，b＝﹣4，c＝1
∴a﹣b＝﹣2﹣（﹣4）＝2，a-c2=-2-12=-32，b-c3=-4-13=-53，
∴﹣2，﹣4，1的“分差”为-53
故答案为：-53
（2）①若a＝﹣2，b＝1，c＝﹣4
则a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3，a-c2=-2-(-4)2=1，b-c3=1-(-4)3=53，
∴﹣2，1，﹣4的“分差”为﹣3
②若a＝﹣4，b＝﹣2，c＝1
则a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，a-c2=-4-12=-52，b-c3=-2-13=-1
∴﹣4，﹣2，1的“分差”为-52
③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣2
则a﹣b＝﹣4﹣1＝﹣5，a-c2=-4-(-2)2=-1，b-c3=1-(-2)3=1
∴﹣4，1，﹣2的“分差”为﹣5
④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2
则a﹣b＝1﹣（﹣4）＝5，a-c2=1-(-2)2=32，b-c3=-4-(-2)3=-23
∴1，﹣4，﹣2的“分差”为-23
⑤若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4
则a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3，a-c2=1-(-4)2=52，b-c3=-2-(-4)3=23
∴1，﹣2，﹣4的“分差”为23
综上所述，这些不同“分差”中的最大值为23
故答案为：23
（3）∵“分差”为2，﹣1﹣6＝﹣7
∴三个数的顺序不能是﹣1，6，x和﹣1，x，6和x，﹣1，6
①a＝6，b＝x，c＝﹣1，
∴a﹣b＝6﹣x，a-c2=6-(-1)2=72，b-c3=x-(-1)3=x+13
若6﹣x＝2，得x＝4，x+13=53＜2，不符合
若x+13=2，得x＝5，6﹣x＝1＜2，不符合
②a＝6，b＝﹣1，c＝x，
∴a﹣b＝6﹣（﹣1）＝7，a-c2=6-x2，b-c3=-1-x3
若6-x2=2，得x＝2，-1-x3=-1-23=-1＜2，不符合
若-1-x3=2，得x＝﹣7，6-x2=6-(-7)2=132＞2，符合
③a＝x，b＝6，c＝﹣1
∴a﹣b＝x﹣6，a-c2=x+12，b-c3=73
若x﹣6＝2，得x＝8，x+12=92＞2，符合
若x+12=2，得x＝3，x﹣6＝﹣3＜2，不符合
综上所述，x的值为﹣7或8．
【考点11】以数轴为载体的计算问题
【例11】（2021秋•建邺区期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示﹣3、﹣1.5、0、4．
（1）请在数轴上标出A、B、C、D四个点；
（2）B、C两点之间的距离是 ；
（3）如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点A、C、D分别表示的数是 ．
【分析】（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离；
（3）原点取在B处，相当于将原数加上1.5，从而计算即可．
【解析】（1）如图所示：
（2）B、C两点的距离＝0﹣（﹣1.5）＝1.5；
（3）点A表示的数为：﹣3+1.5＝﹣1.5，点B表示的数为0，点C表示的数为0+1.5＝1.5，点D表示的数为4+1.5＝5.5．
故答案为：1.5；﹣1.5，0，1.5，5.5．
【变式11.1】（2021秋•江阴市期中）在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为 ，p的值为 ；
（2）若以C为原点，p的值为 ；
（3）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p的值．
【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【解析】（1）若以B为原点，则点A，C所对应的数为﹣2、1，
﹣2+1＝﹣1
故答案为﹣2、1，﹣1．
（2）若C为原点，则A、B所对应的数为﹣1、﹣3，
所以p的值为﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故答案为﹣4．
（3）由题意知：C点表示的数为﹣28，B点表示的数为﹣29，A点表示的数为﹣31，
P＝﹣28+（﹣29）+（﹣31）＝﹣88，
或p＝（﹣28）+（﹣28﹣1）+（﹣28﹣3）＝﹣28﹣29﹣31＝﹣88．
答：p的值为﹣88．
【变式11.2】（2021秋•衡水期中）已知在数轴上原点处有一点A，将点A先向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度．
（1）移动后点A在数轴上所表示的数为 ；
（2）若数轴上有一点B与移动后点A相距4个单位长度，求点B表示的数；
（3）在（2）的条件下，若将点B移动3个单位长度后与点C重合，求点C所表示的数．
【分析】（1）根据有理数的加法运算进行计算即可，
（2）分两种情况分别计算，一是点B在A的左侧，二是点B在A的右侧，
（3）由（2）得B有两种可能，而每种中又有两种情况，因此点C有4种情况，对应4种结果．
【解析】（1）0﹣3+5＝2，
故答案为：2，
（2）2﹣4＝﹣2或2+4＝6，
答：点B表示的数为﹣2或6，
（3）﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5或6+3＝9或6﹣3＝3，
答：点C所表示的数﹣5，1，3，9．
【变式11.3】（2021秋•栾城区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴的原点重合，AB是圆片的直径．
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是 数（填“无理”或“有理”），这个数是 ；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是 ；
（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？
【分析】（1）根据圆的周长公式计算即可；
（2）分两种情形讨论即可；
（3）根据路程的定义计算即可．
【解析】（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是﹣2π；
（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是±4π；
（3）2+1+5+4+3+2＝17，
故A点运动的路程共有34π，
+2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1，
故此时点A所表示的数是2π．
故答案为：无理，﹣2π；±4π．
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