专题09 数列中不等式恒成立问题-备战2022高考数学二轮复习冲破压轴题讲与练

专题09  数列中不等式恒成立问题

【压轴综述】

纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列中不等式恒成立问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一. 主要有两类：一是证明不等式恒成立，二是由不等式恒成立确定参数的值（范围）. 以数列为背景的不等式恒成立问题,或不等式的证明问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解,或利用放缩法证明.

本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.

(1)数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．

(2)如用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和．放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪一项开始放缩．

【压轴典例】

例1．（2021·新疆高三其他模拟）若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数.设，若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，∴，即有，∴是以2为首项3为公比的等比数列，∴，

∴∴，又为增函数，当时，，，若恒成立，则的最大值为1010.

例2．（2020·全国高三专题练习）（多选）已知数列中，，，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数可能为（      ）

A．－4 B．－2 C．0 D．2

【答案】AB

【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立，整理得对于任意的恒成立，对A，当时，不等式，解集，包含，故A正确；对B，当时，不等式，解集，包含，故B正确；对C，当时，不等式，解集，不包含，故C错误；对D，当时，不等式，解集，不包含，故D错误，

例3．（2020·嘉兴市第五高级中学高三）设，若数列是无穷数列，且满足对任意实数不等式恒成立，则下列选项正确的是（    ）

A．存在数列为单调递增的等差数列 B．存在数列为单调递增的等比数列

C．恒成立 D．

【答案】D

【详解】因为，，当时，，解得。当时，因为，所以，解得。

因为无穷数列，对任意实数不等式恒成立，所以。

对选项A，若为单调递增的等差数列，设，，则，故A错误；对选项B，若为单调递增的等比数列，设，

则，故B错误；对选项C，因为，设，取，则，，显然不成立；故C错误；

对于选项D：当时，由，显然恒成立，假设当时，成立，则当时，故恒成立，故D正确.

例4．（2021·江苏高三一模）已知等差数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为.若，(为偶数)，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，所以

即解得，所以.

经检验，符合题设，所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，，

所以.，∴，因为，，所以，即.因为为偶数，所以.

例5．（2021·天津滨海新区·高三）已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前n项和；

（3）若对恒成立，求的最小值.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】（1）设数列的公差为，，因为数列是等比数列，所以，

所以，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，数列的公比，所以.

（2）由（1）知，，

所以，

当时，，

当时，，

所以.

（3），，

令，

当为奇数时，，且递减，可得的最大值为，当为偶数时，，且递增，可得的最小值为，所以的最小值为，最大值为，因为对恒成立，所以，所以，所以的最小值为.

例6.（2019·浙江高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】 (1)由题意可得：，解得：，

则数列的通项公式为 .其前n项和.

则成等比数列，即：

，据此有：

，

故.

(2)结合(1)中的通项公式可得：

，

则.

例7.(2019·江苏高考·T20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M-数列”.

(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足:b1=1,=-,其中Sn为数列{bn}的前n项和.

①求数列{bn}的通项公式.

②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.由

得解得，因此数列{an}为“M—数列”.

(2)①因为=-,所以bn≠0.由b1=1,S1=b1,得=-,则b2=2.由=-,得Sn=,

当n≥2时,由bn=Sn-Sn-1,得bn=-,整理得bn+1+bn-1=2bn.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N*).

②由①知,bk=k,k∈N*.因为数列{cn}为“M-数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.

因为ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.

当k=1时,有q≥1;当k=2,3,…,m时,有≤ln q≤.设f(x)=(x>1),则f'(x)=.

令f'(x)=0,得x=e.列表如下:

因为=<=,所以f(k)max=f(3)=.取q=,当k=1,2,3,4,5时,≤ln q,即k≤qk,

经检验知qk-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5.

若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上,所求m的最大值为5.

例8.（2020·河北石家庄高考模拟）已知等比数列满足，且是的等差中项.

求数列的通项公式；

若 ，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】设等比数列的首项为，公比为.依题意，有，

代入，得.因此，即有，

解得或又数列单调递增，则故.

，

，，，得

.

，

对任意正整数恒成立，对任意正整数恒成立，即恒成立.

，，即的取值范围是.

例9.（2020·江苏镇江高考模拟）已知在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，若对任意的正整数m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．

（1）设数列{an}为等差数列，且公差为d，求的取值范围；

（2）设数列{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范围．

【答案】(1)＜﹣3；（2）a1q＞0

【解析】在数列{an}中，设a1为首项，其前n项和为Sn，

若对任意的正整数m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，

（1）设{an}为等差数列，且公差为d，

则：2ma1+d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，

整理得：（m﹣n）2d＜0，则d＜0，由2S6＞S3，整理得：9a1+27d＞0，

则a1＞﹣3d，所以d＜0，＜﹣3；

（2）设{an}为等比数列，且公比为q（q＞0且q≠1），

则，整理得（2qm+n﹣q2m﹣q2n）＜0，

则：﹣（qm﹣qn）2＜0，所以＞0，由2S6＞S3，则：2q6﹣q3﹣1＜0

解得：﹣＜q3＜1，由于q＞0，所以：0＜q＜1，则：a1＞0．即有a1q＞0．

例10.（2020·山东高考模拟）已知单调等比数列中，首项为 ，其前n项和是，且成等差数列,数列满足条件

(Ⅰ) 求数列、的通项公式；

(Ⅱ) 设 ,记数列的前项和 .

①求 ;②求正整数，使得对任意，均有 .

【答案】(Ⅰ) ；；(Ⅱ)①见解析；②见解析.

【解析】 (Ⅰ)设. 由已知得   即

进而有.  所以，即  ，则，由已知数列是单调等比数列，且 所以取，数列的通项公式为.

∵ ，  ∴ 则.

数列的通项公式为.

 (Ⅱ)由(Ⅰ)得

①设，的前项和为.则.

又设，的前项和为.

则.

所以

②令 .

由于比变化快，所以令得.

即递增，而递减.所以，最大.即当时，.

【压轴训练】

1．（2021·全国高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为(    )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题意，数列满足，则当时，，

两式相减可得，所以，又由，所以，即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，因为，所以，即，

则对任意的正整数恒成立，又，所以对任意的正整数恒成立，设，则，

所以，当时，最大,此时最大值为，所以，即，所以的最大整数为4，故选B.

2．（2020·江西高三其他模拟）已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【详解】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；

3．（2020·全国高三月考）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，

也满足，所以，

所以，

所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.

4．（2020·湖南常德市一中）（多选）设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（    ）

A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B．已知，则是间隔递增数列

C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2

D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则

【答案】BCD

【详解】A. ，因为，所以当时，，故错误；B. ，令，t在单调递增，则，解得，故正确；

C. ，当为奇数时，，存在成立，当为偶数时，，存在成立，综上：是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则，对于成立，且，对于成立，即，对于成立，且，对于成立

所以，且，解得，故正确.

5．（2021·浙江丽水市·高三）已知数列的前n项和是，时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：对任意的，不等式成立．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】（1）解：由题可知：当时，，，则，又，∴，

即，则，当时，，

即

（2）由（1）可知：时，，则，即，即．

6．（2021·浙江温州市·温州中学高三）已知数列的前项之积满足条件：①是首项为2的等差数列：②．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为．求证：对任意正整数，都有．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】（1）设等差数列的公差为． 由已知得，所以，

所以，， 因为，所以，解得，

所以，即．又，

所以当时，，当时，，所以，

当时也符合上式，所以．

（2）由（1）知，所以,

,，

所以．又，

所以,．

综上可知，对任意正整数，都有．

7. （2020·临川一中实验学校）已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）时，，又，所以，

当时，，，

作差整理得：，因为，故，

所以，故数列为等差数列，所以．               

（2）由（1）知，所以，

从而

．

所以，故的最小值为．

8．（2019·重庆一中高三）设函数，对于，都有成立.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明

【解析】（Ⅰ），当时，由，得，

由，得，在上单调递增，在上单调递减.

，都成立，.

又，所以由得.；

的取值范围是.

（Ⅱ）当时，，即.

.当时，.

令，则.且时，.

，.

；

即恒成立.

9.（2020年陕西高三）已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .

（Ⅰ）若 成等差数列，求的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）由已知， 两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.

由成等比数列，可得，即，则，

由已知,，故 .所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率 ．

由解得.因为，所以.

于是，故.

10. 设函数 

（1）求函数的极值点；

（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；

（3）证明：

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）∵ ，∴的定义域为，，当时，，在上无极值点，当时，有唯一极大值点；

（2）由（1）可知，当时，在处却极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，解得，故的取值范围为；（3）令，由（2）可知，，即，

=

=.

11.（2020·浙江杭州高三）已知无穷数列的首项， .

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ） 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.

【解析】（Ⅰ）证明：①当时显然成立；

②假设当 时不等式成立，即，

那么当时， ，所以，

即时不等式也成立.

综合①②可知， 对任意成立.

（Ⅱ），即，所以数列为递增数列.

又 ，易知为递减数列，

所以也为递减数列，所以当时，

所以当时，

当时， ，成立；

当时，

综上，对任意正整数，

12.（2020·河南高考模拟）已知数列的前项和为，，等差数列满足，

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）证明：.

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）详见解析.

【解析】（Ⅰ）    当时，   

当时，，整理得：

数列是以为首项，为公比的等比数列   

设等差数列的公差为,，, ，解得：

（Ⅱ）证明：设

两式相减可得：

， ，即

13．（2020·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【详解】（1）因为，，所以，

则，即，，

因为，，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，因为，所以，即，

则

.

（2），

令，

则

，因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立，即，

令，，则，当时，即当时取到最小值，故，实数的取值范围为.

14．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三）已知数列的各项为正，且，是公比为的等比数列.再从：

①数列的前项和满足：

②数列是公差不为0的等差数列，且，，，，成等比数列．

这两个条件中任选一个，解答下列问题.

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，设的前项和为若对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【详解】（1）若选①，时，，∴，时，，，两式相减得：，∴（舍）或，即数列是首项为2，公差为2的等差数列，∴；

若选②，因为，∴，又，

∴，得或0（舍去），∴，∴，

，，又的公比为，.

（2）由（1）得

当为偶数时，

当为奇数时，

，

对恒成立，

当为偶数时，恒成立，即恒成立，

因为为偶数时，单调递减，所以，

当为奇数时，恒成立，即恒成立，

因为为奇数时，单调递减，且，所以.

综上，实数的取值范围为.

15．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）已知数列的前项和为，，数列满足：，，数列为等差数列．

（1）求与的通项公式；

（2）设，数列的前项和为．若对于任意均有，求正整数的值．

【答案】（1）；；（2）1.

【详解】（1）由题意知，，时，；

显然也满足上式，故；因为，数列为等差数列，则，即，由，解得，

所以等差数列的首项为，公差为，

因此，所以；

（2）由（1）可得：，

所以

；

①当为奇数时，，又随增加而增加，此时．

②当为偶数时，，令，则，

∴当为偶数时，恒有．

综合①②可知，∴满足题意的．